задачи егэ на нахождение площади

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Задачи егэ на нахождение площади

Задание 8_1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности многогранника можно вычислить как сумму площадей всех его граней. Причем площади передней и задней граней, равны

,

и вся площадь поверхности равна

Задание 8_2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Найдем площадь поверхности как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 3, 5 и вычтем площади двух граней 1х1 прямоугольного параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 3 (см. рисунок).

Площадь поверхности большого параллелепипеда, равна

.

Площади двух граней 1х1 малого параллелепипеда, равны:

,

и площадь поверхности фигуры

.

Задание 8_3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Из рисунка видно, что площадь поверхности фигуры будет меньше площади прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 4 и 5 на площади двух квадратов, размером 1х1, имеем:

.

Задание 8_4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Можно заметить, что площадь поверхности данной фигуры будет в точности совпадать с площадью поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 5, 3 и 5 и равна

.

Замечание. Не путайте вычисление объема фигуры и площади его поверхности!

Задание 8_5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности данной фигуры равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 5 и 4, и равна

.

Замечание. Не путайте вычисление объема фигуры и площади его поверхности!

Задание 8_6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности данной фигуры можно вычислить как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 4 и 6 плюс две грани 1х4 площадью 4 (см. рисунок) и минус две грани площадью 2х1 (они вычитаются из оснований). Таким образом, площадь фигуры равна

.

Задание 8_7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площади нижней и верхней граней равны , площади боковых граней можно вычислить как , площади передней и задней граней соответственно и еще нужно учесть две площади внутренней нижней и верхней граней . Таким образом, вся площадь поверхности фигуры равна

Задание 8_8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности фигуры можно вычислить как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 3 и 2, минус четыре площади боковых квадратов, размером 1х1. Имеем:

.

Задание 8_9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед с вырезом. Площадь поверхности такой фигуры будет равна площади поверхности всего параллелепипеда со сторонами 5, 7 и 1 минус две площади фронтального выреза площадью 2х1=2 и плюс четыре площади внутренних сторон выреза размерами 1х1 и 2х1. Таким образом, вся площадь поверхности многогранника равна

Задание 8_10. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности многогранника можно найти как сумму площадей двух прямоугольных параллелепипедов со сторонами 5, 4, 3 и 3, 2, 3 минус две площади основания нижнего параллелепипеда площадью 2х3 (две площади, т.к. она будет дважды учтена в большом и малом параллелепипедах). Таким образом, получаем:

Задание 8_11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Найдем площадь поверхности фигуры как площадь прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2, 2, 1 и вычтем две площади граней 1х1 во фронтальных плоскостях (передней и задней), получим:

Задание 8_12. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Площадь поверхности данной фигуры можно найти как сумму площадей поверхности 6 кубов минус площадь поверхности одного куба (тот что внутри и эти грани не входят в площадь поверхности), получаем:

Задание 8_13. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Найдем площадь поверхности этого многогранника как сумму площадей поверхности большого (6х6х2) и малого (3х3х4) прямоугольных параллелепипедов и вычтем дважды площадь поверхности соприкосновения граней этих параллелепипедов, которая имеет размер 3х4, получим:

Задание 8_14. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности этого многогранника можно найти как сумму площадей поверхности каждого из трех параллелепипедов размерами 2х5х6, 2х5х3 и 2х3х2 минус удвоенные площади соприкосновения этих параллелепипедов, то есть минус удвоенные площади двух граней размерами 3х5 и 2х3 соответственно. В результате получаем площадь поверхности фигуры:

Задание 8_15. Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 37.

Так как плоскость сечения проведена через среднюю линию, то она делит боковую плоскость пополам. Следовательно, площадь боковой поверхности большей призмы в 2 раза больше площадь боковой поверхности малой призмы и равна 74.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Задание 3 ЕГЭ по математике (профиль) часть 5

Тренажер задания 3 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Здесь приведены прототипы задания 3 — задачи на площади треугольников, параллелограмма, ромба, трапеции и прямоугольника. Это задание на планиметрию. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.

Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать

Площадь треугольника

27617. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.

27623. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

27589. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30º. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150º. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

27591. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30º.

27620. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30º. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.

27621. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150º. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 10.

27619. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

27618. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

27624. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Параллелограмм

27610. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

27611. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

27612. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

319056. Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма A’B’C’D’, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

319057. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.

Видео:Новое задание базового ЕГЭ (найдите площадь великого озера)Скачать

Ромб

27613. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30º.

27614. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

27615. Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.

27616. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Видео:Задача 8 ЕГЭ по математике #1Скачать

Прямоугольник

27605. Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

27582. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Видео:ЕГЭ Математика Задача №3 Нахождение площади (способ перестраивания)Скачать

Трапеция

27631. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

27635. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

27637. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150º. Найдите площадь трапеции.

27632. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

27636. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

27633. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45º.

27634. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

27638. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

317338. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.

319058. Площадь треугольника ABC равна 12. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABDE.

27640. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

Видео:✓ Площадь сечения | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

🔍 Видео

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Простая и быстрая подготовка к ЕГЭ | Задание 3: площади фигур | Сдача ЕГЭ Профиль 2021Скачать

КАК ЗАПОМНИТЬ ОБЪЕМЫ ВСЕХ ФИГУР? #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Красивая задача на нахождение площади из планиметрии второй части | ЕГЭ 2023 Профильная математикаСкачать

Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?Скачать

Задачи на нахождение площади трапеции (bezbotvy)Скачать

✅ Площадь параллелограмма. Решаем задачу из ЕГЭСкачать

Нахождение площади параллелограмма - геометрическая задачаСкачать

Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профильСкачать

СПИДРАН 18 ЗАДАНИЯ ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬ | ЗАДАНИЕ НА ПАРАМЕТРЫ #2Скачать

Задача на нахождение площади фигурыСкачать

Нахождение площади поверхности многогранникаСкачать