смешанное произведение векторов площадь (3 видео)

Содержание

Смешанное произведение векторов.
Формулы вычисления смешанного произведения векторов
Свойства смешанного произведения векторов
Примеры задач на вычисления смешанного произведения векторов
Смешанное произведение векторов, его свойства, примеры и решения
Термин
Умножение в системе координат
Разбор типовых задач
Геометрический смысл
Смешанное произведение векторов
Нахождение смешанного произведения векторов
Свойства смешанного произведения векторов
Пример задачи
🎥 Видео

Видео:Аналитическая геометрия, 4 урок, Смешанное произведениеСкачать

Смешанное произведение векторов.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Формулы вычисления смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = < a_x ; a_y ; a_z >, b = < b_x ; b_y ; b_z > и c = < c_x ; c_y ; c_z > в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [ b × c ] =	a_x	a_y	a_z
	b_x	b_y	b_z
	c_x	c_y	c_z

Видео:Смешанное произведение векторовСкачать

Свойства смешанного произведения векторов

V_пир =	1	\| a · [ b × c ]\|
	6

Видео:§17 Смешанное произведение векторовСкачать

Примеры задач на вычисления смешанного произведения векторов

a · [ b × с ] =	1	2	3	=
	1	1	1
	1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2

Решение: Найдем смешанное произведение этих векторов:

a · [ b × с ] =	1	2	3	=
	1	-1	1
	2	0	-1

= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 — 3·(-1)·2 — 2·1·(-1) — 1·1·0 =

= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 — 0 = 13

Найдем объем пирамиды воспользовавшись свойствами:

V_пир =	1	\| a · [ b × c ]\| =	13	= 2	1
	6		6		6

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Смешанное произведение векторов ПрактикаСкачать

Смешанное произведение векторов, его свойства, примеры и решения

Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Смешанным произведением a → , b → и d → является та величина, которая равняется скалярному произведению a → × b → и d → , где a → × b → — умножение a → и b → . Операцию умножения a → , b → и d → зачастую обозначают a → · b → · d → . Можно преобразовать формулу так: a → · b → · d → = ( a → × b → , d → ) .

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i → , j → , k →

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид: a → × b → = ( a y · b z — a z · b y ) · i → + ( a z · b x + a x · b z ) · j → + ( a x · b y + a y · b x ) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

a → × b → = ( a y · b z — a z · b y ) · i → + ( a z · b x + a x · b z ) · j → + ( a x · b y + a y · b x ) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

a → × b → = ( a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k → ) = = a y a z b y b z · d x — a x a z b x b z · d y + a x a y b x b y · d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

( λ · a → ) · b → · d → = a → · ( λ · b → ) · d → = a → · b → · ( λ · d → ) = λ · a → · b → · d → λ ∈ R ;
a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → ) · b → · d → = a ( 1 ) → · b → · d → + a ( 2 ) → · b → · d → a → · ( b ( 1 ) → + b ( 2 ) → ) · d → = a → · b ( 1 ) → · d → + a → · b ( 2 ) → · d → a → · b → · ( d ( 1 ) → + d ( 2 ) → ) = a → · b → · d ( 2 ) → + a → · b → · d ( 2 ) →

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a → = b → , то, следуя определению векторного произведения [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ( [ a → × b → ] , d → ) = ( 0 → , d → ) = 0 .

Если же a → = b → или b → = d → , то угол между векторами [ a → × b → ] и d → равен π 2 . По определению скалярного произведения векторов ( [ a → × b → ] , d → ) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Докажите равенство ( [ a → × b → ] , d → + λ · a → + b → ) = ( [ a → × b → ] , d → ) , где λ — некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

( [ a → × b → ] , d → + λ · a → + b → ) = ( [ a → × b → ] , d → ) + ( [ a → × b → ] , λ · a → ) + ( [ a → × b → ] , b → )
Мы разобрали, что ( ( [ a → × b → ] , b → ) = 0 . Из этого следует, что
( [ a → × b → ] , d → + λ · a → + b → ) = ( [ a → × b → ] , d → ) + ( [ a → × b → ] , λ · a → ) + ( [ a → × b → ] , b → ) = = ( [ a → × b → ] , d → ) + ( [ a → × b → ] , λ · a → ) + 0 = ( [ a → × b → ] , d → ) + ( [ a → × b → ] , λ · a → )

Согласно первому свойству ( [ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a → ) = λ · ( [ a ⇀ × b ⇀ ] , a → ) , а ( [ a ⇀ × b ⇀ ] , a → ) = 0 . Таким образом, ( [ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a → ) . Поэтому,
( [ a ⇀ × b ⇀ ] , d → + λ · a → + b → ) = ( [ a ⇀ × b ⇀ ] , d → ) + ( [ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a → ) = = ( [ a ⇀ × b ⇀ ] , d → ) + 0 = ( [ a ⇀ × b ⇀ ] , d → )

Необходимо доказать, что модуль смешанного произведения трех векторов не больше, чем произведения их длин.

Решение

Исходя из условия, можно представить пример в виде неравенства a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → .

По определению, преобразуем неравенство a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos ( a → × b → ^ , d → ) = = a → · b → · sin ( a → , b → ^ ) · d → · cos ( [ a → × b → ^ ] , d )

Используя элементарные функции, можно сделать вывод, что 0 ≤ sin ( a → , b → ^ ) ≤ 1 , 0 ≤ cos ( [ a → × b → ^ ] , d → ) ≤ 1 .

Из этого можно сделать вывод, что
( a → × b → , d → ) = a → · b → · sin ( a → , b → ) ^ · d → · cos ( a → × b → ^ , d → ) ≤ ≤ a → · b → · 1 · d → · 1 = a → · b → · d →

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a → · b → · d → = ( a → × b → , d → ) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a → = ( 1 , — 2 , 3 ) , b → ( — 2 , 2 , 1 ) , d → = ( 3 , — 2 , 5 ) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a → · b → · d → .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a → · b → · d → = ( a → × b → , d → ) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 — 2 3 — 2 2 1 3 — 2 5 = = 1 · 2 · 5 + ( — 1 ) · 1 · 3 + 3 · ( — 2 ) · ( — 2 ) — 3 · 2 · 3 — ( — 1 ) · ( — 2 ) · 5 — 1 · 1 · ( — 2 ) = — 7

Необходимо найти произведение векторов i → + j → , i → + j → — k → , i → + j → + 2 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i → + j → = ( 1 , 1 , 0 ) i → + j → — k → = ( 1 , 1 , — 1 ) i → + j → + 2 · k → = ( 1 , 1 , 2 )

Используем формулу, которая использовалась выше
i → + j → × ( i → + j → — k → , ( i → + j → + 2 · k → ) = 1 1 0 1 1 — 1 1 1 2 = 0 i → + j → × ( i → + j → — k → , ( i → + j → + 2 · k → ) = 0

Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

В прямоугольной системе координат расположены три вектора a → , b → и d → , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4 , 2 и 3 . Необходимо умножить вектора.

Обозначим c → = a → × b → .

Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними. Делаем вывод, что a → · b → · d → = ( [ a → × b → ] , d → ) = c → , d → = c → · d → · cos ( c → , d → ^ ) .

Используем длину вектора d → , указанную в условии примера: a → · b → · d → = c → · d → · cos ( c → , d → ^ ) = 3 · c → · cos ( c → , d → ^ ) . Необходимо определить с → и с → , d → ^ . По условию a → , b → ^ = π 2 , a → = 4 , b → = 2 . Вектор c → найдем с помощью формулы: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Можно сделать вывод, что c → перпендикулярен a → и b → . Вектора a → , b → , c → будут являться правой тройкой, так использована декартовая система координат. Векторы c → и d → будут однонаправленными, то есть, c → , d → ^ = 0 . Используя выведенные результаты, решаем пример a → · b → · d → = 3 · c → · cos ( c → , d → ^ ) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

Видео:Решение задач на векторное и смешанное произведения векторовСкачать

Геометрический смысл

Используем множители a → , b → и d → .

Вектора a → , b → и d → исходят от одной точки. Используем их как стороны для построения фигуры.

Обозначим, что c → = [ a → × b → ] . Для данного случая можно определить произведение векторов как a → · b → · d → = c → · d → · cos ( c → , d → ^ ) = c → · n p c → d → , где n p c → d → — числовая проекция вектора d → на направление вектора c → = [ a → × b → ] .

Абсолютная величина n p c → d → равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a → , b → и d → в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c → = [ a → × b → ] перпендикулярен a → и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c → = a → x b → равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a → и b → .

Делаем вывод, что модуль произведения a → · b → · d → = c → · n p c → d → равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a → , b → и d → .

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда: V п а р а л л е л е п и п и д а = a → · b → · d → .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Объем тетраэдра, который построен на a → , b → и d → , равняется 1 / 6 объема параллелепипеда Получаем, V т э т р а э д а = 1 6 · V п а р а л л е л е п и п и д а = 1 6 · a → · b → · d → .

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются A B → = ( 3 , 6 , 3 ) , A C → = ( 1 , 3 , — 2 ) , A A 1 → = ( 2 , 2 , 2 ) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 — 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · ( — 2 ) · 2 + 3 · 1 · 2 — 3 · 3 · 2 — 6 · 1 · 2 — 3 · ( — 2 ) · 2 = — 18

Тогда, V п а р а л л е л е п и п е д а = — 18 = 18 .

V п а р а л л е л е п и п и д а = 18

В системе координат заданы точки A ( 0 , 1 , 0 ) , B ( 3 , — 1 , 5 ) , C ( 1 , 0 , 3 ) , D ( — 2 , 3 , 1 ) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой V т э т р а э д р а = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: A B → = ( 3 — 0 , — 1 — 1 , 5 — 0 ) = ( 3 , — 2 , 5 ) A C → = ( 1 — 0 , 0 — 1 , 3 — 0 ) = ( 1 , — 1 , 3 ) A D → = ( — 2 — 0 , 3 — 1 , 1 — 0 ) = ( — 2 , 2 , 1 )

Дальше определяем смешанное произведение A B → · A C → · A D → по координатам векторов: A B → · A C → · A D → = 3 — 2 5 1 — 1 3 — 2 2 1 = 3 · ( — 1 ) · 1 + ( — 2 ) · 3 · ( — 2 ) + 5 · 1 · 2 — 5 · ( — 1 ) · ( — 2 ) — ( — 2 ) · 1 · 1 — 3 · 3 · 2 = — 7 Объем V т э т р а э д р а = 1 6 · — 7 = 7 6 .

Видео:Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Смешанное произведение векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти смешанное произведение трех векторов через вычисление определителя соответствующей матрицы, перечислим свойства этой операции, а также разберем пример решения задачи.

Видео:А.7.10 Смешанное произведение векторовСкачать

Нахождение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равняется определителю матрицы, которая составлена из координат этих векторов.

Алгоритм действий следующей:

Допустим, у нас есть три вектора: , и . Чтобы найти их смешанное произведение (в декартовой системе) мы составляем матрицу с элементами, как показано ниже, и затем просто вычисляем ее определитель.