статический момент площади плоского сечения (7 видео)

Содержание

6.1. Статический момент площади сечения
Техническая механика
Сопротивление материалов
Геометрические характеристики плоских сечений
Статический момент площади
Полярный момент инерции
Статические моменты плоских сечений
🎥 Видео

Видео:9.1. Геометрические характеристики плоских сечений. Общие сведения. Статический момент площадиСкачать

6.1. Статический момент площади сечения

6.1. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ

Статический момент площади – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на расстояние от них до этой оси Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предположить, что А – вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статический момент Sz – это момент силы тяжести пластины относительно оси z. Размерность: единицы длины в третьей степени (см3; м3). Знаки: плюс, ноль и минус. Ось центральная – ось, относительно которой статический момент площади равен нулю. Центр тяжести сечения – точка пересечения центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является центральной. Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это следует из свойства определенного интеграла, который можно вычислять по частям – свойство аддитивности (от англ. add – прибавлять, присоединять, складывать). При известных статических Рис. 6.2. Связь знака статического момента площади с его положением в координатной системе моментах частей сечения можно найти координаты центра тяжести состав- ной фигуры: Пример 6.1. Определить положение центральных осей, параллельных основанию и высоте фигуры. Решение Разбиваем сложную фигуру на две простые, в конкретном примере – на два прямоугольника. Их центры тяжести расположены посредине высоты и посредине ширины. Координаты центров тяжести и площади простых фигур Статические моменты площадей простых фигур Координаты центра тяжести составной фигуры Через найденную точку проводим центральные оси zC и yC, параллельные основанию фигуры и ее высоте. Примечание. Центр тяжести фигуры, составленной из двух частей, лежит на линии, соединяющей центры тяжести простых фигур ее составляющих, причем расстояния до них обратно пропорциональны площадям простых фигур. Если сложная фигура составлена из нескольких простых, то общий центр тяжести находится внутри многоугольника, вершинами которого являются центры тяжести простых фигур.

Видео:Основы Сопромата. Геометрические характеристики поперечного сеченияСкачать

Техническая механика

Сопротивление материалов

Видео:Статический момент площади сечения (фигуры) относительно осиСкачать

Геометрические характеристики плоских сечений

При некоторых видах деформаций прочность и жесткость (способность противостоять деформации) элементов конструкций зависит не только от величины поперечного сечения, но и от формы этого сечения.
Самый простой пример — обыкновенную школьную линейку можно легко изогнуть относительно широкой стороны поперечного сечения и совершенно невозможно изогнуть относительно его короткой стороны. При этом общая площадь сечения в обоих случаях одинакова. На основании этого примера становится очевидным, что на сопротивление некоторым видам деформации оказывает влияние (иногда — решающее) не только величина площади сечения бруса, но и его геометрическая форма.
При изучении деформаций изгиба и кручения нам потребуется знание некоторых геометрических характеристик плоских сечений, которые оказывают влияние на способность конструкций сопротивляться деформациям относительно той или иной оси либо полюса (точки).

Чтобы понять суть явления и влияния этих геометрических характеристик на сопротивление бруса, например, изгибу, следует обратиться к основополагающим постулатам сопромата. Как известно из установленного в 1660 году английским физиком Робертом Гуком закона, напряжение в сечениях бруса прямо пропорционально его относительному удлинению. Очевидно, что волокна, расположенные дальше от оси изгиба, растягиваются (или сжимаются) сильнее, чем расположенные вблизи оси. Следовательно, и напряжения возникающие в них будут бόльшими.
Можно привести условную сравнительную аналогию между напряжением в разных точках сечения бруса с моментом силы — чем больше плечо силы — тем больше ее момент (относительно оси или точки). Аналогично — чем дальше от какого-либо полюса (оси) отстоит точка в сечении, тем большее напряжение в ней возникает при попытке изогнуть или скрутить брус относительно этого полюса (оси).

Статический момент площади

Статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок (S_i) на расстояния (r_i)от них до этой оси.

Если упростить это определение, то статический момент инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси (лежащей в той же плоскости, что и фигура) можно получить следующим образом:

разбить фигуру на крохотные (элементарные) площадки (рис. 1);
умножить площадь каждой площадки на расстояние r_i от ее центра до рассматриваемой оси;
сложить полученные результаты.

Статический момент площади плоской фигуры обозначают S с индексом оси, относительно которой он рассматривается: S_x , S_y , S_z .

Примечание: в разных учебниках или других источниках информации обозначение тех или иных физических величин может отличаться от приведенных на этом сайте. Как вы понимаете, от условного обозначения величин суть описываемых явлений и закономерностей не изменяется.

Анализ этих формул позволяет сделать вывод, что статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.
Из этого вывода следует еще один вывод — если рассматриваемая ось проходит через центр тяжести плоской фигуры, то статический момент этой фигуры относительно данной оси равен нулю.

Единица измерения статического момента площади — метр кубический (м 3 ).
При определении статического момента площади сложной фигуры можно применять метод разбиения, т. е. определять статический момент всей фигуры, как алгебраическую сумму статических моментов отдельных ее частей. При этом сложная геометрическая фигура разбивается на простые по форме составные части — прямоугольники, треугольники, окружности, дуги и т. п., затем для каждой из этих простых фигур подсчитывается статический момент площади, и определяется алгебраическая сумма этих моментов.

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса (точки), лежащего в той же плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок (S_i) этой фигуры на квадрат их расстояний (r 2 _i) до полюса.
Полярный момент инерции обозначают I_ρ (иногда его обозначают J_ρ ), а формула для его определения записывается так:

Единица измерений полярного момента инерции — м 4 , из чего следует, что он не может быть отрицательным.
Понятие полярного момента инерции понадобится при изучении деформаций кручения круглых валов, поэтому приведем формулы для определения полярного момента квадратного, круглого и кольцевого сечения.

Видео:Геометрические характеристики. Моменты инерции. Радиусы инерции. Сопромат.Скачать

Статические моменты плоских сечений

Площадь стержня.

При расчетах элементов конструкций используются различные геометрические характеристики. Так, например, при растяжении и сжатии используется площадь поперечного сечения стержня. Она применяется при определении напряжений и деформаций растянутого или сжатого стержня, т.е. чем больше площадь поперечного сечения тем большую нагрузку сможет выдержать стержень.

Оказывается, при других деформациях эта геометрическая характеристика не является достаточной. Необходимо использовать другие, более сложные геометрические характеристики.

Статические моменты плоских сечений

Нетрудно убедиться, что в случае изгиба бруса площадь сечения не может служить характеристикой его жесткости. Действительно, из двух брусьев (рис. 2.2.1) с равновеликими площадями поперечных сечений первый при данной нагрузке деформируется значительно сильнее второго (например, при h/b = 2 прогибы первого бруса в четыре раза больше, чем второго).

Следовательно, при одной и той же площади поперечного сечения стержня, но при разном расположении его стержень сопротивляется изгибу по разному. Это позволяет сделать вывод о том, что площадь поперечного сечения не может характеризовать сопротивляемость стержня изгибу и при изучении изгиба приходится вводить другие геометрические характеристики — статический момент площади (сечения).

Выполняя расчеты на прочность, необходимо бывает вычислять статические моменты всего сечения или части его относительно некоторых осей.

Рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня в системе координат х,у, выдел элементарную площадку dА (рис. 2.2.2)

Статическим моментом сечения относительно данной оси называется сумма произведений элементарных площадей dА, на их расстояния до данной оси (например, х или у), которая распространяется на всю площадь сечения А.

Так, статические моменты сечения относительно осей х и у равны:

; (2.2.1)

Статические моменты обычно выражаются в см 3 или м 3 . При параллельном переносе осей значения статических моментов не остаются постоянными, а изменяются и могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Следовательно, среди семейства параллельных осей существует единственная ось, относительно которой статический момент равен нулю

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.

Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

Можно показать, что и относительно любой оси, проходящей через центр тяжести сечения, статический момент равен нулю. Для изображенного на рис. 2.2.2 сечения центр тяжести располагается в точке С, его координатами являются ординаты х_с и у_с. Все оси, которые проходят через эту точку, будут центральными и относительно таких осей статический момент равен нулю.

На основании теоремы Вариньона следует, что

; (2.2.2)

Следовательно, статический момент площади А относительно какой-либо оси равен произведению всей площади на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.

Из выражений (2.2.2) получим формулы для определения координат центра тяжести сечения:

; (2.2.3)

Заметим, что последняя форма записи в выражениях (2.2.3) относится к определению координат центра тяжести сложного сечения разбитого на простейшие составные части, для которых известны площади А и положение центра тяжести и у_с

Для большинства сечений определение положения центра тяжести упрощается. Так, если сечения имеют ось или центр симметрии, то центр тяжести в таких сечениях находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.

Дата добавления: 2016-01-18 ; просмотров: 2997 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ