вывод формулы площади круга через интеграл

Видео:Площадь круга, продолжение, вывод через интегралыСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА.

Как найти площадь круга? У меня этот вопрос встал очень остро на экзамене по физике в университете, когда я решал одну из задач. Память человека вещь непредсказуемая, сегодня ты помнишь все до мелочей, а завтра это все уже выветрилось из головы. И благо если это была глупость какая, а если нет? Если это день рождения жены или тещи, пароль аккаунта в контакте, или площадь круга. Как это было в моем случае.

Здравствуйте дорогие друзья, меня зовут Валентин Анатольевич, и сегодня мы вычисляем площадь круга 3 способами. Точнее способ будет один, это формула , но вот варианты ее получения будут различны.

Честно говоря, я уже и не помню правильно или нет решил ту задачу, я даже не помню, что это была за задача. Но сам момент того, как выполняя промежуточные расчеты я интегрировал уравнение окружности, чтоб получить казалось бы, простейшую формулу из школьной программы… сильно врезался в память
Итак, первый способ у нас будет от студентов физико-математических факультетов.

Интегрирование.

1. Берем уравнение окружности. Для тех, кто не знает его легко получить из теоремы Пифагора, заменив там катеты на координаты x и y, а за гипотенузу приняв радиус R. Конечно, при условии, что центр окружности будет находится на пересечении координатных осей.

К счастью, это я помнил.
2. Выражаем y.

3. Если вычислить определенный интеграл для значений x от 0 до R, мы получим площадь одной четверти круга.

Соответственно, чтоб получить всю площадь, нам необходимо будет все это безобразие до множить на 4.

4. Давайте выполним замену переменной, и представим x как . Тогда: .
5. Найдем пределы интегрирования. Для этого необходимо в наше уравнение замены переменной подставить значения x и вычислить чему будет равно t при этих значениях. Получаем промежуток от 0 до .
6. Итак запишем нашу формулу:

7. Сделаем еще кое какие математические преобразования и вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона -Лейбница.

Готово. В принципе, не так сложно если не впадать в ступор при виде синусов и косинусов, а также уметь интегрировать.

Но вот вопрос. Люди умели находить с большой точностью площадь круга и до интегрального исчисления. Поэтому давайте попробуем обойтись интегралов.

Площадь прямоугольника

Условно, можно сказать, что площадь — это количество квадратиков, со стороной в единицу помещающихся в данной фигуре. К примеру, кухня в хрущевке имеет размеры 2 на 3 метра. Перемножаем длину на ширину и получаем площадь 6 квадратных метров. То есть если у нас имеется 6 квадратных кусков линолеума, со стороной в 1 метр, мы ими полностью без остатка, покроем весь пол.

Прямоугольную кухню легко разбить на квадраты, но что делать если у нас круг? Скажем круглый кусок сыра.
Любой старший прапорщик, обладая не дюжей армейской смекалкой вам скажет, что нужно в таком случае из круга сделать прямоугольник. И он окажется прав. Почему? По тому что старший прапорщик всегда прав.
В общем метод номер два. Метод старших прапорщиков.

Перегруппировка

Делим круг на восемь равных секторов и совмещаем друг с другом.

Отдаленно напоминает прямоугольник? Нет? Отжимаемся восемь раз, и делим еще.

Если секторов будет бесконечно много, то в таком случае, искривления их дуг будут незначительны. А это значит мы получим уже треугольники.
Опять совместим их друг с другом как и в первом случае. И у нас уже идеальный прямоугольник, с шириной равной радиусу , и длиной в половину длины окружности, то есть .
Перемножаем получаем:

Если внимательно посмотреть на полученную формулу мы увидим, что с её помощью можно найти площадь прямоугольного треугольника с основанием равным длине окружности и высотой равной ее радиусу.

Равенство площадей такого треугольника и круга доказывал Архимед, в своей работе о площадях круга.
Я не буду приводить здесь доказательство этой теоремы, скажу только, что Архимед использовал многоугольники. Один вписанный в окружность, а другой описанный вокруг нее. Площадь круга находилась где-то между площадями этих многоугольников, причем при увеличении сторон, их площади приближались друг к другу, а значит приближались и к площади круга.
Но все же как получить из круга треугольник? Давайте воспользуемся методом неделимых Бонавентуры Кавальери.

Метод неделимых

Представим, что наш круг состоит из бесконечно большого числа окружностей, толщина линий которых стремится к нулю. Если развернуть эти окружности в отрезки и сложить друг на друга стопкой, мы получим треугольник с основанием равным длине большей окружности, то есть и высотой равной радиусу.
Площадь треугольника как известно это половина произведения основания на высоту.
Или в нашем случае .

Те, кто внимательно слушал, наверно помнят, что в теореме Архимеда говорится о прямоугольном треугольнике. Но его довольно легко получить сместив наши отрезки к левому или правому краю. К слову, так легким движением мы докажем еще одну теорему из школьной геометрии. Если знаете какую, пишите в комментариях.
Так же можете написать, как старшие прапорщики находят объем шара, или как бы с этой задачей справился Бонавентура Кавальери.
А я с вами прощаюсь, желаю счастья и до скорых встреч.

Видео:Площадь круга через интегралСкачать

Геометрические приложения определенного интеграла

Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла

Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости

Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости

Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара

Вывод формулы для площади сферы

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла

В данном разделе справочника приведена таблица, содержащая формулы, с помощью которых можно вычислить:

Площади криволинейных трапеций различного вида (площади фигур, ограниченных графиками функций);

Длины дуг кривых на плоскости;

Объемы тел, если известны площади их поперечных сечений;

Объемы тел, полученных при вращении криволинейных трапеций вокруг оси абсцисс Ox ;

Площади поверхностей тел, полученных при вращении графиков функций вокруг оси абсцисс Ox .

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox , снизу – графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

вокруг оси Ox

Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции

y = f (x), f (x) > 0, ,

вокруг оси Ox

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox , снизу – графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

a S (x) , .

Плоскость каждого поперечного сечения перпендикулярна оси Ox

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

вокруг оси Ox

Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции

y = f (x), f (x) > 0, ,

вокруг оси Ox .

Применение формул, перечисленных в таблице, проиллюстрировано на примерах, содержащих, в частности, вывод формулы объема пирамиды, формул объема шара и площади сферы.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости

Пример 1 . Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение . Рассматриваемая фигура (рис. 1) состоит из двух частей: треугольника OAB и криволинейной трапеции ABCD.

Пример 2 . Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2

Решение . Площадь криволинейной трапеции ABCD вычисляется с помощью формулы для площади криволинейной трапеции с f (x)

.

Ответ . .

Видео:Доказательство площади окружности через интегралСкачать

Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости

Пример 3 . Найти длину дуги графика функции

, 8 .

Решение . График рассматриваемой функции изображен на рисунке 3

Для вычисления длины дуги AB нужно, в соответствии с формулой для длины дуги графика функции, вычислить определенный интеграл

Рисунок	Формула	Описание

(1)

Подставим найденную производную в формулу (1), а затем вычислим полученные интегралы при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона — Лейбница:

Ответ .

Видео:Формула Площади Круга. Доказательство АрхимедаСкачать

Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара

Решение . Рассмотрим произвольную n — угольную пирамиду BA₁A₂ . A_n с вершиной B, высота BK которой равна H, а площадь основания A₁A₂ . A_n равна S. Обозначим через S (x) площадь сечения этой пирамиды плоскостью, параллельной параллельной основанию пирамиды и находящейся на расстоянии расстоянии x от вершины пирамиды B (рис. 4).

Поскольку многоугольники и A₁A₂ . A_n подобны с коэффициентом подобия , то площади этих многоугольников удовлетворяют равенству

(2)

Рассмотрим теперь в пространстве систему координат Oxyz и расположим нашу пирамиду BA₁A₂ . A_n так, чтобы ее вершина B совпала с началом координат O, а высота пирамиды BK оказалась лежащей на оси Ox (рис. 5).

Тогда сечение пирамиды и будет поперечным сечением, поскольку его плоскость перпендикулярна оси Ox.

Итак, мы получили формулу для объема пирамиды

котрой пользовались в различных разделах справочника.

Замечание . Совершенно аналогично выводится формула для объема конуса. Формулы для объема прямой призмы объема прямой призмы и для объема цилиндра вывести таким способом еще проще, поскольку у них все сечения, перпендикулярные высоте, равны между собой. Мы рекомендуем провести эти выводы читателю самостоятельно в качестве полезного упражнения.

Пример 5 . Вывести формулу для объема шара радиуса R, воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения.

(3)

графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O. Шар радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции (3) и ограниченной снизу отрезкомоси Ox (рис. 6).

что и должно было получиться.

Видео:Площадь круга. Вывод формулы.Скачать

Вывод формулы для площади сферы

Решение . Снова рассмотрим функцию

(4)

графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O (рис. 7).

Поскольку сфера радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox графика функции (4), то в соответствии с формулой для вычисления площади поверхности тела вращения получаем

Подставим найденную производную в выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

Таким образом, подынтегральная функция принимает вид:

Видео:Как вывести формулу площади круга?Скачать

Площадь круга: как найти, формулы

О чем эта статья:

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Площадь кругаСкачать

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.

Видео:Как найти площадь круга?Скачать

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Площадь круга через диаметр

S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Длина окружности и площадь кругаСкачать

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Ответ: 113,04 см 2 .

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Ответ: 6358,5 мм 2 .

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Ответ: 18,84 см 2 .

💡 Видео

Вычисление формулы площади кругаСкачать

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

9 класс, 27 урок, Площадь кругаСкачать

Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК #math #логика #загадка #математика #геометрияСкачать

Площадь кругаСкачать

Площадь кругаСкачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать