наибольшее значение площади прямоугольника

Наибольшее значение площади прямоугольника

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n

Так как a и n ― целые числа, то число 200 000 кратно числу

Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5.

Возможны три случая:

1) Число не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100.

2) Число делится на 5, но не делится на 25. Из чисел вида в искомый промежуток попадает только число В этом случае а площадь равна 937 500.

3) Число делится на 25. В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа 200 000. Если же 100 + n = 125, то a = 1600, а площадь равна 640 000.

Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в)	4
Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки Содержание Наибольшее значение площади прямоугольника Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами По диагонали и стороне По стороне и диаметру описанной окружности По радиусу описанной окружности и стороне По стороне и периметру – 1 способ По стороне и периметру – 2 способ По диагонали и углу между диагоналями По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ Наибольшее значение площади прямоугольника Ответ: Наибольшей площадью среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами обладает квадрат. Таким образом, для того, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей, длина и ширина этого прямоугольника должны быть равны. Вычислим длину стороны квадрата периметром 40 см: Ответ: для того, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей все его стороны должны иметь длину 10 см. Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны. Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 42 = 8 см. По диагонали и стороне Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия: Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя. Найти квадрат известной стороны. Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны. Найти квадратный корень получившейся разности. Умножить его на известную сторону. Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь. Квадрат стороны = 33 = 9 см. Квадрат диагонали = 55 = 25 см. Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см. Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см. Умножаю корень разности на известную сторону: 169 = 144 см. Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A. По стороне и диаметру описанной окружности Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника. Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр. Найдите квадрат известной стороны. Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны. Найдите квадратный корень разности. Умножьте квадратный корень на известную сторону. Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см. Квадрат диаметра: 1010 = 100 см. Квадрат стороны: 88 = 64 см. Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см. Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 66 = 36). Умножаю сторону на корень из разности: 86 = 48 см. Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите: А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника. Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра. По радиусу описанной окружности и стороне Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше. Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус). Умножить квадрат радиуса на 4. Найти квадрат известной стороны. Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье). Найти квадратный корень разности. Умножить корень на известную сторону. Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см. Квадрат радиуса: 55=25 см. Четыре квадрата радиуса: 425 = 100 см. Квадрат стороны: 66 = 36 см. Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см. Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см. Умножаю корень на сторону: 86 = 48 см. Радиус = половине диаметра. Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру. По стороне и периметру – 1 способ Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b). Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их. Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите площадь. Нахожу вторую сторону прямоугольника: P=2(a+b). P=2a+2b. 14= 23+2b. 14 = 6+2b. 2b = 14-6 = 8. b = 8/2. b = 4. Нахожу площадь по основной формуле. S = 34 = 12 см. По стороне и периметру – 2 способ Умножьте периметр на сторону. Найдите квадрат стороны. Умножьте квадрат стороны на 2. Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье). Поделите на 2. Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь. Умножаю периметр на сторону: 828 = 224 см. Нахожу квадрат стороны: 88 = 64 см. Умножаю квадрат стороны на два: 642 = 84 см. Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см. Делю разность на два: 140/2 = 70 см. По диагонали и углу между диагоналями Диагонали прямоугольника всегда равны. Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя). Найти половину этого квадрата – умножить его на 0,5. Найти синус угла между диагоналями. Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями. Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов. Квадрат диагонали: 1010 = 100 см. Половина этого квадрата: 0,5100 = 50 см. Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5. Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 500,5 = 25 см. Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2). По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше. Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов. Находим длину диагонали: 62 =12 см. Квадрат диагонали равен 144 см. Половина квадрата: 72 см. Синус 30 градусов равен 0,5. Умножаем половину квадрата на синус: 720,5 = 36 см. По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ Найти квадрат радиуса (умножить радиус на радиус). Умножить квадрат радиуса на два. Найти синус угла между диагоналями. Умножить синус угла на два радиуса в квадрате. Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов. Квадрат радиуса: 66 = 36. Два радиуса в квадрате: 362 = 72. Синус 30 градусов равен 0,5. Произведение синуса и двух радиусов в квадрате: 72*0,5 = 36 см. Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми. Поделиться или сохранить к себе: Search for: Статьи площадь крыши по площади здания 1807 Статьи площадь славы самара памятник кому 1812 Статьи захват общей площади в подъезде 1806 Статьи подводная площадь по миделю 1805 Статьи старые фото уфа советская площадь 1838 Смотрите также чтобы найти площадь прямоугольного треугольника надо чтобы найти площадь прямоугольника нужно правило чтобы найти площадь параллелограмма нужно правило чтобы найти площадь многоугольника нужно знать чтобы найти площадь квадрата нужно правило чтобы вычислить площадь прямоугольника 3 класс что такое эффективная площадь атома что такое штрафная площадь в футболе О сайте \| \| © 2026 Площадь PRO.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в)

Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно

обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки

Содержание

Наибольшее значение площади прямоугольника
Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами
По диагонали и стороне
По стороне и диаметру описанной окружности
По радиусу описанной окружности и стороне
По стороне и периметру – 1 способ
По стороне и периметру – 2 способ
По диагонали и углу между диагоналями
По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ
По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ

Наибольшее значение площади прямоугольника

Ответ:

Наибольшей площадью среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами обладает квадрат.

Таким образом, для того, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей, длина и ширина этого прямоугольника должны быть равны.

Вычислим длину стороны квадрата периметром 40 см:

Ответ: для того, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей все его стороны должны иметь длину 10 см.

Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами

Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.

Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
Найти квадрат известной стороны.
Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
Найти квадратный корень получившейся разности.
Умножить его на известную сторону.

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.

По стороне и диаметру описанной окружности

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.

Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
Найдите квадрат известной стороны.
Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
Найдите квадратный корень разности.
Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.

Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:

А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.

Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
Умножить квадрат радиуса на 4.
Найти квадрат известной стороны.
Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
Найти квадратный корень разности.
Умножить корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.

Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Радиус = половине диаметра.

Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.

По стороне и периметру – 1 способ

Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).

Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.

Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите площадь.

Нахожу вторую сторону прямоугольника:
1. P=2(a+b).
2. P=2a+2b.
3. 14= 2*3+2b.
4. 14 = 6+2b.
5. 2b = 14-6 = 8.
6. b = 8/2.
7. b = 4.
Нахожу площадь по основной формуле. S = 3*4 = 12 см.

По стороне и периметру – 2 способ

Умножьте периметр на сторону.
Найдите квадрат стороны.
Умножьте квадрат стороны на 2.
Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).
Поделите на 2.

Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.

Умножаю периметр на сторону: 8*28 = 224 см.
Нахожу квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
Умножаю квадрат стороны на два: 64*2 = 84 см.
Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см.
Делю разность на два: 140/2 = 70 см.

По диагонали и углу между диагоналями

Диагонали прямоугольника всегда равны.

Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя).
Найти половину этого квадрата – умножить его на 0,5.
Найти синус угла между диагоналями.
Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

Квадрат диагонали: 10*10 = 100 см.
Половина этого квадрата: 0,5*100 = 50 см.
Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5.
Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 50*0,5 = 25 см.

Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ

Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

Находим длину диагонали: 6*2 =12 см.
Квадрат диагонали равен 144 см.
Половина квадрата: 72 см.
Синус 30 градусов равен 0,5.
Умножаем половину квадрата на синус: 72*0,5 = 36 см.

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ

Найти квадрат радиуса (умножить радиус на радиус).
Умножить квадрат радиуса на два.
Найти синус угла между диагоналями.
Умножить синус угла на два радиуса в квадрате.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.

Квадрат радиуса: 6*6 = 36.
Два радиуса в квадрате: 36*2 = 72.
Синус 30 градусов равен 0,5.
Произведение синуса и двух радиусов в квадрате: 72*0,5 = 36 см.

Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.