вычислить площадь поверхности конуса интеграл

Вычисление площади поверхности

Содержание

Вычисление площади поверхности
Далее:
Вычисление поверхностных интегралов: теория и примеры
Понятие поверхностного интеграла первого рода
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Понятие поверхностного интеграла второго рода
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Больше примеров на вычисление поверхностных интегралов
Геометрические приложения определенного интеграла
Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости
Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости
Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара
Вывод формулы для площади сферы

Вычисление площади поверхности

Услуги проектирования
Двойной интеграл
Вычисление площади поверхности

Вычисление площади поверхности

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $sigma $, однозначно проектирующаяся в область $mathbf < textit > $ на плоскости $mathbf < textit > $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $sigma :;z=f(x,y),;(x,y)in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ $ = 2$mathbf < textit > $ из сферы $mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ $ = 4$mathbf < textit > ^ $ .

Решение:

Область $mathbf < textit > $ — сдвинутый на $mathbf < textit > $ единиц по оси $mathbf < textit > $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $mathbf < textit > $ и $mathbf < textit > $:

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ < + + = > ;; < text ;;z = sqrt < — — > . > $

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ < S_ < largefrac normalsize > > = iintlimits_R < sqrt < 1 + < < left( < frac < > < > >right) > ^2 > + < < left( < frac < > < > >right) > ^2 > > dxdy > .$

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 < S_ < largefrac normalsize > > = 4pi .$

Вычисление площадей плоских областей

Определение двойного интеграла

Специальные векторные поля

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Вычисление объёмов

Определение криволинейного интеграла второго рода

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Критерий полноты . Лемма о нелинейной функции

Частные случаи векторных полей

Критерий полноты . Лемма о немонотонной функции

Вычисление двойного интеграла

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Огравление $Rightarrow $

Вычисление поверхностных интегралов: теория и примеры

Понятие поверхностного интеграла первого рода

Поверхностный интеграл — обобщение понятия криволинейного интеграла на случаи, когда интегрирование происходит не по отрезку кривой, а по ограниченной поверхности. Как и криволинейные интегралы, поверхностные интегралы бывают первого рода и второго рода.

Поверхностный интеграл первого рода записывается в виде

где f(M) = f(x,y,z) – функция трёх переменных, а поверхность σ — область интегрирования этой функции. Если f(x,y,z) равна единице, то поверхностный интеграл равен площади поверхности.

Представьте себе довольно большой подсолнух с очень-очень маленькими семечками. Тогда по сумме поверхностей очень-очень маленьких семечек, расположенных на поверхности подсолнуха, можно вычислить поверхность подсолнуха — таким может быть упрощённое толкование поверхностного интеграла. Почему так?

Давайте перейдём к более формальному определению поверхностного интеграла. Поверхность σ разбита на n частей с площадями Δσ 1 , Δσ 2 , . Δσ n . Если выбрать на каждой частичной поверхности (семечке) произвольную точку M i с координатами (ζ i , η i , ς i ,) , то можно составить сумму

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности σ . Теперь будем максимально увеличивать число таких маленьких частей, а наибольший диаметр Δσ i — наоборот, уменьшать. Если интегральная сумма при стремлении наибольшего из диаметров частей к нулю (то есть, как мы уже отмечали, все части очень маленькие) имеет предел, то этот предел и называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности σ .

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сводением к двойному интегралу.

Пусть поверхность σ задана уравнением z = z(x, y) , её проекцией на плоскость xOy является область D xy , при этом функция z = z(x, y) и её частные производные и непрерывны в области D xy .

Это и есть формула, выражающая поверхностный интеграл первого рода через двойной интеграл по проекции поверхности σ на плоскость xOy.

Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где σ — часть плоскости в первом октанте.

Из уравнения плоскости получаем выражение «зет»: .

Тогда частные производные: , и

Поверхность σ является изображённым на чертеже треугольником ABC , а его проекцией на плоскость xOy — треугольником AOB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 и 3x + y = 6 . От поверхностного интеграла перейдём к двойному интегралу и решим его:

Понятие поверхностного интеграла второго рода

Прежде чем перейти к определению поверхностного интеграла второго рода, требуется познакомиться с понятиями стороны поверхностей и ориентированных поверхностей.

Пусть в пространстве дана гладкая поверхность σ. На этой поверхности выберем произвольную точку M и проведём через неё вектор нормали к поверхности. Через точку M проведём также на поверхности σ произвольный контур, не имеющий общих точек с границей поверхности σ. Точку M вместе с вектором нормали будем перемещать по контуру так, чтобы вектор нормали постоянно был перпендикулярен поверхности σ. По возвращении точки M в начальное положение возможны два случая: направление вектора нормали сохранится или же поменяется на противоположное.

Если направление вектора нормали не поменяется, то поверхность σ называется двусторонней. Если же при обходе контура направление вектора нормали поменяется на противоположное, то поверхность называется односторонней. Двусторонние поверхности называются ориентированными поверхностями, односторонние — неориентированными поверхностями.

Пример односторонней поверхности — лист Мёбиуса (на рисунке выше), который можно сделать из полоски бумаги, одна сторона которой повёрнута на 180 градусов, и затем концы склеены. И вот что здесь важно: для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

Так что будем рассматривать только двусторонние поверхности. Примеры двусторонних поверхностей — плоскости, сфера, эллипсоид, параболоид.

Положительную сторону двустороней поверхности определяет направление вектора нормали. Противоположная сторона поверхности называется отрицательной. Положительной стороной поверхности называется её верхняя сторона. Если единичные векторы нормали составляют острые углы с осью Oz, то выбрана верхняя сторона поверхности z = z(x, y) , если углы тупые, то нижняя сторона поверхности.

Как и в случае поверхностного интеграла первого рода, поверхность можно разбить на n частей. При формулировке понятия поверхностного интеграла первого рода в интегральной сумме присутствовали площади каждой из частей, на которые умножаются значения функции f(M i ) . В случае поверхностного интеграла второго рода берутся площади не самих частей, а площади их проекций на координатные плоскости. А функцию трёх переменных для отличия от интеграла первого рода обозначим R(x,y,z) . Тогда интегральная сумма запишется так:

где Δs i — площади упомянутых проекций частей стороны поверхности на координатную ось (пока будем считать, что на ось xOy).

При таких соглашениях и обозначениях определение поверхностного интеграла второго рода аналогично определению интеграла первого рода. А именно: поверхностным интегралом второго рода называется предел данной интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей рассматриваемой поверхности.

Записывается он так:

В данном случае функция R(x,y,z) интегрируема по переменным x и y, так как части поверхности проецировались на плоскость xOy.

Аналогично можно записать и два других поверхностных интеграла второго рода:

(функция P(x,y,z) интегрируема по переменным y и z, так как части поверхности проецируются на плоскость yOz),

(функция Q(x,y,z) интегрируема по переменным z и x, так как части поверхности проецируются на плоскость zOx).

Сумма этих интегралов

называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Поверхностный интеграл второго рода вычисляется путём разложения общего поверхностного интеграла второго рода на сумму поверхностных интегралов (см. окончание предыдущего параграфа) и сведением каждого из них к двойному интегралу.

Рассмотрим подробно вычисление интеграла

Пусть поверхность σ задана уравнением z = z(x, y) . Положительную сторону поверхности обозначим , отрицателную , а проекцию на плоскость xOy — D xy .

Таким образом, получаем формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода:

Если выбрана отрицательная сторона поверхности, то знак интеграла меняется:

Аналогично вычисляются два других отдельных интеграла — слагаемых общего:

Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

где σ — верхняя сторона части плоскости , отсечённая плоскостями y = 0 и y = 4 и находящаяся в первом октанте.

Решение. Чертёж — на рисунке сверху. По определению получаем сумму трёх двойных интегралов:

Второй интеграл равен нулю, так как плоскость σ параллельна оси Oy . Поэтому найдём первый и третий интегралы:

Остаётся лишь сложить все отдельные интегралы и получить общий поверхностный интеграл второго рода:

Если требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности, можно перейти к тройному интегралу, используя формулу Остроградского. Тогда, если функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) и R(x,y,z) и их частные производные , , — непрерывные функции в области W , которую ограничивает замкнутая поверхность σ , то при интегрировании по внешней стороне поверхности в силе равенство

Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

где σ — внешняя сторона поверхности конуса, образованного поверхностью и плоскостью z = 2 .

Решение. Данная поверхность является поверхностью конуса с радиусом R = 2 и высотой h = 2 . Это замкнутая поверхность, поэтому можно использовать формулу Остроградского. Так как P = 3x , Q = 4y , R = −z , то частные производные , , .

Переходим к тройному интегралу, который и решаем:

Больше примеров на вычисление поверхностных интегралов

Пример 4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где σ — боковая поверхность конуса при .

Решение. Так как частные производные , , то

Сводим данный поверхностный интеграл к двойному:

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг с центром в начале координат и радиусом R = 2 , поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:

Получаем следующий интеграл, который окончательно и решаем:

Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

где σ — верхняя часть треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл разделим на сумму двух интегралов

, где

Чтобы вычислить интеграл I 1 , построим проекцию поверхности σ на плоскость yOz. Проекцией является треугольник OCB , который на плоскости yOz ограничивают прямые или , y = 0 и z = 0 . Из уравнения плоскости выводится . Поэтому можем вычислить интеграл I 1 :

Чтобы вычислить интеграл I 2 , построим проекцию поверхности σ на плоскость zOx. Проекцией является треугольник AOC , который ограничивают прямые или , x = 0 и z = 0 . Вычисляем:

Складываем два полученных интеграла и окончательно получаем данный поверхностный интеграл:

Пример 6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

где σ — внешняя поверхность пирамиды, образованной плоскостью и координатными плоскостями.

Решение. Данный поверхностный интеграл вычислим двумя способами

1) интегрируя по каждой грани пирамиды;

2) используя формулу Остроградского.

1) Вычисление интегрированием по каждой грани пирамиды.

а) Вычислим интеграл по треугольнику ABC . Для этого разделим интеграл на сумму трёх интегралов, которые отдельно решим:

;

Складываем и получаем:

б) Вычислим поверхностный интеграл по треугольнику AOB , который находится в плоскости z = 0 . Тогда dz = 0 и, учитывая, что нормальный вектор плоскости образует с осью Oz тупой угол, получаем

в) Треугольник AOC находится в плоскости y = 0 , таким образом, dy = 0 и (нормальный вектор плоскости образует с осью Oy тупой угол) получаем

г) Осталось вычислить поверхностный интеграл по треугольнику CBO находится в плоскости x = 0 , таким образом, dx = 0 и получаем

В результате получаем данный поверхностный интеграл второго рода:

2) Используя формулу Остроградского, от поверхностного интеграла по замкнутой поверхности перейдём к тройному интегралу, где W — область, ограниченная поверхностью σ . Так как P = xz , Q = 1 , R = 2y , то частные производные , , .

Получаем следующее решение данного поверхностного интеграла:

В последнем примере вернёмся к вычислению поверхностного интеграла первого рода.

Пример 7. Вычислить площадь поверхности параболоида во внутренней части сферы .

Решение. Определим, при каком значении z данные поверхности пересекаются:

Значение −3 не подходит, поэтому остаётся только z = 1 .

Обозначим через C часть поверхности данного параболоида во внутреней стороне сферы. Проекция поверхности C (обозначим её D ) на плоскость xOy является кругом с центром в начале координат и радиусом √2 , так как при z = 1 получаем уравнение окружности . Решаем поверхностный интеграл первого рода:

Проекцией поверхности на плоскость xOy является круг, поэтому при вычислении двойного интеграла перейдём к полярной системе координат. Для этого сделаем замену переменных:

Получаем окончательное решение данного поверхностного интеграла:

Геометрические приложения определенного интеграла

вычислить площадь поверхности конуса интеграл

Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла