вычислить площадь неправильного пятиугольника

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Расчет площади пятиугольного участка

Площадь пятиугольного участка — это числовая характеристика участка земли, показывающая его размер в квадратных метрах или сотках.

Формула расчета площади пятиугольного участка (по формуле Герона):

S — площадь участка;
S1, S2, S2 — площадь части участка;
p — полупериметр;
a,b,c — длины сторон.

Смотрите также расчеты площадей участков другой формы — виды участков.

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор для расчета площади пятиугольного участка в зависимости от длин его сторон. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить площадь пятиугольного участка.

Видео:ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия АтанасянСкачать

Площадь многоугольника

Расчет площади многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники

Пример многоугольника

Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).

По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».

Видео:Быстрый способ ➜ Найдите площадь многоугольника на рисункеСкачать

Площадь правильного и неправильного пятиугольника: как рисовать, упражнения

Площадь правильного и неправильного пятиугольника: как рисовать, упражнения — Наука

Видео:Площадь фигурыСкачать

Содержание:

Для расчета площадь пятиугольника для начала нам нужно определить, регулярно это или нет. Пятиугольник — это многоугольник, замкнутая плоская фигура с пятью сторонами. Когда многоугольник правильный, это означает, что длина его сторон одинакова, а его внутренние углы одинаковы.

В этом случае есть формула для вычисления точной площади правильного многоугольника, зная некоторые из его основных характеристик, которые мы выведем позже.

Если многоугольник не правильный, то есть имеет стороны разных размеров и неравные внутренние углы, единой формулы не существует.

Однако математики нашли методы вычислений, такие как разделение фигуры на другие с меньшим количеством сторон, такие как треугольники, квадраты и прямоугольники, размеры которых легко узнать или вычислить.

Еще одна процедура для вычисления площадей полигонов в целом, зная координаты их вершин, — это метод, называемый Гауссовские детерминанты, о котором мы расскажем позже.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Как найти площадь правильного пятиугольника?

Мы собираемся взять правильный пятиугольник со стороной a и разделить его на 5 равных треугольников, как показано на рисунке, проведя отрезки от центра (красный) до вершин (синий).

В свою очередь, треугольники, как и тот, который выделен желтым справа на рисунке выше, делятся на два равных прямоугольных треугольника благодаря зеленому сегменту, который называется апофема.

Апофема определяется как перпендикулярный сегмент, который соединяет центр многоугольника с центром одной из сторон. Его длина L_К.

Площадь прямоугольного треугольника с основанием a / 2 и высотой L_К это:

Пентагон состоит из 10 таких треугольников, поэтому его площадь равна:

А = 10 (а / 2) х L_К

Но периметр п пятиугольника равно P =10а, поэтому площадь определяется как произведение периметра и длины апофемы:

Видео:Как найти площадь фигуры#математика #площадьфигуры #геометрия #формулапика #репетиторСкачать

Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a

Выражая длину апофемы L_К как функция стороны a, зная, что указанный угол составляет половину центрального угла, то есть 36º, что эквивалентно:

Методом элементарной тригонометрии через тангенс острого угла 36º:

загар (π / 5) = (a / 2) ÷ L_К

L_К= (а / 2) ÷ загар (π / 5)

Подставив в область, выведенную в предыдущем разделе, и зная, что P = 5a:

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус

В радио правильного многоугольника — это отрезок, идущий от центра до одной из его вершин. Он соответствует радиусу описанной окружности, как показано на следующем рисунке:

Пусть R — мера указанного радиуса, которая совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника, выделенного синим цветом на предыдущем рисунке. По тригонометрии:

cos 36º = cos (π / 5) = L_К ÷ R

sin 36º = sin (π / 5) = (a / 2) ÷ R

А = P x L_К / 2 = 5р. sin (π / 5) x R. cos (π / 5) = 5R 2 [sin (π / 5) x cos (π / 5)]

Используя формулу двойного угла:

грех (2θ) = 2 греха θ. cos θ

[sin (π / 5) x cos (π / 5)] = (1/2) sin 72º

Итак, подставив это значение, мы получим следующую формулу для площади правильного пятиугольника:

А = (5/2) R 2 .sen 72º

Видео:Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать

Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?

Как мы уже говорили ранее, для неправильного многоугольника не существует уникальной формулы, но есть два метода, которые обычно работают очень хорошо: первый называется триангуляцией, а второй — методом детерминантов Гаусса.

Видео:Как найти площадь многоугольника | Олимпиадная математикаСкачать

Триангуляция

Он состоит из деления фигуры на треугольники, площадь которых легче вычислить, или ее также можно проверить с другими фигурами, площадь которых известна, такими как квадраты, прямоугольники и трапеции.

Видео:Площадь многоугольникаСкачать

Гауссовские детерминанты

Другой способ найти площадь неправильного пятиугольника или другого неправильного многоугольника — это поместить фигуру в декартову систему координат, чтобы найти координаты вершин.

Зная эти координаты, применяется гауссовский метод определителей для вычисления площади, которая определяется следующей формулой:

Где A — площадь многоугольника, а (x_п , Y_п ) — координаты вершин. Многоугольник с n сторонами имеет 5 вершин, для пятиугольника это будет n = 5:

Полосы, сопровождающие формулу, представляют собой столбцы модуля или абсолютного значения.

Это означает, что даже если результат операции отрицательный, мы должны выразить его положительным знаком, а если он уже положительный, то его нужно оставить с этим знаком. Это потому, что площадь всегда является положительной величиной.

Процедура названа гауссовскими детерминантами в честь ее создателя, немецкого математика Карла Ф. Гаусса (1777-1855). Указанные операции эквивалентны определителю матрицы 2 × 2, например, первый определитель равен:

Чтобы найти площадь пятиугольника, мы должны решить 5 определителей, сложить результат алгебраически, разделить его на 2 и, наконец, выразить площадь всегда с положительным знаком.

Видео:Математика Урок 10 Площадь правильного многоугольникаСкачать

Решенные упражнения

Видео:112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

Упражнение 1

Найдите площадь правильного пятиугольника, апофема которого равна 4 см, а сторона — 5,9 см.

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

Решение

Поскольку это правильный пятиугольник, а у нас есть размеры стороны и апофемы, мы используем формулу, полученную выше:

Периметр P равен 5a = 5 x 5,9 см = 29,5 см.

A = 29,5 см x 4 см / 2 = 59 см 2

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Упражнение 2.

Найдите площадь неправильного пятиугольника, как показано. Известны следующие размеры:

Видео:2 лучших способа определения площади многоугольника на рисунке ➜ Найдите площадь ➜ Формула ПикаСкачать

Решение

Площадь пятиугольника — это сумма площадей треугольников, которые являются прямоугольниками. В заявлении говорится, что DC ≈ DE, поэтому при применении теоремы Пифагора к треугольнику EDC мы имеем:

EC 2 = 2 ED 2 . Тогда EC = √2.ED.

Треугольники AEC и ABC имеют общую гипотенузу — отрезок AC, поэтому:

EA 2 + EC 2 = AB 2 + BC 2

Поскольку EA и AB измеряют одно и то же, отсюда следует, что:

Поскольку BC = 12, то ED = 12 / √2 = 8,485.

Используя эти значения, мы рассчитаем площадь каждого треугольника и добавим их в конце.

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Площадь треугольника EDC

ED x DC / 2 = 8,485 2 / 2 = 36

Видео:Свойства правильного шестиугольника. Сравнение площадей. Разбор задачи из стереометрии.Скачать

Площадь треугольника AEC

EA x EC / 2 = EA x √2. ED / 2 = 5 x √2. 8 485/2 = 30

Видео:Площадь невыпуклого многоугольникаСкачать

Площадь треугольника ABC

Тогда искомая область:

Это то же самое, что и треугольник AEC, поскольку они оба имеют одинаковые размеры.

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Площадь неправильного пятиугольника

Наконец, запрашиваемая площадь представляет собой сумму площадей трех треугольников:

А = 36 + 30 + 30 единиц = 96 единиц.

Видео:Площадь многоугольников.Скачать

Ссылки

1. Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
2. Открытый справочник по математике. Площадь многоугольника. Получено с: mathopenref.com.
3. Формулы Вселенной. Площадь неправильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
4. Формулы Вселенной. Площадь правильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
5. Википедия. Пентагон. Получено с: es.wikipedia.com.

Вот как образование и обучение влияют на ваш интеллект