как вычислить площадь наклонной призмы

Содержание:

Призмой зовётся объёмный многогранник, состоящий из двух одинаковых основ – многоугольников, расположенных в перпендикулярных плоскостях. Её боковые грани – прямоугольники или параллелограммы, имеют с ними общие грани. Наклонная призма – геометрическое тело с рёбрами, расположенными к основаниям под углом, отличным от прямого. Её верхняя и нижняя плоскости остаются параллельными.

Разновидности

Полная поверхность – сумма боковых поверхностей, нижней и верхней. Боковая – представлена параллелограммами. Расстояние между плоскостями оснований зовётся высотой геометрического тела.

Наклонная трехгранная или треугольная призма представлена пятигранником с равными основаниями в виде треугольников, которые смещены друг относительно друга. Боковые ребра наклонены к основанию.

Объём вычисляется по классической формуле:

Полная площадь: S = S_бок + 2S_осн или P_оснh + 2S_осн.

Сечения

Сечением тела называется фигура, представленная всеми его точками, расположенными на плоскости α. Перпендикулярное сечение наклонной призмы пересекает её боковые рёбра под углом 90°.

• Перпендикулярные сечения геометрического тела равны один другому.
• Сечение будет перпендикулярным боковым ребрам.

Если под углом 90° к боковым граням проходит плоскость сечения, геометрическая фигура называется усечённой. Периметр перпендикулярного сечения такой призмы равен:

• P – периметр фигуры сечения;
• l – боковое ребро, например, dD.

Задача

Перпендикулярным сечением наклонной четырехугольной призмы является ромб с диагоналями BD = 24 см, AC = 18 см. Боковая поверхность – 780 см2. Вычислить боковое ребро геометрической фигуры.

Начнём с рассмотрения перпендикулярного сечения. Стороной призмы является высота пересекающей плоскости. Сторона ромба вычисляется благодаря прямоугольному треугольнику AOB, где катеты равны половине диагонали (особенность рассматриваемого многоугольника).

Половины диагоналей OB и AO равны 9 и 12 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Дана наклонная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Катеты равны 7 и 24 см. Вершина A₁ находится на одинаковом удалении от вершин треугольника. Вычислить высоту призмы, где ребро AA₁ находится под углом 45° к основанию.

Проекция точки A1 на сторону BC △АВС представлена точкой O – это центр окружности, описанной вокруг нижнего основания △АВС. Отсюда следует: O делит гипотенузу ВС на равные отрезки BO = OC. Причём BC ⊥ А₁О – высота геометрического тела.

ΔА₁ОА является равнобедренным прямоугольным, а отрезки А₁О и АО равны.

Воспользуемся теоремой Пифагора.

Расстояния от вершин до точки O равны 25 : 2 = 12,5 см.

Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

<table data-id="97" data-view-id="97_79105" data-title="Площадь правильной треугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«> боковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«>

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

<table data-id="98" data-view-id="98_52245" data-title="Площадь правильной четырехугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснованиебоковая поверхностьполная

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

<table data-id="99" data-view-id="99_96678" data-title="Площадь правильной шестиугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«> боковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«>

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см 2 . Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

Формулы призма

Для расчёта всех основных параметров призма воспользуйтесь калькулятором.

Виды призм

• Прямая призма — это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.

• Наклонная призма — это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.

• Правильная призма — это призма, в которой основания являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.

• Усечённая призма — это призма, в которой основания не параллельны друг другу. Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Основные свойства призмы

• Основание призмы — равные многоугольники
• Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
• Боковые грани призмы — параллелограммы
• Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
• В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Площадь основания правильной призмы

$$ S_ = $$

Где:	N – количество сторон у основания пирамиды

Формулы объёма призмы

Объём призмы через площадь основания (S_ОСН) и высоту (h):

Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения (S_П) и длину бокового ребра (b):

Объём правильной прямой призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

$$ V = * h * a * ctg() $$

Где:	N – количество сторон у основания пирамиды
h – высота призмы
a – длина стороны основания призмы

Формулы площади поверхности правильной призмы

Площадь боковой поверхности призмы через периметр (P) основания и высоту (h)

Площадь поверхности призмы через площадь основания (S_ОСН), периметр основания (P) и высоту (h):

Площадь поверхности правильной призмы через высоту, длину стороны и количество сторон: