творческая работа площадь фигур

Творческая работа по геометрии: » Площадь фигуры».

Описание презентации по отдельным слайдам:

Презентация на тему: «Площадь фигуры. Расстояние. Синус. Тангенс. Косинус» Выполнила: Кошина Кристина Проверила: Ваулина М.Н.

5. Формула площади ромба по длине стороны и высоте Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. S = a · h 6. Формула площади ромба по длинам его диагоналей Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей. 7. Формула площади трапеции по длине основ и высоте Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту S = 1/2* (a + b) · h где S — Площадь трапеции, a, b — длины основ трапеции, c, d — длины боковых сторон трапеции,

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой. Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему

Задание 12 ОГЭ Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке. Решение: Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: 4:2=2 Ответ: 2.

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Решение: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Таким образом, 1/2* (2+3)*4=10 Ответ: 10

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты. Ответ дайте в сантиметрах. Решение: Большей будет высота, проведённая к меньшей стороне. По рисунку видно, что длина большей высоты параллелограмма равна 5 см. Ответ: 5.

4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах. Решение: Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По рисунку определяем это расстояние, оно равно двум клеткам, или 2 см. Ответ: 2.

5. Найдите синус острого угла трапеции, изображённой на рисунке. Решение: Введем обозначения как показано на рисунке и проведём высоту трапеции СH. В прямоугольном треугольнике BCH длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна 5 ( по Теореме Пифагора). Следовательно, искомый синус острого угла B, равный отношению противолежащего углу катета CH к гипотенузе BC, равен 4/5=0,8 Ответ: 0,8.

6. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. Решение: Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту: ½*(5+11)*5 Ответ: 40.

7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь. Решение: Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к данному основанию. Таким образом: ½*7*4 Ответ: 14

8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. Решение. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к данной стороне: 7*2=14 Ответ: 14

9. Найдите тангенс угла , изображённого на рисунке. Решение. Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: 3/1=3 Ответ: 3.

10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали. Решение. По рисунку видно, что длина большей диагонали равна 8. Ответ: 8

Спасибо за внимание.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Ваулина Марина Николаевна

13.06.2017

Геометрия

Презентация

7911

4216

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Проект по математике на тему : «Площади фигур»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа с. Упоровка

Проект по математике

Дёмкина Надёжда Михайловна,

1.Условия возникновения проекта

5. Используемая литература

Проект по теме : Площади фигур

Автор проекта: учитель математики муниципального казённого общеобразовательного учреждения — средней общеобразовательной школ с. Упоровка Екатериновского района Саратовской области Дёмкина Надежда Михайловна

Участники проекта : учащиеся 9 класса

1. Условия возникновения проекта : проблема , которая встаёт ежегодно перед администрацией школы – это подсчет финансовых затрат, необходимых для покупки краски на ремонт школы в летний период. Сложность заключается и в том ,что поверхности некоторых частей здания школы имеют не только прямоугольную форму.

Дидактические цели проекта:

1. Расширить знания учащихся о площадях геометрических фигур : треугольниках, квадратах, прямоугольниках и трапециях.

2.Применить умение находить площади фигур на практике, а именно : для подсчета общей площади поверхностей плоских фигур.

3.Развить творческую активность учащихся, умение делать обобщения на основе данных, полученных в результате исследований.

4.Развить познавательную деятельность учащихся, которая в свою очередь, способствует развитию разносторонней личности.

5. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.

Основными задачами проекта являются :

— формирование у учащихся понятия площади многоугольников;

развитие исследовательских навыков;

развитие познавательного интереса для их дальнейшего самообразования;

формирование навыков проектной работы.

В результате выполнения проекта «Площади многоугольников» учащиеся должны:

знать определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, формулы их площадей;

продемонстрировать осведомленность о практическом применении площадей этих фигур;

знать сведения вычисления площадей в древности;

получать навыки анализа и систематизации полученных ранее знаний; навыки выполнения проектной работы;

самостоятельно работать с дополнительной литературой и Интернет ресурсами.

В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников : квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. Потребность измерения расстояний и площадей привела к появлению зачатков геометрических знаний в глубине тысячелетий. Изучение площадей плоских фигур вызвало у учащихся большой интерес и побудило их к более глубокому изучению свойств треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции и их площадей, как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни)

Рабочие этапы и вопросы для исследования

I этап . Исследование площадей многоугольников. Исторические справки.

II этап . Получение информации о нахождении площадей в древности.

III этап . Нахождение материала о применении площадей в архитектуре и строительстве.

IV этап. Применение полученных знаний на практике.

3.Практическое применение знаний.

Проект посвящён практическому применению знаний по теме «Площади фигур», знанию формул площадей следующих геометрических фигур : треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции с последующим применением этих знаний для решения поставленной задачи. При подготовке проекта работа велась коллективно и поэтапно. Обучающиеся ,

выполняя каждый раздел , пользовались следующими ресурсами : Интернет , библиотека , дополнительный материал, предоставленный на консультации учителем.

Во время отчетов обучющихся учитель следит за их выводами и делает свои выводы, в заключении даёт оценку работы на каждом этапе.

I . Площади плоских многоугольников – результат ( Интернет ):

Произвольный треугольник. a, b, c – стороны; a – основание; h – высота;

A, B, C – углы, противоположные сторонам a, b, c ; p = ( a + b + c ) / 2.

Последнее выражение называется формулой Герона.

Однако данные определения существовали не всегда. Группа историков выяснила, что возникновение геометрии уходит в глубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением за окружающим миром. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого также произошло слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линиум» (льняная нить). Одна из главных величин в геометрии — площадь. Площадь — это величина, характеризующая размер той части плоскости, которая заключена внутри плоской замкнутой фигуры. Обозначается буквой S.

Основная ее задача — измерить площадь, т.е. найти число, которое выражало бы эту величину. Другими словами необходимость установить некоторое соотношение между площадями фигур и числами, их выражающими. Чтобы измерить площадь фигуры, надо, прежде всего, выбрать единицу измерения площади. Такой единицей является квадрат , сторона которого равна некоторой единице измерения. Площади простейших фигур можно определить следующим образом: накладываем единичные квадраты на измеряемую площадь, столько раз, сколько возможно, и подсчитываем количество уместившихся квадратов. Полученное число и есть искомая площадь фигуры .

II этап . Получение информации о нахождении площадей в древности-результат.

Если не учитывать весьма малый вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом, и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте где-то в 1700 году до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки

обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянам стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Египтяне при применении геометрических знаний всецело руководствовались интуицией и приближенными представлениями.

Около 600 года до н.э. греки , совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведенья о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был древнегреческий ученый Фалес (ок. 640-ок.546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике.Он первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора метод дедуктивного рассуждения, которому представало стать доминирующим в геометрии и фактически — во всей математике, сохраняя свое фундаментальное значение и в наши дни.

Всё вышеизложенное говорит о том, что площади многоугольников интересны и с исторической , и с математической точек зрения, а также представляют интерес и в повседневной жизни.

III этап . Нахождение материала о применении площадей в архитектуре и строительстве – результат :

Без знаний о площадях многоугольников невозможно представить развитие архитектуры и дизайнерского искусства. Благодаря точным расчётам площадей составляющих геометрических фигур нельзя создать шедевры с исторической точки зрения, как Исаакиевский собор.

Словами выдающегося французского архитектора Ле Корбюзье сказано всё :

«Человеку , сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны…все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка…Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир- это мир геометрии, чистой, истинной, в наших глазах. Всё вокруг- геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно»

Рис.

Фантазия архитектора может достигнуть и таких форм и это придает зданию весьма оригинальный вид.

Строительное производство сегодня — это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает в строительно-монтажных

организациях, на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных

мастерских. Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания технологии и организации строительного производства, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения. Это лишь одна строительная профессия, а их очень много. Во всех случаях невозможно обойтись без знаний геометрии, без расчетов площадей поверхностей пола, стен, крыши и других элементов.

IV этап. Применение полученных знаний на практике – результат

Выполнение данного проекта позволило решить следующие практические вопросы:

Общая площадь ,подлежащая ремонту , была подсчитана. Объединённые общей идеей , к работе подключились учащиеся других классов. Они помогали делать измерительные работы , выполнять чертежи.

Ребята научились применять формулы площадей геометрических фигур, решать практические задачи , используя современные ИКТ – технологии.

Значимость этого проекта определяется возможностью использования данного материала на уроках геометрии для расширения геометрического кругозора учащихся.

ВЫВОД : Работа над проектом была коллективной и увлекательной. Каждый из учасников получил большой запас знаний не только из области математики, но и из области истории, архитектуры и строительства. Все приобретённые знания помогут стать им более образованными и интересными людьми. В ходе работы был дан ответ на основополагающий вопрос: — Как измерить всё вокруг?

На проблемные вопросы: — Как математика помогает нам в повседневной жизни? Какова её роль в ремонте школы?

На учебные вопросы: — Как вычисляются площади плоских фигур? В каких единицах измеряется площадь? Можно ли вычислить площади разбиением на части?

Работа над проектами должна продолжаться, ведь в математике есть много интересных вопросов и загадок. Пусть сложность данных работ растёт вмести с ребятами.

1. «Геометрия 7 — 9 класс». Авторы – Л.С . Атанасян и др.

2. «Справочник по начальной математике» Автор — С. Лукьянченко.

3. «Справочник по высшей математике» Автор — С. Лукьянченко.

4. «Математическая энциклопедия» Авторы — М. Ю. Серебряков, Л. В. Кузнецова

5. «Школьникам о математике и математиках» Автор — М.М. Лиман.

6. «История математики в школе. VII — VIII классы». Автор — Г.И. Глейзер.

7. «Словарь-справочник по математике». Автор -Н.И. Александров , И.П. Ярандай.

Научно-исследовательская работа по теме: «Площади геометрических фигур»

Данная работа была представлена на районной научно-практической конференции (1 место).Кроме того её текст отражен в сборнике статей межвузовской конференции.

Просмотр содержимого документа
«Научно-исследовательская работа по теме: «Площади геометрических фигур»»

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа № 12

Городской округ город Выкса Нижегородской области

«Нахождение площади геометрических фигур на клетчатой бумаге»

Ученица 8 «Б» класса

учитель математики МБОУ СШ № 12

Костина Елена Евгеньевна

Глава 2. Материалы и методы исследований———————————14-19

2.1 Нахождение площадей геометрических фигур в школьном курсе математики —————————————————————————14-17

3.3. Результаты тестирования среди учащихся школы.————————21-22

Актуальность данной темы продиктована желанием показать разнообразие способов решения одной задачи. Такие задачи встречаются при решении олимпиадных заданий, а также в КИМах и ЕГЭ. Я решила помочь учащимся освоить решения таких задач, чтобы как можно меньше времени тратить на выполнение таких заданий.

В своей работе я поставила следующую цель:

Расширение возможностей учащихся использовать различные способы решения задач по нахождению площадей геометрических фигур на клетчатой бумаге.

Мною были намечены следующие задачи: изучить литературу, изучить различные способы нахождения площадей на клетчатой бумаге, провести эксперимент среди учащихся школы, проанализировать и обобщить результаты

Большинство учащихся пользуются формулами для нахождения площадей из школьного курса математики

Теоретический: изучение литературы

Эмпирический: эксперимент, анализ, сравнения.

Математический: построение таблиц, вычисления.

В результате я сделала вывод, что существует достаточное количество способов решения такого рода задач, но самым результативным является решение по формуле Пика.

Предмет исследования: площадь фигур.

Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге.

«Решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь»

Еще в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника, квадрата и прямоугольного треугольника. С каждым годом наши знания о нахождении площадей фигур расширялись. В школьную программу включены задания, в которых необходимо найти площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге. Подобные задания включены в ЕГЭ.

Актуальность данной темы продиктована желанием показать разнообразие способов решения одной задачи. Такие задачи встречаются при решении олимпиадных заданий, а также в КИМах и ЕГЭ. Я решила помочь учащимся освоить решения таких задач, чтобы как можно меньше времени тратить на выполнение таких заданий.

В своей работе я поставила следующую цель:

Расширение возможностей учащихся использовать различные способы решения задач по нахождению площадей геометрических фигур на клетчатой бумаге.

Мною были намечены следующие задачи:

Изучить литературу с целью выявления разных способов решения задач

Изучить различные способы нахождения площадей на клетчатой бумаге

Провести эксперимент среди учащихся школы, проанализировать и обобщить результаты

Большинство учащихся пользуются формулами для нахождения площадей из школьного курса математики

Практическая значимость: данная работа поможет учащимся при решении задач на нахождение площадей геометрических фигур на клетчатой бумаге и выпускникам при подготовке и сдаче ЕГЭ.

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Когда зародилась наука геометрия?

Геометрия, раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения и формы и их обобщения. Геометрия в переводе с греческого означает «измерение земли» или «землемерие».

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами.

Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т.д.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.

Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки.
Но не только в процессе работы люди знакомились с геометрическим фигурами.

Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов).

Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: «Не знающие геометрии не допускаются!»

«Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из п отребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения и наконец, делается достоянием разума». Эти замечательные слова приписывают греческому ученому Евдему Родосскому, жившему в IV в.до н.э.

В «Энциклопедическом словаре юного математика» написано: «Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках». И наиболее удачно была изложена геометрия, как наука о свойствах геометрических фигур, греческим ученым Евклидом (III в. до н. э.) в своих книгах «Начала».

С отни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.

В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах.

Ученый гордо ответил: «В геометрии нет царской дороги«.

1.2. Измерение площадей

Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.
Вначале людей удовлетворяли субъективные меры, общие для жителей некоторой территории. Так, например, в Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец. В России такой мерой был «плуг» — часть поля, которую можно было вспахать на паре волов за день. В Америке — индейцы при покупке земли в качестве единиц измерения принимали территорию, которую человек мог обежать за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.
Похожую историю рассказывает Л. Н. Толстой в притче «Много ли человеку земли надо» (Толстой Л.Н. ,1886). Герой ее — мужик Пахом — покупает землю. За 1000 рублей ему передается во владение участок, который он сможет обойти за день. Конечно, мужику хочется получить за свои деньги как можно больше земли. Он торопится, спешит и загоняет себя до смерти. В результате Пахом получает, как и любой покойник три аршина земли.»Поднял работник скребку, выкопал Пахому могилу, ровно насколько он от ног до головы захватил — три аршина, и закопал его» ( цит. по. кн. Толстой Л.Н., 1981, с.255). Так кончает писатель свой рассказ.
То, что в разных странах существовали различные меры длины, веса, площади и т. п., было неудобно. Это мешало развитию торговли, ремесел, и в 1791 году Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая, по мнению ее создателей, годилась «на все времена и для всех народов». В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, вес — в килограммах, а площадь земельных участков — в арах.

В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию, по которой обязывались ввести в своих странах систему мер, разработанную французскими учеными. Но еще долго всюду употреблялись местные меры. В России это были старинные меры, узаконенные еще Петром 1. Вот они и их перевод в современные единицы измерения.
Квадратная (кв.) верста = 250000 кв. саженей = 1,1381 км2;

десятина = 2400 кв. саженям =1,0925 га = 10925 м2;

кв. сажень = 9 кв. аршинам =4,5522 м2; кв. аршин = 256 кв. вершкам = =0,5058 м 2 ;

кв. вершок = 19,758 см 2 .
Только после Великой Октябрьской социалистической революции метрическая система стала обязательной на всей территории России. 14 сентября 1918 года был принят декрет «О введении международной метрической десятичной системы мер и весов». Окончательно же эта система вошла в употребление в СССР с 1927 года.

1.3. Меры площади

О возникновении мер площади известно крайне мало. Они появились так давно, что письменные источники, найденные в Двуречье, содержат и первые единицы мер. Никто точно не скажет, у какого народа появились первые мерила. Чтобы представить себе хотя бы общую картину возникновения мер, нам предстоит совершить экскурсию в глубину веков.

Россия. Десятина — мера земельной площади десятая часть. Введена в обиход в XVI в. В России существовали различные виды десятины. Они отличались друг от друга как по площади, так и названием. В словаре В.Даля приводятся следующие виды десятины: казённая, круглая, сотенная, астраханская и бахчевая. В XVIII-XIX в. пользовались владельческой (хозяйственной) десятиной.

Вавилон. Простейшим из инструментов измерения площади была верёвка длиной в гар. Сначала ей мерили одну сторону поля, затем сторону перпендикулярную к ней и получали квадратный гар. Шумеры называли его шар или сар, вавилоняне – сару, что в переводе означает «грядка». Остальные меры площади получались пересчётом: 100 грядок составляли поле, по – вавилонски – ику; 6 полей – ашлу (верёвку). В переводе на наши меры ашлу-2,117 га. 3 верёвки составляли бур (колодец).

Египет. В Египте сечат, ремен, хесеб, са — меры площади. 1 сечат = 2 ременам = 4 хесебам = 8 са = 100 мехам = 2735 кв. м.

Китай. Как и во всех древних государствах, основной ценностью в Китае была земля. По – видимому, полномерным можно было считать поле – цин, состоявшее из 100 му земли. Сама же му состояла из 240 квадратиков со стороной, равной двойному шагу бу. Такой квадрат содержал 2,75 квадратных метра, следовательно, в му был 661 кв. м. Поле — цин было большой площадью. 3 и три четверти цин составляли квадратный ли. Таким образом: 1 цин = 100 му = 24000 кв. бу = 6,61 га.

Рим. Основной единицей площади можно считать югер. Он делится на 2 квадратных акта, 2 югера составляли гередий. 200 югеров образовывали центурию, 4 центурии- сальт. Обычно мерили землю югерами, которые с древности делились на унции

Италия. Мерили землю в разных провинциях Италии по – разному: где пертикой (шестом), и там счётной единицей становилась квадратная пертика; где катеной (цепью) – с единицей квадратная катена. Основной поземельной единицей в большинстве мест Северной Италии была табула (полоса) и стайо.

Англия. Ещё во времена англосаксонов, VIII-X вв., в Англии существовала мера земли гайда или мансус, иначе её называли «плуговая запашка». Гайда определялась в 120 акров. Акр делился на 4 руда по 40 кв. родов, или перчей. Род2 равен 25,29 кв. м, а в акре насчитывалось 160 таких родов. Была ещё малоупотребимая единица площади-ярдленд, равная 1/3 гайды

Большинство старых мер забыто, вышло из употребления, но многие из них фигурируют в литературных произведениях, исторических памятниках. Они заложены в старинных постройках, в древних рецептах лекарств. У них есть история, как и у человеческого общества.

1.4. Формула Пика

Еще в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника, квадрата и прямоугольного треугольника. С каждым годом наши знания о нахождении площадей фигур расширялись. В школьную программу включены задания, в которых необходимо найти площадь многоугольника изображенного на клетчатой бумаге. Я узнала, что существует универсальная формула для решения такого рода заданий, которая не рассматривается в школе.

Формула Пика (или теорема Пика) — формула, согласно которой площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна ½. Этот факт даёт геометрические доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Открыта австрийским математиком Георгом Пиком (см. приложение № 1) в 1899 году.

Формула Пика используется не только для вычисления площадей многоугольников, но и для решения многих задач олимпиадного уровня. Пример использования формулы Пика при решении задач:

1) Шахматный король обошел доску 8 × 8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)

Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2 − 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких «траекторий» короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.

🔥 Видео