Площадь PRO » Статьи

теорема для вычисления площади параллелограмма

Обновлено
Содержание
  1. Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения
  2. Площадь параллелограмма
  3. Площадь параллелограмма
  4. Площадь параллелограмма по основанию и высоте параллелограмма
  5. Площадь параллелограмма по стороне и высоте, опущенной на эту сторону
  6. Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
  7. Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между этими диагоналями
  8. Площадь параллелограмма по вписанной окружности и стороне
  9. Площадь параллелограмма по вписанной окружности и углу между сторонами
  10. Таблица с формулами площади параллелограмма
  11. Определения
  12. Как найти площадь параллелограмма — три основных формулы
  13. Формулы для расчета площади параллелограмма
  14. Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота
  15. Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол
  16. Как найти площадь параллелограмма через диагонали
  17. Комментарии и отзывы (1)
  18. 🔍 Видео

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения

Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство:

Пусть теорема для вычисления площади параллелограмма

1) Проведем высоту теорема для вычисления площади параллелограммак прямой, содержащей сторону теорема для вычисления площади параллелограммапараллелограмма.

2) теорема для вычисления площади параллелограмма(как соответственные углы при параллельных прямых теорема для вычисления площади параллелограммаи теорема для вычисления площади параллелограммаи секущей теорема для вычисления площади параллелограммаПоэтому теорема для вычисления площади параллелограмма(по гипотенузе и острому углу).

теорема для вычисления площади параллелограмма

3) Параллелограмм теорема для вычисления площади параллелограммасостоит из трапеции теорема для вычисления площади параллелограммаи треугольника теорема для вычисления площади параллелограммаа прямоугольник теорема для вычисления площади параллелограмма— из трапеции теорема для вычисления площади параллелограммаи треугольника теорема для вычисления площади параллелограммаТак как треугольники теорема для вычисления площади параллелограммаи теорема для вычисления площади параллелограммаравны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма теорема для вычисления площади параллелограммаи прямоугольника теорема для вычисления площади параллелограмма

4) теорема для вычисления площади параллелограммаНо теорема для вычисления площади параллелограммаи поэтому теорема для вычисления площади параллелограммаСледовательно, теорема для вычисления площади параллелограмма

Заметим, что если основание высоты теорема для вычисления площади параллелограмма— точка теорема для вычисления площади параллелограмма-совпадает с точкой теорема для вычисления площади параллелограммаили лежит на продолжении стороны теорема для вычисления площади параллелограммато доказательство теоремы будет аналогичным.

В общем виде формулу площади теорема для вычисления площади параллелограммапараллелограмма можно записать так:

теорема для вычисления площади параллелограмма

где теорема для вычисления площади параллелограмма— сторона параллелограмма, теорема для вычисления площади параллелограмма— высота, к ней проведенная.

Пример:

Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны.

Доказательство:

Пусть теорема для вычисления площади параллелограмма— данный ромб, теорема для вычисления площади параллелограммаи теорема для вычисления площади параллелограмма— его высоты (рис. 232).

теорема для вычисления площади параллелограмма

Ромб является параллелограммом, поэтому теорема для вычисления площади параллелограммаНо теорема для вычисления площади параллелограммаа значит теорема для вычисления площади параллелограмма

Пример:

Периметр параллелограмма равен 36 см, а его высоты — 4 см и 5 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1) Пусть теорема для вычисления площади параллелограмма— данный параллелограмм, теорема для вычисления площади параллелограммаи теорема для вычисления площади параллелограмма— его высоты (рис. 232), теорема для вычисления площади параллелограмма

2) теорема для вычисления площади параллелограммаПо условию теорема для вычисления площади параллелограммапоэтому теорема для вычисления площади параллелограмма

3) Пусть теорема для вычисления площади параллелограммасм, тогда теорема для вычисления площади параллелограммасм.

4) Так как по формуле площади параллелограмма теорема для вычисления площади параллелограммаили теорема для вычисления площади параллелограммаимеем уравнение: теорема для вычисления площади параллелограммаТо есть теорема для вычисления площади параллелограммаоткуда теорема для вычисления площади параллелограмма(см).

5) Тогда теорема для вычисления площади параллелограмма

Ответ. 40 теорема для вычисления площади параллелограмма

Видео:Геометрия 8 класс. Площадь параллелограммаСкачать

Геометрия 8 класс. Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма

С помощью формулы площади прямоугольника можно доказать формулу площади произвольного параллелограмма.

Теорема (формула площади параллелограмма)

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

теорема для вычисления площади параллелограмма

где теорема для вычисления площади параллелограмма — сторона параллелограмма, теорема для вычисления площади параллелограмма — проведенная к ней высота.

Пусть теорема для вычисления площади параллелограмма— данный параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 145, а). Проведем его высоты теорема для вычисления площади параллелограммаи докажем, что теорема для вычисления площади параллелограммаЧетырехугольник теорема для вычисления площади параллелограммаявляется прямоугольной трапецией, площадь которой можно вычислить двумя способами — как сумму площадей параллелограмма теорема для вычисления площади параллелограммаи треугольника теорема для вычисления площади параллелограммаили как сумму площадей прямоугольника теорема для вычисления площади параллелограммаи треугольника теорема для вычисления площади параллелограммаТреугольники теорема для вычисления площади параллелограммаравны по гипотенузе и катету теорема для вычисления площади параллелограммакак противолежащие стороны параллелограмма, теорема для вычисления площади параллелограммакак расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Тогда площади параллелограмма теорема для вычисления площади параллелограммаи прямоугольника теорема для вычисления площади параллелограмматакже равны, т.е. теорема для вычисления площади параллелограммаСлучаи, когда точка теорема для вычисления площади параллелограммане является внутренней точкой отрезка теорема для вычисления площади параллелограмма(рис. 145, б, в), рассмотрите самостоятельно.

теорема для вычисления площади параллелограмма

Пример:

Площадь параллелограмма равна теорема для вычисления площади параллелограммаа длины его высот — 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм с площадью теорема для вычисления площади параллелограммаи высотами теорема для вычисления площади параллелограмма(рис. 146).

Поскольку теорема для вычисления площади параллелограмматеорема для вычисления площади параллелограмма

Следовательно, периметр параллелограмма равен теорема для вычисления площади параллелограмма

Ответ: 42 см.

теорема для вычисления площади параллелограмма

Решая приведенную задачу, можно заметить интересную закономерность: чем больше сторона параллелограмма, тем меньше проведенная к ней высота.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Четырехугольники и окружность
  • Параллелограмм, его свойства и признаки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

Для вычисления площади параллелограмма применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

Площадь параллелограмма – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)

Площадь параллелограмма по основанию и высоте параллелограмма

теорема для вычисления площади параллелограмма

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Площадь параллелограмма по стороне и высоте, опущенной на эту сторону

теорема для вычисления площади параллелограмма

Видео:Как найти площадь параллелограмма?Скачать

Как найти площадь параллелограмма?

Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

теорема для вычисления площади параллелограмма

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между этими диагоналями

теорема для вычисления площади параллелограмма

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и стороне

теорема для вычисления площади параллелограмма

Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

Видео:§16 Нахождение площади параллелограммаСкачать

§16 Нахождение площади параллелограмма

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и углу между сторонами

теорема для вычисления площади параллелограмма

Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Таблица с формулами площади параллелограмма

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)		эскизформула
1основание и высотатеорема для вычисления площади параллелограмма
2сторона и высота,
опущенная на эту сторону		теорема для вычисления площади параллелограмма
3две стороны и угол между нимитеорема для вычисления площади параллелограмма
4диагонали и угол между нимитеорема для вычисления площади параллелограмма
5вписанная окружность и сторонатеорема для вычисления площади параллелограмма
6вписанная окружность и угол между сторонамитеорема для вычисления площади параллелограмма

Определения

Параллелограмм — это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.

Высота параллелограмма – это отрезок проведенный из вершины параллелограмма к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Некоторые свойства параллелограмма:

  • Сумма углов параллелограмма равна 360 градусов
  • Сумма углов, прилегающих к любой из сторон равна 180 градусов
  • Противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину
  • Противолежащие углы равны

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Видео:Площадь параллелограмма (доказательство) - 8 класс геометрияСкачать

Площадь параллелограмма (доказательство) - 8 класс геометрия

Как найти площадь параллелограмма — три основных формулы

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Эта статья на еще одну математическую тему. Мы расскажем, как правильно посчитать площадь параллелограмма. Эту тему подробно изучают только в 8-м классе. И это говорит, что она не такая простая.

теорема для вычисления площади параллелограмма

Но для начала давайте все-таки напомним, какая фигура называется параллелограммом.

Параллелограмм – это разновидность четырехугольников, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.

Классический параллелограмм выглядит вот так:

теорема для вычисления площади параллелограмма

Впервые об этой фигуре подробно написал древнегреческий математик Евклид в своем известном произведении «Начала». Он же рассказал и о двух частных случаях параллелограмма, которые нам сегодня хорошо известны.

Это и прямоугольник, у которого противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и пересекаются под прямым углом. И квадрат, у которого помимо параллельности противоположных сторон, все стороны еще и равны между собой.

теорема для вычисления площади параллелограмма

И наконец, не лишним будет вспомнить, что подразумевается под термином «площадь».

Площадь геометрической фигуры – это размер плоскости, которая находится внутри сторон фигуры.

Ну а теперь объединим эти два понятия и расскажем, как надо считать площадь параллелограмма.

Видео:Теорема о площади параллелограмма. Доказательство. Геометрия 9 классСкачать

Теорема о площади параллелограмма. Доказательство. Геометрия 9 класс

Формулы для расчета площади параллелограмма

Есть три основных формулы для вычисления площади параллелограмма:

  1. если известна длина стороны и высота, проведенная к ней;
  2. если известны длины сторон и углы между ними;
  3. если известны длины диагоналей и угол между ними.

Теперь о каждом из этих способов подробнее.

Как найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота

Возьмем для примера такой параллелограмм:

теорема для вычисления площади параллелограмма

В нем указаны две высоты – BE и BF. Напомню, что высота — это отрезок, который опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом.

В данном случае площадь считается весьма просто. Надо всего лишь перемножить длину высоты и длину стороны, к которой она проведена.

теорема для вычисления площади параллелограмма

И то же самое касается, если знать длины стороны DC и высоты BF. Тогда для вычисления площади достаточно их перемножить.

Кстати, у этой формулы есть весьма интересное доказательство. Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, то можно взять треугольник ABE и переставить его к стороне CD. Вот так это будет выглядеть:

теорема для вычисления площади параллелограмма

В результате мы получим прямоугольник, у которого нам известны длины обеих сторон (высота параллелограмма превратилась в одну из сторон). А как известно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Формула площади параллелограмма, если известны стороны и угол

Площадь параллелограмма можно посчитать, если известны длины обеих его сторон и величина острого угла между ними.

теорема для вычисления площади параллелограмма

Собственно, этот способ вытекает из предыдущего, Просто по исходным данным нужно вычислить высоту параллелограмма, а уже потом по ней посчитать площадь.

Согласно тригонометрии, синус острого угла в прямоугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем примере таким катетом является высота, а гипотенузой сторона «а». И получается:

теорема для вычисления площади параллелограмма

Соответственно, чтобы посчитать значение высоты надо:

теорема для вычисления площади параллелограмма

И наша конечная формула для расчета площади будет выглядеть следующим образом:

теорема для вычисления площади параллелограмма

Видео:Площадь параллелограмма треугольника и трапецииСкачать

Площадь параллелограмма треугольника и трапеции

Как найти площадь параллелограмма через диагонали

Этот способ используется крайне редко, но знать его все равно нужно. Во всяком случае, на экзаменах у школьников такие примеры вполне могут встретиться.

теорема для вычисления площади параллелограмма

В данном случае для вывода формулы используются весьма непростые математические вычисления. И мы не будем ими вас загружать. А просто покажем конечный результат:

теорема для вычисления площади параллелограмма

Соответственно, здесь d1 и d2 – длины диагоналей, а y – острый угол между ними.

Вот и все, что мы хотели рассказать о вычислении площади параллелограмма.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Ну самую простую (основание на высоту) знают все, а вот остальные вспомнить было трудно.

Я еще со школы помню, что можно через окружность вписанную и сторону вычислить. Это будет 2 * на сторону * на радиус окружности. Также есть еще возможность найти по радиусу и углу между сторонами, но эти формулы используются редко, но для каких-то задач возможно пригодятся.

🔍 Видео

Доказательство теоремы о площади параллелограммаСкачать

Доказательство теоремы о площади параллелограмма

Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииСкачать

Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Нахождение площади параллелограмма - геометрическая задачаСкачать

Нахождение площади параллелограмма - геометрическая задача

Площадь параллелограмма | Геометрия 7-9 класс #51 | ИнфоурокСкачать

Площадь параллелограмма | Геометрия 7-9 класс #51 | Инфоурок

Площадь параллелограмма по векторамСкачать

Площадь параллелограмма по векторам
Поделиться или сохранить к себе: