сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Видео:Геометрия 8 класс. Площадь параллелограммаСкачать

Геометрия 8 класс. Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения

Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство:

Пусть сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

1) Проведем высоту сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммак прямой, содержащей сторону сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммапараллелограмма.

2) сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма(как соответственные углы при параллельных прямых сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи секущей сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаПоэтому сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма(по гипотенузе и острому углу).

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

3) Параллелограмм сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммасостоит из трапеции сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи треугольника сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаа прямоугольник сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма— из трапеции сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи треугольника сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаТак как треугольники сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаравны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи прямоугольника сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

4) сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаНо сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи поэтому сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаСледовательно, сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Заметим, что если основание высоты сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма— точка сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма-совпадает с точкой сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаили лежит на продолжении стороны сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммато доказательство теоремы будет аналогичным.

В общем виде формулу площади сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммапараллелограмма можно записать так:

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

где сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма— сторона параллелограмма, сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма— высота, к ней проведенная.

Пример:

Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны.

Доказательство:

Пусть сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма— данный ромб, сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма— его высоты (рис. 232).

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Ромб является параллелограммом, поэтому сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаНо сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаа значит сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Пример:

Периметр параллелограмма равен 36 см, а его высоты — 4 см и 5 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1) Пусть сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма— данный параллелограмм, сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма— его высоты (рис. 232), сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

2) сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаПо условию сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммапоэтому сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

3) Пусть сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммасм, тогда сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммасм.

4) Так как по формуле площади параллелограмма сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаили сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаимеем уравнение: сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаТо есть сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаоткуда сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма(см).

5) Тогда сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Ответ. 40 сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма

С помощью формулы площади прямоугольника можно доказать формулу площади произвольного параллелограмма.

Теорема (формула площади параллелограмма)

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

где сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма — сторона параллелограмма, сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма — проведенная к ней высота.

Пусть сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма— данный параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 145, а). Проведем его высоты сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи докажем, что сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаЧетырехугольник сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаявляется прямоугольной трапецией, площадь которой можно вычислить двумя способами — как сумму площадей параллелограмма сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи треугольника сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаили как сумму площадей прямоугольника сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи треугольника сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаТреугольники сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаравны по гипотенузе и катету сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммакак противолежащие стороны параллелограмма, сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммакак расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Тогда площади параллелограмма сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи прямоугольника сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмматакже равны, т.е. сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаСлучаи, когда точка сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммане является внутренней точкой отрезка сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма(рис. 145, б, в), рассмотрите самостоятельно.

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Пример:

Площадь параллелограмма равна сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаа длины его высот — 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм с площадью сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаи высотами сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма(рис. 146).

Поскольку сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммасформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Следовательно, периметр параллелограмма равен сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Ответ: 42 см.

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Решая приведенную задачу, можно заметить интересную закономерность: чем больше сторона параллелограмма, тем меньше проведенная к ней высота.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Четырехугольники и окружность
  • Параллелограмм, его свойства и признаки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)

Геометрия. 8 класс

Выведем формулу для вычисления площади параллелограмма.
Докажем, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Одну из сторон параллелограмма будем условно называть основанием. Перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, назовем высотой параллелограмма.

Дано:
ABCD – параллелограмм с площадью S.
AD – основание, BH и CE – высоты.
Доказать:
S = ADBH
Доказательство:
SABCE = SABCD + SCDE или SABCE = SBCEH + SABH
Треугольники CDE и ABH равны по гипотенузе и острому углу, значит
SCDE = SABH, следовательно SABCD = SBCEH
S = BCBH = ADBH
В общем виде формула для вычисления площади параллелограмма имеет вид Sпараллелограмма = ah

Ромб также является параллелограммом, поэтому площадь ромба также можно найти, перемножив основание на высоту, проведенную к этому основанию.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

НАШИ ПАРТНЁРЫ

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно найти по стороне и проведённой к этой стороне высоте, по двум сторонам и углу, по диагоналям и углу между ними.

I. Площадь параллелограмма по стороне и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению стороны параллелограмма на высоту, проведённую к этой стороне.

Формула для нахождения площади параллелограмма через сторону и высоту:

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаНапример,площадь параллелограмма ABCD через высоту можно найти по одной из формул:

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

II. Площадь параллелограмма по сторонам и углу

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Формула для нахождения площади параллелограмма через стороны и угол:

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Например, площадь параллелограмма ABCD

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

По свойствам параллелограмма, противоположные углы параллелограмма равны:

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º, то есть,

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

А так как синус тупого угла равен синусу смежного ему угла, то

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

Таким образом, площадь параллелограмма можно найти как произведение его двух любых не смежных сторон на синус любого угла.

III. Площадь параллелограмма по диагоналям

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Формула площади параллелограмма через диагонали:

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограммаНапример, площадь параллелограмма ABCD

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма

то в качестве угла между диагоналями можно брать любой угол — как острый, так и тупой (прямой — в ромбе и квадрате).

📹 Видео

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Площадь параллелограмма (доказательство) - 8 класс геометрияСкачать

Площадь параллелограмма (доказательство) - 8 класс геометрия

Теорема о площади параллелограмма. Доказательство. Геометрия 9 классСкачать

Теорема о площади параллелограмма. Доказательство. Геометрия 9 класс

Доказательство теоремы о площади параллелограммаСкачать

Доказательство теоремы о площади параллелограмма

Почему площадь параллелограмма равна произведению его основания на высотуСкачать

Почему площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту

Площадь параллелограмма треугольника и трапецииСкачать

Площадь параллелограмма треугольника и трапеции

§16 Нахождение площади параллелограммаСкачать

§16 Нахождение площади параллелограмма

Площадь параллелограмма | Геометрия 7-9 класс #51 | ИнфоурокСкачать

Площадь параллелограмма | Геометрия 7-9 класс #51 | Инфоурок

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииСкачать

Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

8 класс. Площадь параллелограмма. Геометрия.Скачать

8 класс. Площадь параллелограмма. Геометрия.

Площадь параллелограммаСкачать

Площадь параллелограмма

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)
Поделиться или сохранить к себе: