сформулировать и доказать теорему площадь параллелограмма (4 видео)

Содержание

Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения
Площадь параллелограмма
Геометрия. 8 класс
НАШИ ПАРТНЁРЫ
Площадь параллелограмма
📹 Видео

Видео:Геометрия 8 класс. Площадь параллелограммаСкачать

Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения

Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство:

Пусть

1) Проведем высоту к прямой, содержащей сторону параллелограмма.

2) (как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей Поэтому (по гипотенузе и острому углу).

3) Параллелограмм состоит из трапеции и треугольника а прямоугольник — из трапеции и треугольника Так как треугольники и равны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма и прямоугольника

4) Но и поэтому Следовательно,

Заметим, что если основание высоты — точка -совпадает с точкой или лежит на продолжении стороны то доказательство теоремы будет аналогичным.

В общем виде формулу площади параллелограмма можно записать так:

где — сторона параллелограмма, — высота, к ней проведенная.

Пример:

Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны.

Доказательство:

Пусть — данный ромб, и — его высоты (рис. 232).

Ромб является параллелограммом, поэтому Но а значит

Пример:

Периметр параллелограмма равен 36 см, а его высоты — 4 см и 5 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1) Пусть — данный параллелограмм, и — его высоты (рис. 232),

2) По условию поэтому

3) Пусть см, тогда см.

4) Так как по формуле площади параллелограмма или имеем уравнение: То есть откуда (см).

5) Тогда

Ответ. 40

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

Площадь параллелограмма

С помощью формулы площади прямоугольника можно доказать формулу площади произвольного параллелограмма.

Теорема (формула площади параллелограмма)

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

где — сторона параллелограмма, — проведенная к ней высота.

Пусть — данный параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 145, а). Проведем его высоты и докажем, что Четырехугольник является прямоугольной трапецией, площадь которой можно вычислить двумя способами — как сумму площадей параллелограмма и треугольника или как сумму площадей прямоугольника и треугольника Треугольники равны по гипотенузе и катету как противолежащие стороны параллелограмма, как расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Тогда площади параллелограмма и прямоугольника также равны, т.е. Случаи, когда точка не является внутренней точкой отрезка (рис. 145, б, в), рассмотрите самостоятельно.

Пример:

Площадь параллелограмма равна а длины его высот — 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм с площадью и высотами (рис. 146).

Поскольку

Следовательно, периметр параллелограмма равен

Ответ: 42 см.

Решая приведенную задачу, можно заметить интересную закономерность: чем больше сторона параллелограмма, тем меньше проведенная к ней высота.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Прямоугольник и его свойства
Ромб и его свойства, определение и примеры
Квадрат и его свойства
Трапеция и ее свойства
Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
Четырехугольник и его элементы
Четырехугольники и окружность
Параллелограмм, его свойства и признаки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)Скачать

Геометрия. 8 класс

Выведем формулу для вычисления площади параллелограмма.
Докажем, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Одну из сторон параллелограмма будем условно называть основанием. Перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, назовем высотой параллелограмма.

Дано:
ABCD – параллелограмм с площадью S.
AD – основание, BH и CE – высоты.
Доказать:
S = AD ∙ BH
Доказательство:
S_ABCE = S_ABCD + S_CDE или S_ABCE = S_BCEH + S_ABH
Треугольники CDE и ABH равны по гипотенузе и острому углу, значит
S_CDE = S_ABH, следовательно S_ABCD = S_BCEH
S = BC ∙ BH = AD ∙ BH
В общем виде формула для вычисления площади параллелограмма имеет вид S_{параллелограмма} = ah