расчет площади по точкам (5 видео)

Содержание

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин на плоскости
Площадь многоугольника по формуле Пика
Онлайн калькулятор может быть использован для облегчения подсчетов при использовании теоремы Пика для вычисления площади многоугольника.
Многоугольник. Формула Пика.
🌟 Видео

Видео:Аналитический способ определения площадей. Формула землемера, геодезиста, Гаусса.Алгоритм шнурованияСкачать

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин на плоскости

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин. Выпуклый многоугольник строится по точкам с использованием алгоритма Джарвиса

Калькулятор ниже был написан для решения частной задачи расчета площади выпуклого четырехугольника по координатам его вершин. Он только обобщает эту задачу до задачи расчета площади любого выпуклого многоугольника вообще. Собственно, на сайте уже был подобный калькулятор Площадь многоугольника, но там требовалось вводить длины сторон и диагоналей, а это несколько труднее, чем вводить только координаты вершин.

Принцип работы остается таким же — многоугольник разбивается на непересекающиеся треугольники, подсчитывается площадь всех треугольников (это легко сделать зная длины всех трех сторон — Расчет площади треугольника по формуле Герона), затем площади суммируются. Основная проблема была в том, чтобы сделать его устойчивым к ситуации, когда точки вводят не по порядку. Предположим, сначала вводят первые четыре точки получая фигуру на рисунке ниже

При добавлении следующей точки, например, так, как на следующем рисунке

должен уже получиться многоугольник ADCBE, а не ABCDE, разбитый на треугольники ADC, ACB и ABE, соответственно.

Чтобы получить правильный многоугольник, фактически требуется получить оболочку введенных точек. Для этого калькулятор использует алгоритм Джарвиса (или алгоритм обхода Джарвиса, или алгоритм заворачивания подарка), который определяет последовательность элементов множества, образующих выпуклую оболочку для этого множества. Метод можно представить как обтягивание верёвкой множества вбитых в доску гвоздей.

Алгоритм работает за время , где n — общее число точек на плоскости, h — число точек в выпуклой оболочке. Для выпуклого многоугольник соответственно будет . Не самый оптимальный алгоритм, зато очень простой, и для этого калькулятора вполне производительный.

Как пользоваться калькулятором: начинаете вводить координаты точек выпуклого многоугольника. Начиная с трех точек алгоритм Джарвиса будет стоить обтягивающий контур, затем контур будет разбиваться треугольники и подсчитываться общая площадь. Для справки также будут выводиться площади всех треугольников.

Видео:Расчет площади по координатамСкачать

Площадь многоугольника по формуле Пика

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами. Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Возьмем невырожденный простой целочисленный многоугольник (значит он связный — две его произвольные точки могут быть объединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и у всех его вершин целые координаты, его граница — связная ломаная без самопересечений, и у него не ненулевую площадь).

Площадь многоугольника в таком случае равна:

где S — площадь многоугольника, n — число узлов, лежащих строго внутри многоугольника, m — число узлов, лежащих на границах многоугольника, то есть либо на его сторонах, либо в вершинах.

Формула Пика нашла широкое применение для нахождения площади многоугольника построенного на листе в клетку. Масштаб клетки при этом равен 1 см 2 . Под узлами понимают пересечение линий.

В качестве примера вычислим площадь трапеции:

n = 25 (указаны синим цветом);

m = 24 (указаны оранжевым цветом).

S = 25 + 24 2 — 1 = 36 cм 2 .

Найдем площадь ниже представленного многоугольника:

n = 5 (указаны синим цветом);

m = 11 (указаны оранжевым цветом).

S = 5 + 11 2 — 1 = 9.5 cм 2 .

Онлайн калькулятор может быть использован для облегчения подсчетов при использовании теоремы Пика для вычисления площади многоугольника.

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

Онлайн калькуляторы

Calculatorium.ru — это бесплатные онлайн калькуляторы для самых разнообразных целей: математические калькуляторы, калькуляторы даты и времени, здоровья, финансов. Инструменты для работы с текстом. Конвертеры. Удобное решение различных задач — в учебе, работе, быту.

Актуальная информация

Помимо онлайн калькуляторов, сайт также предоставляет актуальную информацию по курсам валют и криптовалют, заторах на дорогах, праздниках и значимых событиях, случившихся в этот день. Информация из официальных источников, постоянное обновление.

Видео:РАЗМЕР ЗЕМЕЛЬНОГО УЧАСТКА по ЕГРН. ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА длина сторон участка по координатамСкачать

Многоугольник. Формула Пика.

Возьмем невырожденный простой целочисленный многоугольник (значит он связный — две его произвольные точки могут быть объединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и у всех его вершин целые координаты, его граница — связная ломаная без самопересечений, и у него не ненулевую площадь).

Для расчета площади такого многоугольника можно применить нижеследующую теорему открытую австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году.

Пусть N — число узлов внутри многоугольника, M — численность узлов на его границе, S— его площадь. Тогда применима Формула Пика:

Под «узлами» понимают пересечение линий.

Формула Пика нашла широкое применение для нахождения площади многоугольника построенного на листе в клетку. Масштаб клетки при этом равен 1 см 2 .

Вычислим площадь трапеции: