Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать
Площадь одной арки синусоиды
Вычислить площадь, ограниченную осью Ox и синусоидой y = sin x на отрезках: а) [0, π]; б) [0, 2π].
а) На отрезке [0, π] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле 
, полагая y = sin x, находим
б) На отрезке [0, 2π], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2π] разделить на два [0, π] и [π, 2π], в каждом из которых функция сохраняет знак.
По правилу знаков, на отрезке [π, 2π] площадь берется со знаком минус.
Видео:Стереометрия, номер 10.1Скачать
Площадь под синусоидой
Как посчитать площадь под синусоидой? Более точно: площадь, между графиком функции $sin x$ и его «основанием».
Оказывается, эту площадь можно посчитать без применения интегралов, по сути — ничего не считая! Стоит только вспомнить, что функция синуса — нечётная, т.е. $sin (-x)=-$. На геометрическом языке это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.
Центральная симметрия подсказывает идею модели, иллюстрирующую подсчёт площади. На листе бумаги распечатаем график синуса и закрасим под ним площадь на отрезке $[-pi/2, pi/2]$. На «прозрачке» повторим картинку.
Если наложить прозрачку на бумажный график, то картинки, естественно, совпадут. Воткнув канцелярскую скрепку в начало координат, повернём прозрачку на $180^circ$. Кривая синуса совпадёт с собой! А вот закрашенным, причём без наложений, окажется уже весь прямоугольник $[-pi/2, pi/2]times [-1,1]$. Посчитать площадь прямоугольника, а затем поделить пополам, — несложно.
PDF для печати (695 КБ)
Итак, площадь под синусом (между графиком функции $sin x$ и его «основанием») на участке $[-pi/2, pi/2]$ равна $pi$, а на полном периоде, соответственно, $2pi$. Этот факт в совокупности с лепестками Роберваля, о которых будет отдельный сюжет, дают способ вычислить площадь под аркой циклоиды.
По сути, модель основана на том, что синусоида делит прямоугольник на две равновеликие части. Подобный трюк, очевидно, можно проводить и с другими нечётными (или сводящимися к ним) функциями.
Видео:ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать
4.4. Объемы и поверхности тел вращения
I. Объемы тел вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п°п° 197, 198* Разберите подробно примеры, приведенные в п° 198.
508. Вычислить объем тела, образуемого вращением эллипса Вокруг оси Ох.
Решение. При вращении эллипса вокруг оси Ox образуется тело, называемое эллипсоидом вращении. Как известно, объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f<x), ординатами х = а, х = Ь и осью Ох, вычисляется по формуле:
Из уравнения эллипса видно, что большая его полуось равна 2, следовательно, . Разрешив уравнение
эллипса относительно , получим Объем
эллипсоида вращения равен:
509. Найти объем тора, образованного вращением круга
Вокруг оси Ox (рис. 18). Решение. Искомый объем тора равен разности объемов, полученных от вращения верхнего и нижнего полукругов. Так как для верхнего полукруга
, а для нижнего , то
Б10. Вычислить объем прямого конуса, высота которого h и радиус основания г, рассматривая конус как тело вращения прямоугольного треугольника около одного из катетов.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпала с высотой h (рис. 19), а вершину конуса
примем за начало координат. Тогда уравнение прямой OA
Следовательно, объем конуса
запишется так: будет равен:
511. Вычислить объемы тел, образованных вращением около осей Ox и Oy сегмента AOB параболы , от
секаемого хордой AFB, проходящей через фокус параболы перпендикулярно к оси Ox (рис. 20, а, б).
Решение I. Вычислим объем тела, получаемого при вращении сегмента AOB вокруг оси Ох, пользуясь формулой:
Найдем пределы интегрирования. Прямая AB параллельна оси Oy. Ее уравнение . Для того чтобы
найти точки пересечения этой прямой с параболой, решим совместно систему уравнений:
мя я AB проходит через фокус параболы, то координаты точки F будут Следовательно,
Получим точки . Так Kaw пря
2. Вычислим объем тела, получаемого при вращении сегмента AOB вокруг оси Oy. Учитывая симметрию сегмента относительно оси Oxi найдем сначала половину искомого объема. Она равна разности объемов тел, получаемых от вращения вокруг оси Oy прямоугольника OFBD и криволинейного тоеугольника OBD. Так как объем цилиндра равен , а объем Тела, полученного от вращения криволинейного треугольника OBD вокруг оси Oy, будет:
512. Фигура, ограниченная гиперболой И
то половина искомого объема равна:
Следовательно, весь искомый объем
прямыми , вращается вокруг оси
Ох. Найти объем тела вращения.
Решение. В результате вращения данной фигуры вокруг оси Ox образуются два тела вращения, имеющие равные объемы Тогда
Найдем объем V1 тела (рис. 21), сбразованного вращением площади, ограниченной правей ветвью гиперболы И прямей Пределы интегрирова
ния найдем из геометрических соображений:
513. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox одной полуволны синусоиды у = sin х.
514. Найти объем конуса, производимого вращением вокруг оси Ox части прямой _ , содержащейся между осями координат.
515. Криволинейная трапеция, ограниченная срерху параболой ,с боков—ординатами х = — I и х—, снизу — осью Ох, вращается вокруг оси Ох. Найти объем полученного тела вращения.
516. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox площади, ограниченной цепной линией
, ординатами X = — а, х = а и осью Ох.
517. Прямой параболический сегмент, основание которого а, а высота R, вращается вокруг основания. Определить объем полученного тела вращения.
518. Найти объем цирка, осевое сечение которого — парабола. Высота цирка 30 м. Диаметр основания 50 м.
519. Найти объем тела, образованного вращением кривой Вокруг оси абсцисс.
520. Вычислить объем тела, полученного вращением
астроиды Вокруг оси Oy.
521. На кривой Взяты две точки А и В, абсциссы которых соответственно а = I и Ь = 2. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции аАВЬ вокруг оси Ох.
522. Найти объем тела, производимого вращением площади, ограниченной дугой циклоиды ,
И осью Ox вокруг ее основания.
523. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат дуги OM циклоиды ,
, ограниченной точками О (0, 0) и M (та*, 2а).
524. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении линии
вокруг оси абсцисс.
2. Площадь поверхности тела вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 205. В теоретическом курсе показано, что площадь поверхности тела вращения определяется по формуле:
52$. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращением дуги параболы у2 = 2х вокруг оси Ox от х = 0 до х = 2.
Решение. В нашем случае . Поэтому
526. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Решение. Поместим начало координат в центре шара. Будем рассматривать поверхность шара как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности Вокруг оси Ох. Тогда площадь поверхности шара найдется по формуле:
527. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса Вокруг оси Ох.
Решение. Из уравнения эллипса имеем:
Тогда . Так как полуось эллипса
Если кривая задана параметрически, то, заменяя переменную под знаком определенного интеграла, получим для площади поверхности следующую формулу:
528 Вычислить площадь поверхности, сбразованной вращением одной арки циклоиды
Вокруг оси Ox (см. рис. 13).
Тогда . Искомая по
Решение. Построим данную кривую. Найдем точки пересечения ее с осями координат.
нием петли кривой х = /2, у
(/2— 3) вокруг оси Ох.
При у — 0 находим t = 0 и t = ±>/ 3 . Следовательно, X1 = 0 и X2 -= 3* т. е. кривая пересекает ось Ox в двух точках О (0, 0) и А (3, 0).
При х = 0 находим / = 0, следовательно, у = 0. Мы получили ту же точку О (0, 0).
При люб dx вещественных значениях параметра / будут вещественны х и у Так как х — четная функция параметра /, у — нечетная функция параметра /, то график расположен симметрично относительно оси Ох.
Исследуем данную функцию на экстремум. Находим производную:
Легко видеть, что у = 0 при / = + I и, следовательно^
у — + —; когда X= I; у’-* оо, когда / —> 0, следовательно,
когда х -> 0, то и у 0. Это значит, что в начале координат касательная к данной кривой вертикальна. В точке
А (3; 0) будет у’ = — J=, это значит, что касательная У з
к данной кривой в этой точке образует с положительным направлением оси Ox угол в 30°.
Полученных данных достаточно для построения графика данной функции (рис. 22).
Найдем площадь данной поверхности. Имеем: х’ = 21, y’ = f — I; х’% -(-y’z = (I +12 )а.
Р=2* Jyj/T^T |±( —sin ф), у = а (I — cos ф) вокруг оси Oy, равна 16 и2 о2.
539. Найти поверхность, полученную вращением кардиоиды Вокруг полярной оси.
540. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты Вокруг полярной оси.
Дополнительные задачи к главе IV
Площади плоских фигур
541. Найтивсю площадь области, ограниченной кривой И осью Ох.
542. Найти площадь области, ограниченной кривой
543. Найти часть площади области, расположенной в первом квадранте и ограниченной кривой
л осями координат.
544. Найти площадь области, содержащейся внутри
545. Найти площадь области, ограниченной одной петлей кривой:
546. Найти площадь области, содержащейся внутри петли:
547. Найти площадь области, ограниченной кривой
548. Найти площадь области, ограниченной кривой
549. Найти площадь области, ограниченной осью Oxr
прямой И кривой
550. Найти площадь области, ограниченной кривыми.
Вычисление длины дуги
551. Найти длину дуги кривой От точки А(0: до точки В (I: 6).
552. Найти длину дуги CD кривой , где
Дать геометрическую иллюстрацию.
553. Найти длину дуги OA кривой Где
554. Найти длину дуги AB кривой у = еху где А (0; I), В (I; 2)
555. Нгйти длину дуги AB кривой , где
556. Нгйти длину дуги кривой , отсеченной прямей X = — I.
557. Нгйти длину дуги кривой От
Объем тела вращения
558. Нгйти объем тела, полученного вращением вокруг юси Ox п/ощоди, сграниченной крквой
559. Нййти объем тела, полученного от вращения рокруг сси Ox площади, ограниченной кривой
560. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy площади, ограниченной кривой
561. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy площади, ограниченней эллипсом
562. Нгйти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy плещади, ограниченной кривой
И отрезком оси Oy.
563. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox площади, ограниченной кривой
564. Круг радиуса 2 с центром в точке (7; 0) вращается вокруг оси Oy. Определить объем полученного тела вращения.
565. Нлйти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox площади, расположенной в первом квадранте и
ограниченной кривой (эволюта
Площадь поверхности вращения
566. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой , отсеченной прямой
567. Найти площадь поверхности шаоовой чаши, полученной при вращении круга Вокруг оси Ox в пределах от 0 до h.
568. Найти площадь поверхности катеноида, образованного вращением вокруг оси абсцисс цепной линии
От точки До точки
569. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса Вокруг оси Oy.
570. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox петли кривой
571. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox кривой
572. Найти площадь поверхности, образованной вращением Вокруг полярной оси.
🔥 Видео
Как решить задачи по стереометрии? / Аксиомы стереометрии и следствия из нихСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
✓ Площадь сечения | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать
8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать
Все о построении сечений в многогранниках | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать
Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать
✓ Задача из американской олимпиады 1979 года | Планиметрия. ГМТ | Ботай со мной #116 | Борис ТрушинСкачать
9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать
Как строить сечения в стереометрии? Задача 13Скачать
Построение синусоиды.Скачать
Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать
Нахождение площади и теорема Вариньона | Ботай со мной #005 | Борис Трушин ||Скачать
