приложение определенного интеграла площадь трапеции

Видео:Определенный интеграл. Площадь трапеции.Скачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Калькулятор онлайн.
Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Для данной задачи возможно получить подробное решение.
Узнайте как это сделать.

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Немного теории.

Видео:Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.Скачать

Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a ( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_)Delta x_ )
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х₀, b = x_n;
( Delta x_0 ) — длина отрезка [x₀; x₁],
( Delta x_1 ) — длина отрезка [x₁; x₂], и т.д;
при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_ )

Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S_n):
$$ S = lim_ S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [t_k; t_k+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t_k. Итак, мы считаем, что v = v(t_k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [t_k; t_k+1], это приближенное значение обозначим s_k
( s_k = v(t_k) Delta t_k )
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
( s approx S_n ) где
( S_n = s_0 + dots + s_ = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_) Delta t_ )
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S_n):
$$ s = lim_ S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Видео:11 класс, 21 урок, Определённый интегралСкачать

Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_)Delta x_ $$
3) вычисляем $$ lim_ S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
( intlimits_a^b f(x) dx )
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
( S = intlimits_a^b f(x) dx )
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

Видео:Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

Формула Ньютона — Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) — s(a). В итоге получаем:
( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
где s(t) — первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )
где F(x) — первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) — F(a) используют запись ( left. F(x)right|_a^b ) (ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)right|_a^b )

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )

Видео:Определённый интеграл. ПлощадьСкачать

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
( S = S_ = S_ — S_ = intlimits_a^b f(x) dx — intlimits_a^b g(x) dx = )
( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ), вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Видео:Математический анализ, 27 урок, Геометрическое приложение определенного интегралаСкачать

Приложения определенного интеграла

Видео:Алгебра 11 класс (Урок№23 - Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.)Скачать

Вычисление площади плоской фигуры.

Плоская фигура и ее площадь.

Произвольное ограниченное множество точек плоскости будем называть плоской фигурой. Если плоскую фигуру можно представить как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников, то такую фигуру назовем клеточной. Подпрямоугольником будем понимать множество точек вида
$$
K = <(x, y): a_leq x leq b_, a_ leq y leq b_>nonumber
$$
или множество, получаемое из (K) удалением части границы (или всей границы) множества (K).

Площадью прямоугольника (K) назовем число ((b_-a_)(b_-a_)) независимо от того, принадлежат или не принадлежат множеству (K) его граничные точки, а площадью клеточной фигуры назовем сумму площадей прямоугольников, из которых составлена эта фигура.

Можно показать, что площадь клеточной фигуры не зависит от способа разбиения ее на прямоугольники. Нетрудно также убедиться в том, что площадь клеточной фигуры неотрицательна и обладает свойствами:

• аддитивности, то есть площадь объединения двух непересекающихся клеточных фигур равна сумме их площадей;
• инвариантности, то есть площади двух равных (конгруэнтных) клеточных фигур совпадают;
• монотонности, то есть если клеточные фигуры (G_) и (G_) таковы, что (G_ subset G_), то площадь фигуры (G_) не превосходит площади фигуры (G_).

Плоскую фигуру (G) назовем квадрируемой, если для любого (varepsilon > 0) найдутся клеточные фигуры (q) и (Q) такие, что
$$
q subset G subset Q,label
$$
$$
0 leq S(Q)-S(q) Теорема 1.

Для любой квадрируемой фигуры (G) число (S(G)) существует и единственно, причем
$$
S(G) = sup S(q) = inf S(Q).label
$$

(circ) Так как для любых клеточных фигур (q) и (Q), удовлетворяющих условию eqref, выполняется неравенство
$$
S(q) leq S(Q),nonumber
$$
то по теореме об отделимости существуют (sup S(q)) и (inf S(Q)) (супремум и инфимум берутся по всем клеточным фигурам, соответственно содержащимся в фигуре (G) и содержащим эту фигуру), причем
$$
S(q) leq sup S(q) leq inf S(Q) leq S(Q),label
$$
откуда
$$
S(q) leq sup S(q) leq S(Q),label
$$

Таким образом, число (S(G) = sup S(q)) удовлетворяет условию eqref.

Докажем единственность числа (S(G)). Предположим, что наряду с числом (S(G)) существует еще одно число (S'(G)), удовлетворяющее условию eqref, то есть
$$
S(q) leq S^(G) leq S(Q),label
$$
Тогда из eqref и eqref в силу свойств неравенств получаем, что
$$
|S(G)-S'(G)| leq S(Q)-S(q)label
$$
для любых клеточных фигур таких, что (q subset G subset Q). Так как (G) -квадрируемая фигура, то разность (S(Q)-S(q)) можно сделать сколь угодно малой в силу условия eqref, выбрав соответствующие фигуры (Q) и (q). Поэтому из eqref следует, что (S'(G) = S(G)). Таким образом, квадрируемая фигура (G) имеет площадь (S(G)), причем в силу eqref справедливо равенство eqref. (bullet)

Для того чтобы плоская фигура (G) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы для любого (varepsilon > 0) существовали такие квадрируемые плоские фигуры (tilde) и (tilde), что
$$
tilde subset G subset tilde,quad 0 leq S(tilde)-S(tilde) Доказательство.

(circ) Необходимость условий eqref очевидна, так как по определению квадрируемой фигуры эти условия выполняются, если взять (tilde = q, tilde = Q), где (q) и (Q) — клеточные фигуры, удовлетворяющие соотношениям eqref, eqref.

Докажем достаточность. Фиксируя произвольное число (varepsilon > 0), найдем в силу eqref такие квадрируемые плоские фигуры (tilde) и (tilde), что
$$
tilde subset G subset tilde, 0 leq S(tilde)-S(tilde) Замечание 2.

Можно доказать, что площадь квадрируемой фигуры обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности (см. замечание 1).

Площадь криволинейной трапеции.

Одной из основных задач, приводящих к понятию определенного интеграла, является задача о площади криволинейной трапеции, то есть фигуры (G), задаваемой на плоскости (Oxy) условиями
$$
G = ,label
$$
где (f(x)) — функция, непрерывная на отрезке ([a, b]).

Криволинейная трапеция (G) — квадрируемая фигура, площадь которой (S = S(G)) выражается формулой
$$
S = intlimits_a^b f(x) dx,label
$$

(circ) Пусть (T = <x_, i = overline>) — разбиение отрезка ([a, b]), (M_) и (m_) — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции (f) на отрезке (Delta_ = [x_, x_], Delta x_ = x_-x_, i = overline) (рисунок ниже).

Криволинейная трапеция

Рассмотрим клеточную фигуру (q), составленную из прямоугольников (q_ (i = overline)), таких, что длина основания (i)-го прямоугольника равна (Delta x_), а высота равна (m_).
Аналогично определяется клеточная фигура (Q), составленная из фигур (Q_), где (Q_) — прямоугольник, длина основания которого (Delta x_), а высота (M_, i = overline).
Очевидно, (q subset G subset Q), площади фигур (q) и (Q) соответственно равны
$$
S(q) = sum_^m_Delta x_,quad S(Q) = sum_^M_Delta x_.nonumber
$$
Заметим, что
$$
S(q) = s_, S(Q) = S_,label
$$
где (s_) и (S_) — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции (f) при разбиении (T) отрезка ([a, b]).

Так как функция (f(x)) непрерывна на отрезке ([a, b]), то в силу критерия интегрируемости для любого (varepsilon > 0) найдется такое разбиение (T) этого отрезка, что
$$
0 leq S_-s_ Замечание 3.

Ранее площадь (S) фигуры (G) была определена как предел интегральной суммы (sigma_ = displaystylesum_^f(xi_)Delta x_) при (l(T) rightarrow 0) при условии, что этот предел не зависит от разбиения (T) и выборки (xi = <xi_, i = overline>), где (xi_ in Delta_). Для непрерывной на отрезке ([a, b]) функции (displaystylelim_sigma_(xi) = intlimits_a^b f(x) dx), и поэтому оба определения площади приводят к одному и тому же результату.

Рассмотрим теперь фигуру (D) (рис. 37.1), ограниченную отрезками прямых (x = a) и (x = b) и графиками непрерывных на отрезке ([a, b]) функций (y = f_(x)) и (y = f_(x)), где (f_(x) leq f_(x)) при (x in [a, b]). Если (f_(x) geq 0) для всех (x in [a, b]), то площадь фигуры (D) равна разности площадей криволинейных трапеций (D_) и (D_), где (D_ = <(x, y): a leq x leq b, 0 leq y leq f_(x)>, i = 1,2). Поэтому площадь фигуры (D) выражается формулой
$$
S(D) = intlimits_a^b (f_(x)-f_(x)) dx.label
$$

Формула eqref остается в силе и в случае, когда не выполняется условие (f_(x) geq 0) для всех (x in [a, b]). Чтобы убедиться в этом, достаточно сдвинуть фигуру (D) вдоль положительного направления оси (Oy) на (y_ = displaystylevertmin_f_(x)vert) и воспользоваться тем, что площади равных фигур совпадают.

Найти площадь (S) фигуры, ограниченной эллипсом
$$
frac<x^><a^> + frac<y^><b^> = 1nonumber
$$

(triangle) Искомая площадь (S) равна (4sigma), где (sigma) (рис. 37.2) — площадь криволинейной трапеции, ограниченной осями (Ox), (Oy) и графиком функции (y = b displaystylesqrt<1-frac<x^><a^>>, 0 leq x leq a). По формуле eqref находим
$$
sigma = b intlimits_0^a sqrt<1-frac<x^><a^>> dx = ab intlimits_0^1 sqrt<1-t^> dt = frac pi abnonumber
$$
(см. пример здесь). Итак, площадь, ограниченная эллипсом с полуосями (a) и (b), равна
$$
S = pi abnonumber
$$
В частности, площадь круга радиуса (R) равна (pi R^). (blacktriangle)

Отсюда следует, что площадь кругового сектора (радиуса (R)), соответствующего центральному углу (alpha), равна
$$
frac<pi R^>alpha = frac<R^alpha>.nonumber
$$

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой (y = 6x-x^) и прямой (y = x + 4).

(triangle) Парабола (y = 6x-x^) пересекается с прямой (y = x + 4) в точках (A) и В (рис. 37.3), абсциссы которых являются корнями уравнения (6x-x^ = x + 4). Решая это уравнение, находим его корни (x_ = 1, x_ = 4). Согласно формуле eqref искомая площадь (S) равна
$$
S = intlimits_1^4 ((6x-x^)-(x + 4)) dx = left(fracx^-left.frac<x^>-4xright)right|_^ = frac. blacktrianglenonumber
$$

Рис. 37.3

Площадь криволинейного сектора.

Пусть кривая (Gamma) задана в полярной системе координат уравнением
$$
rho = rho(varphi),quad alpha leq varphi leq beta,nonumber
$$
где (rho(varphi)) — неотрицательная и непрерывная на отрезке ([alpha, beta]) функция. Тогда плоскую фигуру (G), ограниченную кривой (Gamma) и, быть может, отрезками двух лучей, составляющих с полярной осью углы (alpha) и (beta) (рис. 37.4), назовем криволинейным сектором.

Рис. 37.4

Криволинейный сектор (G) — квадрируемая фигура, площадь которой (S) выражается формулой
$$
S = frac intlimits_^ rho^(varphi) dvarphi.label
$$

(circ) Пусть (T = <varphi_, i = overline>) — разбиение отрезка ([alpha, beta]), (m_) и (M_) — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции (rho(varphi)) на отрезке (Delta_ = [varphi_, varphi_], i = overline). Обозначим через (q_) и (Q_) круговые секторы, ограниченные лучами (varphi = varphi_, varphi = varphi_) и дугами окружностей радиусов (m_) и (M_) соответственно (рис. 37.4). Если (q) — объединение фигур (q_, ldots, q_), а (Q) — объединение фигур (Q_, ldots, Q_), то (q subset G subset Q).Так как (q_) и (Q_) — квадрируемые фигуры, то (q) и (Q) также являются квадрируемыми фигурами, а их площади соответственно равны
$$
S(q) = frac sum_^m_^Delta varphi_quad mboxquad S(Q) = frac sum_^M_^Delta varphi_.nonumber
$$
Отсюда следует, что (S(q)) и (S(Q)) совпадают соответственно с нижней и верхней суммами Дарбу для функции (displaystylefrac rho^(varphi)) на отрезке ([alpha, beta]). Поэтому (следствие из теоремы о критерии интегрируемости)
$$
sup S(q) = inf S(Q) = frac intlimits_^ rho^(varphi) dvarphi.nonumber
$$
Это означает (теорема 2), что (G) — квадрируемая фигура, а ее площадь (S) выражается формулой eqref. (bullet)

Найти площадь фигуры (G), которая ограничена лемнискатой Бернулли (рис. 37.5), заданной уравнением
$$
rho^ = a^ cos 2varphi.nonumber
$$

(triangle) Фигура (G) симметрична относительно координатных осей. Площадь (sigma) той части фигуры (G), которая лежит в первом квадранте, согласно формуле eqref равна (sigma = displaystylefrac intlimits_0^ a^ cos 2varphi dvarphi). Поэтому искомая площадь (S = 4sigma = a^). (blacktriangle)

Видео:Применение определенного интеграла при решении геометрических и физических задач. 11 класс.Скачать

Вычисление объема тела.

Тело и его объем.

Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом.

Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, рассмотренным выше. Поэтому некоторые утверждения для тел будут опущены.

По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся параллелепипедов, то есть тел вида
$$
M = <(x, y, z): a_leq x leq b_, a_ leq y leq b_, a_ leq z leq b_>,nonumber
$$
а также тел, получаемых из (M) удалением части границы (или всей границы) тела (M). Объемом параллелепипеда (M) назовем число ((b_-a_)(b_-a_)(b_-a_)), а объемом клеточного тела — сумму объемов составляющих его параллелепипедов.

Тело (Omega) будем называть кубируемым, если для любого (varepsilon > 0) найдутся клеточные тела (p) и (P) такие, что
$$
p subset Omega subset P,quad 0 leq V(P)-V(p) Рис. 37.6

Если основанием цилиндрического тела (Omega) служит плоская квадрируемая фигура (G), то тело (Omega) кубируемо, а его объем (V(Omega)) равен (S(G)h), где (S(G)) — площадь основания, (h) — высота тела (Omega). В частности, объем прямого кругового цилиндра равен (V = pi R^h), где (R) — радиус основания, (h) — высота цилиндра.

(circ) По определению плоской квадрируемой фигуры для любого (varepsilon > 0) существуют такие клеточные фигуры (q) и (Q), что
$$
q subset G subset Q,quad 0 leq S(Q)-S(q) Замечание 4.

Из свойства аддитивности объема и утверждения 3 следует, что ступенчатое тело, то есть тело, являющееся объединением конечного числа цилиндрических тел, кубируемо, если основания цилиндрических тел квадрируемы; при этом объем ступенчатого тела равен сумме объемов тел, из которых составлено ступенчатое тело.

Объем тела вращения.

Тело, образованное вращением вокруг оси (Ox) криволинейной трапеции (G) (условие eqref), где (f(x)) — функция, непрерывная на отрезке ([a, b]), кубируемо, а его объем (V) выражается формулой
$$
V = pi intlimits_a^b f^(x) dx.label
$$

(circ) Пусть (T, m_, M_, Delta x_, q, Q) — те же, что и в пункте про «площадь криволинейной трапеции». При вращении вокруг оси (Ox) фигур (q), (G), (Q) получаются тела вращения (p), (Omega), (P) такие, что
$$
p subset Omega subset P,nonumber
$$
причем объемы ступенчатых тел (p) и (P) соответственно равны
$$
V(p) = pi sum_^m_^Delta x_,quad V(P) = pi sum_^M_^Delta x_.nonumber
$$
Так как (V(p)) и (V(P)) равны соответственно нижней и верхней суммам Дарбу для функции (pi f^(x)) при разбиении (T) отрезка ([a, b]), то согласно следствию из теоремы о критерии интегрируемости
$$
sup V(p) = inf V(P) = pi intlimits_a^b f^(x) dx.nonumber
$$
Следовательно, (Q) — кубируемое тело (по теореме, аналогичной теореме 2), а его объем выражается формулой eqref. (bullet)

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси (Ox) фигуры, ограниченной осью (Ox) и графиком функции (y = sin x, 0 leq x leq pi).

(triangle) По формуле eqref получаем (V = pi displaystyleintlimits_0^ sin^(x) dx = frac<pi^>). (blacktriangle)

Объем тела с заданными площадями поперечных сечений.

Пусть тело (Omega) заключено между плоскостями, перпендикулярными оси Ох и пересекающими эту ось в точках (x = a) и (x = b), где (a Рис. 37.7

Обозначим через (G_) фигуру, получаемую в сечении тела (Omega) плоскостью, перпендикулярной оси (Ox) и проходящей через точку (x in [a, b]) этой оси. Будем считать, что при любом (x in [a, b]) фигура (G_) квадрируема, а ее площадь (sigma (x)) — функция, непрерывная на отрезке ([a, b]). Кроме того, предположим, что при проектировании на плоскость, перпендикулярную оси (Ox), фигур (G_) и (G_), где (alpha, beta), — любые точки отрезка ([a, b]), получаются фигуры, одна из которых содержится в другой.

При указанных выше условиях тело (Omega) кубируемо, а его объем (V) выражается формулой
$$
V = intlimits_a^b sigma(x) dx.label
$$

(circ) Пусть (T = <x_, i = overline>) — разбиение отрезка ([a, b]), (m_) и (M_)-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции (sigma(x)) на отрезке (Delta x_ = [x_, x_], Delta x_ = x_-x_, i = overline). Так как (sigma(x)) — непрерывная функция, то существуют точки (xi_ in Delta_) и (xi_’) такие, что (sigma(xi_) = m_, sigma(xi_’) = M_, i = overline).

Обозначим через (Omega_) ту часть тела (Omega), которая заключена между плоскостями (A_) и (A_), перпендикулярными оси (Ox) и проходящими соответственно через точки (x_) и (x_) (см. рис. 37.7).

Пусть (D_) и (D_’) — цилиндрические тела высотой (Delta x_), построенные на сечениях (G_<xi_>) и (G_<xi_’>) как на основаниях и расположенные между плоскостями (A_) и (A_). Тогда (D_ subset Omega_ subset D_’) а объемы тел (D_) и (D_’) соответственно равны
$$
V(D_) = m_Delta x_,quad V(D_’) = M_Delta x_.nonumber
$$
Если (p) — объединение тел (D_, ldots, D_), а (P) — объединение тел (D_’, ldots, D_’), то (p subset Omega subset P),
$$
V(p) = sum_^m_Delta x_,quad V(P) = sum_^M_Delta x_.nonumber
$$
Так как (sup V(p) = inf V(P) = displaystyleintlimits_a^b sigma(x) dx), то (Omega) — кубируемое тело, a его объем выражается формулой eqref. (bullet)

Вычислить объем эллипсоида (displaystylefrac<x^><a^> + frac<y^><b^> + frac<z^><c^> = 1).

(triangle) Воспользуемся тем, что площадь фигуры (G), получаемой в сечении эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости (Oyz) и отстоящей от нее на расстоянии (x_), где (0 leq x_ leq a), равна
$$
S(x_) = pi bc (1-frac<x_^><a^>).label
$$
В самом деле, граница фигуры (G) — эллипс, задаваемый уравнениями
$$
frac<y^><b^> + frac<z^><c^> = 1-frac<x_^><a^>,quad x = x_
$$

Полуоси этого эллипса равны (blambda) и (clambda), где (lambda = displaystylesqrt<1-frac<x_^><a^>>). Используя пример 1, получаем формулу eqref, а по формуле eqref находим искомый объем эллипсоида:
$$
v = 2 intlimits_0^a S(x) dx = 2pi bc intlimits_0^a left(1-frac<x^><a^>right) dx = frac pi abc.nonumber
$$
Отсюда следует, что объем шара, радиус которого равен (R), выражается формулой (v = displaystylefrac pi R^) . (blacktriangle)

Видео:Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать

Вычисление длины дуги кривой.

Если кривая (Gamma), заданная уравнением
$$
Gamma = <boldsymbol= boldsymbol(t), alpha leq t leq beta>,label
$$
непрерывно дифференцируема, то ее длина (S) выражается формулой
$$
S = intlimits_^ |boldsymbol'(t)| dt.label
$$

(circ) Ранее было доказано, что непрерывно дифференцируемая кривая (Gamma) спрямляема (имеет длину), а производная переменной длины дуги (s(t)) этой кривой выражается формулой
$$
s'(t) dt = |boldsymbol'(t)|.label
$$
Пусть (S) — длина всей кривой (Gamma); тогда, используя равенство eqref и формулу Ньютона-Лейбница, получаем
$$
intlimits_^ |boldsymbol'(t)| dt = intlimits_^ s'(t) dt = s(beta)-s(alpha) = S.nonumber
$$
так как (s(beta) = S), a (s(alpha) = 0). (bullet)

Если (boldsymbol(t) = (x(t), y(t), z(t))), то формула eqref принимает вид
$$
S = intlimits_^ sqrt<(x'(t))^+(y'(t))^+(z'(t))^> dt.label
$$
а если (Gamma)-плоская кривая, заданная уравнением
$$
y = f(x),quad a leq x leq b,nonumber
$$
то ее длина выражается формулой
$$
S = intlimits_a^b sqrt<1 + (f^(x))^> dx.label
$$

Найти длину кривой (y = operatorname x, 0 leq x leq a).

(triangle) Применяя формулу eqref, находим
$$
S = intlimits_0^a sqrt<1 + operatorname^x> dx = intlimits_0^a operatorname x dx = operatorname a. blacktrianglenonumber
$$

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 1.Скачать

Вычисление площади поверхности вращения.

Пусть (f(x)) — неотрицательная и непрерывная на отрезке ([a, b]) функция, (T = <x_, i = overline>) — разбиение отрезка ([a, b]), (L_) — ломаная с вершинами (A_(x_, f(x_)), i = overline), соединяющая последовательно точки (A_, A_, ldots A_) (рис. 37.8), (l_) — длина отрезка (mathcal_ = [A_, A_]) — (i)-го звена ломаной (L_). Тогда
$$
l_ = sqrt<(x_-x_)^ + (f(x_)-f(x_))^>.label
$$

При вращении вокруг оси (Ox) звена (mathcal_) образуется боковая поверхность усеченного конуса (цилиндра в случае, когда (f(x_) = f(x_))). Площадь этой поверхности, как известно из курса элементарной геометрии, равна
$$
p_ = pi (y_ + y_)l_,quad y_ = f(x_),quad k = overline,nonumber
$$
откуда следует, что площадь (mathcal

_) поверхности, получаемой при вращении ломаной (L_) вокруг оси (Ox), равна
$$
mathcal

_ = sum_^(y_ + y_)l_.label
$$

Если существует
$$
lim_ mathcal

_ = mathcal

.label
$$
где (l(T)) — мелкость разбиения (T), а (mathcal

_) определяется формулой eqref, то число (mathcal

) называют площадью поверхности вращения, то есть площадью поверхности, образующейся при вращении вокруг оси (Ox) графика функции (y = f(x), a leq x leq b).

Рис. 37.8

Если функция (f) имеет непрерывную производную на отрезке ([a, b]), то предел eqref существует, а площадь (mathcal

) поверхности вращения выражается формулой
$$
mathcal

= 2pi intlimits_a^b f(x) sqrt<1 + (f'(x))^> dx.label
$$

(circ) Из формул eqref и eqref следует, что
$$
mathcal

_ = pisum_^sqrt<(x_-x_)^ + (y_-y_)^>(y_ + y_),label
$$
где (y_i=f(x_i)). По теореме Лагранжа
$$
y_-y_ = f'(xi_)Delta x_,label
$$
где (xi_ in Delta_ = [x_, x_]), (Delta x_ = x_-x_). Поэтому формулу eqref можно записать в виде
$$
mathcal

_ = pi sum_^(y_ + y_) sqrt<1 + (f'(xi_))^>Delta x_.label
$$
Прибавим и вычтем в правой части равенства eqref интегральную сумму для интеграла eqref, соответствующую разбиению (T) и выборке (xi = xi_ (i = overline)), указанной формулой eqref, то есть сумму
$$
sigma_ (xi, g)= 2pi sum_^(f(xi_))sqrt<1 + (f'(xi_))^>Delta x_.label
$$
где (g(x) = 2pi f(x)displaystylesqrt<1 + (f'(x))^>). Заметим, что в силу непрерывности функции (g) для любой выборки (xi) существует
$$
lim_ sigma_ (xi, g) = 2pi intlimits_a^b f(x) sqrt<1 + (f'(x))^> dx.nonumber
$$
Поэтому для доказательства формулы eqref достаточно показать, что
$$
omega = mathcal

_-sigma_ (xi, g) rightarrow 0 mbox l(T) rightarrow 0.label
$$
Из eqref и eqref следует, что
$$
omega = pi sum_^(y_ + y_-2f(xi_i)) sqrt<1 + (f'(xi_))^>Delta x_.label
$$
При оценке величины (omega) воспользуемся тем, что функция (a) равномерно непрерывна на отрезке ([a, b]), то есть для любого (varepsilon > 0) существует (delta_ > 0) такое, что для любых точек (x’), (x″) из отрезка ([a, b]), удовлетворяющих условию (|x’-x″| 0) будет выбрано ниже.

Пусть разбиение (T) удовлетворяет условию (l(T) = displaystylemax_ Delta x_ 0) такое, что (0 0) существует (delta_ > 0) такое, что для каждого разбиения (T), мелкость (l(T)) которого удовлетворяет условию (l(T) Пример 7.

Пользуясь формулой eqref, вычислить площадь (mathcal

) поверхности сферического пояса высоты (h), если радиус сферы равен (R).

(triangle) Сферический пояс высоты (h) можно получить вращением дуги полуокружности, заданной уравнением (y = f(x) = displaystylesqrt<R^-x^>, a leq x leq b), где ([a, b] subset [-R, R], b-a = h), вокруг оси (Ox) (рис. 37.9). Так как (f'(x) =-displaystylefrac<sqrt<R^-x^>>), то (1 + (f'(x))^ = displaystylefrac<R^><R^-x^>), (f(x)sqrt<1 + (f'(x))^> = R) и по формуле eqref получаем (mathcal

_ = 2pi displaystyleintlimits_a^b R dx = 2pi R(b-a) = 2pi Rh). В частности, площадь поверхности сферы радиуса (R) равна (4pi R^). (blacktriangle)

Рис. 37.9

Видео:Определенный интеграл. 11 класс.Скачать

Применение определенного интеграла при решении физических задач.

Определенный интеграл широко применяется при решении различных физических задач. С помощью определенного интеграла можно вычислять: путь, пройденный материальной точкой, если известна скорость движения; работу переменной силы; силу давления жидкости на плоскую фигуру; статические моменты и координаты центра масс плоской кривой и плоской фигуры и так далее.

Пусть плоская пластинка (G), имеющая форму криволинейной трапеции, определяемой условиями eqref, погружена вертикально в жидкость с плотностью (rho) так, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и удалены от уровня жидкости на расстояния (a) и (b) (рис. 37.10). Требуется найти силу давления жидкости на пластинку.

Рис. 37.10

Из курса физики известно, что если пластинка погружена в жидкость и расположена горизонтально на расстоянии (h) от поверхности жидкости, то сила давления (mathcal

) на одну из сторон пластинки равна
$$
mathcal

= g rho hS,nonumber
$$
где (S) — площадь пластинки, (g) — ускорение силы тяжести. Таким образом, сила давления — линейная функция от глубины погружения пластинки. Поэтому естественно разбить пластинку (G) на части прямыми, параллельными поверхности жидкости (оси (Oy)).

Пусть (T = <x_, i = overline>) — разбиение отрезка ([a, b]). Прямыми, проведенными через точки (x_ (i = overline)), разобьем фигуру (G) на (n) частей (полосок) (G_ (i = overline)). Выделим полоску (G_), ограниченную прямыми (x = x_) и (x = x_) (рис. 37.10). Площадь этой полоски приближенно равна площади прямоугольника с основанием (Delta x_) и высотой (f(x_)), глубину погружения всех точек полоски (G_) можно считать равной (x_). Поэтому сила давления жидкости на полоску (G_) приближенно равна
$$
g rho x_f(x_)Delta x_,nonumber
$$
а сумма
$$
mathcal

_ = sum_<substack>^<substack> g rho x_f(x_)Delta x_nonumber
$$
приближенно равна силе давления жидкости на пластинку (G).

Если (l(T) rightarrow 0), где (l(T)) — мелкость разбиения (T), а функция (f) непрерывна на отрезке ([a, b]), то (mathcal

_ rightarrow mathcal

), где
$$
mathcal

= g intlimits_a^b rho x f(x) dx.label
$$
Число (mathcal

) выражаемое формулой eqref, называют силой давления жидкости на пластинку (G).

Вычислить силу давления (mathcal

) жидкости с плотностью (rho) на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса (R) и погруженную в жидкость так, что диаметр полукруга расположен на поверхности жидкости (рис. 37.11).

Рис. 37.11

(triangle) Выберем систему координат так, как указано на рис. 37.11. Пользуясь формулой eqref, где (f(x) = sqrt<R^-x^>, a = 0, b = R), получаем
$$
mathcal

= 2g rho intlimits_0^R x sqrt<R^-x^> dx =-left.frac g rho (R^-x^)^right|_^ = frac R^. blacktrianglenonumber
$$

Видео:Метод трапеций при вычислении определенного интегралаСкачать

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание 7

В этой статье мы будем учиться решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.

Как всегда, начнем с теории. Как вы помните, неопределенный интеграл от функции — это множество всех первообразных :

∫

В неопределенном интеграле не заданы границы интегрирования, и в результате нахождения неопределенного интеграла от функции мы получаем множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину С.

Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:

Здесь число — нижний предел интегрирования, число — верхний предел интегрирования. Определенный интеграл — это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона — Лейбница :

.

— это значение первообразной функции в точке , и, соответственно, — это значение первообразной функции в точке .

Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:

Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл — это число, равное площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прототип Задания 7 (№ 323080)

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле :

, где — первообразная функции .

По условию задачи , поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать «в уме».

=

=

Ответ: 4

Посмотрите небольшую видеолекцию, в которой решены все типы задач на первообразную:

📽️ Видео

Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

15 Площадь криволин. трапеции и определённый интегралСкачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

ИНТЕГРАЛ | площадь криволинейной трапецииСкачать

Геометрические приложения определенного интегралаСкачать