посчитать площадь под графиком эксель

Видео:Календарь этапов проекта в ExcelСкачать

Календарь этапов проекта в Excel

Вычисление интегралов в Excel

посчитать площадь под графиком эксельПри стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.

Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.

Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.

Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.

Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.

Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.

Признак (значение функции) – высота фигуры.

Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.

Функция – описание зависимости высоты от ширины.

Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.

Видео:Построение графиков: нахождение площади под кривойСкачать

Построение графиков: нахождение площади под кривой

Теория.

Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.

Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.

посчитать площадь под графиком эксель

Площадь под кривой y = f ( x ) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y =f ( x ). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.

Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.

Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.

Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!

2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!

Видео:Как в excel построить графикСкачать

Как в excel построить график

Практика вычисления интегралов в Excel.

Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.

Определение тепловой энергии.

Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.

Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Следите за анонсами, многим, я думаю, это будет интересно.

Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.

1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi .

2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i , измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.

3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t1i , поступающего на вход коллекторов.

посчитать площадь под графиком эксель

4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе

5. Зная удельную теплоемкость воздуха c =1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G =0,02031 кг/с, определяем мощность установки Ni в КВт в каждый из моментов времени в столбце F

Ni = c * G * dti

На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.

посчитать площадь под графиком эксель

Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.

6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день

Q =Σ Qi =10,395 КВт*час

7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона

Q =Σ Qj =10,395 КВт*час

Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!

Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.

посчитать площадь под графиком эксель

По методу трапеций: Q =10,220 КВт*час (-1,684%)

По методу Симпсона: Q =10,309 КВт*час (-0,827%)

Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.

Видео:Урок 4. Формулы Excel для начинающихСкачать

Урок 4. Формулы Excel для начинающих

Общие выводы.

Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.

Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.

Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!

Отзывы и комментарии к статье, уважаемые читатели, пишите в блоке, расположенном ниже статьи.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей на блоге подпишитесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи. Введите адрес своей электронной почты, нажмите на кнопку «Получать анонсы статей» и подтвердите подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту. С этого момента к вам на почтовый ящик будет пару раз в месяц приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).

Видео:Создание графика работы в Excel / Урок эксель для начинающихСкачать

Создание графика работы в Excel / Урок эксель для начинающих

Как в Excel вычислить определённый интеграл

Давайте разберёмся, как вычислить определённый интеграл таблично заданной функции с помощью программы Excel из состава Microsoft Office.

Видео:Нормальное распределение в ExcelСкачать

Нормальное распределение в Excel

1 Постановка физической задачина расчёт определённого интеграла

Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (единицы измерений – микрозиверт в час, мкЗв/ч). Возможно, Вас это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек попадает под радиоактивное излучение, превышающее фоновый уровень до 10 раз и даже больше. Но воздействие это кратковременное, и поэтому не столь опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время – Мощность дозы.

посчитать площадь под графиком эксель Таблично заданная величина для расчёта определённого интеграла

Необходимо посчитать суммарную накопленную за время полёта дозу.

Видео:Формула площади в таблице в Excel: 3 готовых формулыСкачать

Формула площади в таблице в Excel: 3 готовых формулы

2 Геометрический смыслопределённого интеграла

Как мы помним из курса школьной алгебры, определённый интеграл – это площадь под графиком измеряемой величины. Чтобы определить накопленную дозу радиации в рассматриваемом примере, нужно определить площадь фигуры под графиком таблично заданной мощности дозы. Накопленная доза радиации равна площади фигуры под графиком мощности дозы

посчитать площадь под графиком эксель График изменения мощности дозы во время полёта

Видео:Как в экселе поставить метр квадратный и кубическийСкачать

Как в экселе поставить метр квадратный и кубический

3 Методика вычисленияопределённого интеграла

Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.

Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: Sтрап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.

посчитать площадь под графиком эксель Метод трапеций для вычисления значения определённого интеграла

Видео:Метод прямоугольников для нахождения определенного интегралаСкачать

Метод прямоугольников для нахождения определенного интеграла

4 Согласованиеединиц измерения

В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах. Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.

Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец «D». В столбце «D» в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце «D», (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце «D» у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта.

посчитать площадь под графиком эксель Согласуем единицы измерения по шкале времени и шкале мощности дозы

Видео:Прогнозирование в Excel с помощью линий трендаСкачать

Прогнозирование в Excel с помощью линий тренда

5 Вычисление площадей отдельных трапеций

Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце «E» будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций. Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца «D». Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).

Получаем формулу в ячейке «E3»: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что «×1» в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца «Е» посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.

посчитать площадь под графиком эксель Вычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времени

Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).
Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.

Видео:Excel график функцииСкачать

Excel график функции

5 Определение площадипод графиком функции

Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке «F2» написать формулу: =СУММ(E:E) Это и будет сумма всех значений в столбце «E», т.е. численное значение искомого определённого интеграла. Но давайте сделаем вот что: определим накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейку «F4» впишем формулу =СУММ(E$3:E4) и маркером заполнения распространим на весь столбец «F».

Обозначение E$3 говорит программе Excel, что увеличивать индекс ячейки «3» в столбце «E» при переносе формулы на следующие строки не нужно. Т.е. в строке 4 формула будет определять сумму в ячейках с «Е3» по «Е4», в строке 5 – сумму с «Е3» по «Е5», в строке 6 – с «Е3» по «Е6» и т.д.

Построим график по столбцам «F» и «A». Это график изменения накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно монотонное увеличение накопленной дозы радиации за время полёта. Это говорит о том, что мы правильно рассчитали интеграл. И окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации, которое получается в последней ячейке этого столбца, равно примерно 4,5 микрозиверт.

посчитать площадь под графиком эксель Вычисление суммарной площади всех трапеций, что численно равно искомому определённому интегралу

Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере. В качестве приложения к статье – файл Excel с нашим примером.

Видео:Интервальный вариационный ряд в MS Excel. Гистограмма, полигон, функция распределенияСкачать

Интервальный вариационный ряд в MS Excel. Гистограмма, полигон, функция распределения

Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel

Образовательные:

  • Совершенствовать навыки работы в ЭТ.
  • Углублять и систематизировать знания работы с Мастером диаграмм.
  • Развивающие:

  • Способствовать развитию мышления, умения применять полученные знания при решении задач различной направленности.
  • Способствовать развитию представлений учащихся о прикладном значении программ MS-Office.
  • Воспитательные:

  • Воспитывать ответственность, коллективизм, взаимопомощь.
  • Воспитывать познавательный интерес к предмету.
  • Тип урока: Урок совершенствование знаний, умений и навыков на основе полученных знаний в курсе “Алгебра и начала анализа”.

    Материально техническое оснащение:

  • Компьютеры с операционной системой Windows XP.
  • Программное обеспечение Microsoft Office Excel XP (2003,2007).
  • Мультимедийный проектор. Экран.
  • Листы с вопросами по домашнему заданию – 14 шт.
  • Магнитная доска, маркеры, магниты.
  • 1. Организационный момент.

    Тема сегодняшнего урока: “Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel”.

    На предыдущих уроках мы изучили функции ЭТ, составляли таблицы, строили диаграммы. Сегодня на уроке, используя возможности ЭТ, мы рассмотрим три метода приближенного вычисления площади криволинейной трапеции:

    • метод прямоугольников с недостатком;
    • метод прямоугольников с избытком;
    • метод трапеций.

    Наша цель не дублирование и не повторение пройденной темы по алгебре, а углубление понятий, связанных с интегральным исчислением.

    Вспомним немного истории: интегральное исчисление было предложено в XVII в. И.Ньютоном и Г. Лейбницем. Интегрирование – нахождение интеграла, через который выражаются площади плоских фигур, длины кривых, объемы и поверхности тел и т.д.

    Сам знак возник из первой буквы S латинского слова Summa. Но ведь при Евдоксе и Архимеде (400 г до н.э.) не было интегралов. Как же находили площади нестандартных фигур?

    Представим себе, что мы рыболовы … Как найти площадь пойманной рыбы?

    Демонстрируются рисунки через проектор на экран.

    посчитать площадь под графиком эксель

    Возможные ответы учащихся …

    Учитель: Я предлагаю вам следующее. Разделим рыбу на несколько равных частей.

    посчитать площадь под графиком эксель

    Введем систему координат

    посчитать площадь под графиком эксель

    Посмотрим на закрашенную фигуру. Что она нам напоминает?

    — Отдаленно криволинейную трапецию.

    Вопрос классу: Давайте вспомним: Что называют криволинейной трапецией?

    Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная отрезком [a; b], графиком непрерывной функции не изменяющая своего знака на заданном отрезке и прямыми х=а и x=b.

    (На доске через проектор)

    Вычислим площадь криволинейной трапеции приближенными способами.

    1. Метод прямоугольников.

    посчитать площадь под графиком эксель

    2. Метод трапеций.

    посчитать площадь под графиком эксель

    посчитать площадь под графиком эксель

    Реализуем все методы через электронную таблицу.

    Что нам необходимо знать?

    1. Функцию.
    2. Пределы интегрирования.
    3. Шаг интегрирования (разбиения).

    Рассмотрим на примере:

    1. Функция Y= посчитать площадь под графиком эксель, ограниченная прямыми y = 0, x = 1, x = 2.

    2. Пределы интегрирования [1,2].

    3. Шаг интегрирования dx = 0.1.

    Ресурсы ЭТ

    1. Заголовочная часть.
    2. Начальное и конечное значения аргумента (пределы интегрирования).
    3. Шаг разбиения.

    Заполним ЭТ в соответствии с тремя рассмотренными способами, при этом учтем следующее:

    1. Вспомним, что обозначает “. ” при работе с формулами или с числами? (Не хватает места для записи чисел или формул, следовательно необходимо увеличить ширину колонки)
    2. Можно ли заносить в одну ячейку числовую и текстовую информацию? (Нельзя)
    3. Какую команду следует использовать для облегчения многократного ввода и идентичного вычисления данных? (Копирование)

    (Учитель показывает начало заполнения таблицы, далее вызывает контрольный пример и проводит объяснение с демонстрацией через проектор)

    Замечание

    1. Особенности вычисления площади криволинейной трапеции методом прямоугольников с недостатком и с избытком.

    Функция возрастающая Функция убывающая.

    посчитать площадь под графиком эксель

    При убывающей функции – формулы для вычисления соответствующих площадей криволинейных трапеций методом прямоугольников с недостатком и с избытком взаимо поменяются.

    2. Поменяем шаг интегрирования с dx = 0,1 на dx = 0,5 следовательно изменится количество значений аргумента и соответствующих им значений функций, поэтому применяя команду копирования необходимо взять заведомо большее количество значений аргумента.

    3. Рассмотрим графическое представление данной функции при различных dx.

    Задание:

    1. Найти площадь криволинейной трапеции, заданной функцией Y= посчитать площадь под графиком эксельвсеми тремя способами. Сначала с шагом интегрирования dx = 0,1, а затем с шагом dx = 0,5.
    2. Сравнить результаты вычислений, полученных при вычислении через электронную таблицу с найденным значением интеграл данной функции

    посчитать площадь под графиком эксель= 0,5 кв. ед

    Сравнив все полученные результаты, какой вывод можно сделать?

    1. От чего зависит точность вычисления площади криволинейной трапеции?
    2. Какой из способов дает более точное значение? Как вы думаете, почему?

    Итак, подведем итог:

    1. Точность вычисления площади криволинейной трапеции зависит от шага разбиения.
    2. От вида функции: монотонно-возрастающая или монотонно-убывающая.
    3. От метода, применяемого к функции.

    🌟 Видео

    Урок 7. Диаграммы в Excel для начинающихСкачать

    Урок 7. Диаграммы в Excel для начинающих

    Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать

    Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметра

    Расчет коэффициента корреляции в ExcelСкачать

    Расчет коэффициента корреляции в Excel

    Дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации в ExcelСкачать

    Дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации в Excel

    Как создать диаграмму в Excel?Скачать

    Как создать диаграмму в Excel?

    Гистограмма частот в Excel 2016Скачать

    Гистограмма частот в Excel 2016

    Разница в процентах между двумя числами в ExcelСкачать

    Разница в процентах между двумя числами в Excel

    Диаграмма выполнения плана в ExcelСкачать

    Диаграмма выполнения плана в Excel
    Поделиться или сохранить к себе: