площадь треугольника и его проекции

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Ортогональное проецирование — определение и вычисление с примерами решения

Ортогональное проецирование:

Параллельное проецирование, направление которого перпендикулярно плоскости проекции, называется ортогональным проецированием. Проекция фигуры, образующаяся при ортогональном проецировании, называется ортогональной проекцией, или просто проекцией этой фигуры.

Поскольку ортогональное проецирование является особым видом параллельного проецирования, то для него выполняются все свойства последнего. Ортогональной проекцией прямой

Отметим, что прямые, перпендикулярные одной из параллельных плоскостей, перпендикулярны и остальным, поэтому ортогональное проецирование на одну из таких плоскостей будет ортогональным и на остальные плоскости. Очевидно, что ортогональные проекции фигуры на параллельные плоскости равны между собой.

Ортогональное проецирование также имеет только ему присущие свойства. Одно из них выражает теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.

Площадь ортогональной проекции

Теорема 5

Площадь ортогональной проекции произвольного многоугольника на плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Как пример многоугольника возьмем (рис. 6.41). Проекцией на плоскость является . Проведем высоту треугольника . По теореме
о трех перпендикулярах — высота . Угол — угол между плоскостью и плоскостью проекции. Пусть . Тогда

Учитывая, что прямоугольный , имеем:. Поэтому

Итак, . Теорема доказана.

Чтобы доказать теорему для произвольного многоугольника, его разбивают на треугольники. Тогда для каждого треугольника и его проекции можно записать равенство

где поскольку угол между плоскостями этих треугольников и плоскостью их проекций будет один и тот же. Все эти равенства сложим почленно:

Получим в левой части равенства площадь проекции многоугольника, а в правой — площадь самого многоугольника, умноженную на косинус угла между их плоскостями. Отсюда

Т.е. и для этого случая теорема истинна.

Пример:

Ортогональной проекцией треугольника является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Плоскость треугольника образует с плоскостью проекции угол 60°. Вычислите площадь данного треугольника.

Воспользуемся рисунком 6.41. Известно, что площадь проекции треугольника вычисляют по формуле:

где — угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции.
По формуле Герона найдем площадь :

где — полупериметр треугольника, — его стороны.

Тогда

• Декартовы координаты на плоскости
• Декартовы координаты в пространстве
• Геометрические преобразования в геометрии
• Планиметрия — формулы, определение и вычисление
• Параллельность прямых и плоскостей
• Перпендикулярность прямой и плоскости
• Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
• Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Любая формула площади треугольника может быть использована и для вычисления площади прямоугольного треугольника.

Выведем формулы для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты, гипотенузу, острый угол, проекции катетов на гипотенузу.

I. Площадь треугольника равна половине произведению стороны на высоту, проведенную у этой стороне:

Поскольку катеты перпендикулярны, то один катет является высотой, проведенной к другому катету.

Поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Формула для нахождения

площади прямоугольного

треугольника

через катеты

площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе:

Так как высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

площадь прямоугольного треугольника

через проекции его

катетов на гипотенузу:

II. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

Для прямоугольного треугольника эту формулу можно записать как

Нахождение площади прямоугольного треугольника по формуле Герона либо через радиус вписанной или описанной окружности также возможно, но нецелесообразно, поскольку ведет к усложнению вычислений.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:Теорема о площади проекцииСкачать

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Видео:Урок 17. Площадь ортогональной проекции Задание 14 ЕГЭ по математике. Стереометрия с нуля.Скачать

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункамСкачать

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Видео:Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

💡 Видео

Как найти площадь треугольника, зная координаты его вершины.Скачать

Площадь ортогональной проекцииСкачать

134 Равнобедренный прямоугольный треугольник, проекция которого подобна ему, но меньшей площадиСкачать

Площадь ортогональной проекцииСкачать

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Площадь ортогональной проекции многоугольникаСкачать

Площадь ортогональной проекции многоугольникаСкачать