 Шар, сфера и их части |
| Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей |
Шар, сфера и их части
Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.
Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).
Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).
Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.
Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).
Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).
Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).
Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.
Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.
Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.
Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .
Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).
Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).
Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.
Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .
По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).
Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).
Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.
| Фигура | Рисунок | Формула | Описание |
| Сфера |  | Площадь сферы | |
| Шар | Объем шара | ||
| Сферический пояс |  | Площадь сферического пояса | |
| Шаровой слой | Объем шарового слоя | ||
| Сферический сегмент |  | Площадь сферического сегмента | |
| Шаровой сегмент | Объем шарового сегмента | ||
| Шаровой сектор |  | Объем шарового сектора |
| Сфера |
|
где
r – радиус сферы.
где
r – радиус шара.
Площадь сферического пояса:
Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !
Нахождение площади шарового сегмента
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности сегмента шара, а также разберем пример решения задачи для демонстрации их практического применения.
Определение сегмента шара
Сегмент шара (или шаровый сегмент) – это часть шара, отсеченная плоскостью. На чертеже ниже закрашен зеленым цветом.
- R – радиус шара;
- r – радиус основания сегмента;
- h – высота сегмента; это длина перпендикуляра от центра его основания (точка O2) до точки на поверхности шара.
Связь между радиусом основания сегмента, его высотой и радиусом шара:
Формулы для нахождения площади сегмента шара
Площадь основания
Основанием шарового сегмента является круг, площадь (S) которого находится по стандартной формуле (в расчетах число π округляется до 3,14):
Примечание: если известен диаметр круга (d), чтобы найти радиус (r), нужно первое разделить на второе, то есть:
Площадь сферической поверхности
Чтобы найти площадь (S) сферической/внешней поверхности шарового сегмента, необходимо знать его высоту и радиус самого шара.
Площадь полной поверхности
Чтобы найти площадь (S) полной поверхности сегмента шара, необходимо сложить площади его основания и внешней поверхности.
Пример задачи
Дан шар радиусом 6 см. Найдите полную площадь шарового сегмента, если известно, что его высота равняется 2,4 см, а радиус основания –
Решение
Воспользуемся формулами, приведенными выше, подставив в них известные по условиям задачи значения.
Sсфер. пов. = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 см⋅ 2,4 см =
Sполн. = Sосн. + Sсфер. пов. = 69,3626 см 2 + 90,432 см 2 =
Сегмент шара
Вычисление площади поверхности и объема шарового сегмента или шарового слоя.
Сегмент шара
Сферический сегмент
Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью.
Формулы:
— площадь боковой поверхности
— площадь основания
— формула объема