площадь и длина овала (2 видео)

Содержание

Площади фигур. Площадь эллипса.
Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры
Определение и элементы эллипса
Основные свойства эллипса
Уравнение эллипса
Площадь эллипса
Площадь сегмента эллипса
Длина дуги эллипса
Радиус круга, вписанного в эллипс
Радиус круга, описанного вокруг эллипса
Как построить эллипс
Расчет площади эллипса (овала)
💥 Видео

Видео:Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интегралаСкачать

Площади фигур. Площадь эллипса.

Эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний, от

которых до двух заданных точек F₁, F₂, есть величина

Точки F₁ и F₂ являются фокусами эллипса.

Окружность – это частный случай эллипса.

Так же как гипербола и парабола, эллипс – это коническое сечение и квадрика.

Кроме того, эллипс описывают как пересечение плоскости и кругового цилиндра либо как ортогональная

проекция окружности на плоскость.

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи. Как найти

площадь эллипса, формула:

где S — площадь эллипса

a — длина большей полуоси

b — длина маленькой полуоси

Еще один вариант как вычислить площадь эллипса – через два его

Видео:Как найти площадь эллипса, или почему современные дети не умеют думатьСкачать

Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Видео:Площадь эллипса без интегралаСкачать

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Видео:Площадь эллипсаСкачать

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Видео:Площадь эллипсаСкачать

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F₁(-c;0); F₂(c;0)

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

a 2 b 2 — a 2 y 2 — x 2 b 2 = 0,

a 2 b 2 = a 2 y 2 + x 2 b 2 ,

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

a – большая полуось, b – малая.

Видео:ЭллипсСкачать

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

Видео:Как найти площадь элипсаСкачать

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Видео:§17 Определение эллипсаСкачать

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Расчет площади эллипса (овала)

Эллипс — это замкнутая кривая на плоскости, которая может быть представлена как ортогональная проекция сечения окружности цилиндра на плоскость. Основными математическими характеристиками окружности являются длина его полуосей.

Площадь эллипса (овала) — это численная характеристика, показывающая его размер в плоскости.

Формула расчета площади эллипса:

S — площадь эллипса;
a — полуось эллипса;
b — полуось эллипса.

Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади эллипса. С помощью этой программы вы в один клик сможете рассчитать площадь эллипса (овала) если известны его полуоси.