площадь эпюры изгибающего момента

Площадь эпюры и координата ее центра тяжести

момент и построим единичные эпюры М, и М₂ (рис. 10.13, в, г). Эпюры М_р и М_< на первом участке представляют собой трапеции, а на втором — треугольники.

Вычислим интегралы Мора с помощью правила А. К. Верещагина. При «перемножении» трапеций используем формулу (10.15). В результате вычислений получим

Результаты «перемножения» эпюр оказались положительными. Это означает, что направления перемещений соответствуют направлениям действия единичных нагрузок, то есть прогиб балки в сечении В происходит вниз, а сечение С поворачивается по ходу часовой стрелки.

Пример 10.3. Для рамы на рис. 10.14 определим вертикальное перемещение сечения D, горизонтальное перемещение сечения В и угол поворота сечения на опоре А. Изгибная жесткость вертикального стержня в два раза больше, чем жесткость горизонтального стержня.

Определяем опорные реакции в раме от действия заданных нагрузок и строим эпюру М_р (рис. 10.15, а). Приложим по направлению искомых перемещений единичные нагрузки и построим единичные эпюры изгибающих моментов. Эти эпюры приведены на рис. 10.15, б, в, г.

Разобьем грузовую эпюру М_р в пределах стержня АВ на квадратную параболу и треугольник, а в пределах стержня ВС — на два разнозначных треугольника (на рис. 10.15, а эти разбиения показаны пунктиром). «Перемножая» эпюру М_р с единичными эпюрами, определяем величины искомых перемещений:

Вертикальное перемещение сечения D происходит в направлении, противоположном направлению действия единичной силы, то есть вверх. Направления других перемещений совпадают с направлениями действия соответствующих единичных нагрузок.

Видео:Определение экстремума эпюры моментов MСкачать

Определение прогибов по правилу Верещагина

Значение прогиба в произвольной точке к изгибаемого элемента может быть описано интегралом Мора

где Mf — уравнение изгибающего момента от заданной нагрузки; Mf=1 — уравнение изгибающего момента от безразмерной единичной силы F —1.

Для решения интеграла (12.24) А.Н. Верещагин предложил ряд последовательных приемов.

Порядок определения прогибов по правилу Верещагина

• 1. По расчетной схеме балки определяют значения опорных реакций и строят эпюру изгибающих моментов от внешних сил M_F.
• 2. Строят эпюру изгибающих моментов M_F= от единичной силы F = 1. Для того чтобы отличать единичную силу от других внешних сил, обозначаем ее с чертой, расположенной сверху, также будем обозначать и изгибающий момент от единичной силы.

Единичная сила на расчетной схеме прикладывается в точке, в которой хотят определить вертикальное перемещение балки (прогиб).

• 3. Разбивают эпюру изгибающих моментов M_F на участки (границы участков см. п. 4) и определяют их площади со/, а также определяют положение центров тяжести этих участков (см. приложение 2).
• 4. На эпюре изгибающих моментов от единичной силы Mf=1 определяют величины ординат у/, расположенных под центрами тяжести участков эпюры изгибающих моментов от внешних сил. При этом учитывают, что участки эпюр изгибающих моментов от внешних сил и от единичной силы должны одновременно монотонно изменяться по линейному закону.

Для расчета прогибов находят сумму произведений площадей участков эпюры изгибающих моментов внешних сил на соответствующие ординаты, взятые на единичной эпюре, под центрами тяжести площадей эпюры внешних сил ?со, у,- (см. рис. 12.26,12.27, примеры 12.19, 12.20):

Рис. 12.26. Эпюры изгибающих моментов от внешних сил M_F и единичной силы M_F=i: а) линейная и нелинейная (ломаная) эпюры; б) трапециевидные линейные эпюры: С- центры тяжести: со/ — площади участков эпюры изгибающих моментов; у; — ординаты эпюры изгибающих моментов от единичных сил, взятые под центрами тяжести участков площади грузовой эпюры

а) если одна из эпюр имеет разные угловые коэффициенты, ее рассматривают как нелинейную и разбивают эпюры на линейные участки (на рис. 12.26а — верхняя эпюра разбивается на два участка, так как нижняя имеет разные угловые коэффициенты)’,

• б) трапециевидную линейную эпюру удобно разбивать на две треугольные эпюры, для которых легко найти площади со и положения центров тяжести (см. рис. 12.266);
• в) если одна из эпюр криволинейная, а другая ломаная, ломаную эпюру следует разбить на линейные участки, соответственно, и криволинейную эпюру разбивают на аналогичные по длине участки (см. рис. 12.27а);
• г) если эпюра располагается по разные стороны от продольной оси, ординаты у берутся с разными знаками (рис. 12.276). При этом если эпюры имеют треугольные очертания, проще проводить вычисления на фиктивных эпюрах, построенных на высотах настоящих эпюр (на рис. 12.276 границы фиктивных эпюр показаны пунктиром), от этого значения вычислений не изменятся, так как добавленные площади равновелики и их произведение с ординатами имеют разные знаки соу = coi^i — согуг;

Рис. 12.27. Эпюры изгибающих моментов: от внешних сил M_F и единичной силы Mf= : а) криволинейная и ломаная эпюра; 6) линейные эпюры, одна из которых с разными знаками

5. Определяют вертикальные перемещения балки в точке приложения единичной силы, точке к. Перемещение возникает по направлению единичной силы

где ук — перемещение точки к, равное прогибу fk ff>, — площади участков эпюры моментов от внешних нагрузок; у, — ординаты на эпюре изгибающих моментов от единичной силы, расположенные под центрами тяжести участков эпюры изгибающих моментов; Е- модуль упругости материала балки; I- момент инерции сечения балки относительно оси изгиба.

Подобным образом, прикладывая единичную силу к разным точкам по длине балки, можно определить прогибы в разных точках и построить линию изогнутой оси балки.

Пример 12.19. Определить перемещение точки к консольной балки, загруженной сосредоточенной силой (рис. 12.28). Балка выполнена из деревянного бруса шириной b = 200 мм, высотой h = 275 мм. Модуль упругости древесины вдоль волокон Е = 10 000 МПа. Предельный конструктивный прогиб f_u = 21 / 150.

Рис. 12.28. К примеру 12.19. Консольная балка: а) расчетная схема и эпюра изгибающих моментов от внешней силы; б) эпюра изгибающих моментов от единичной силы

Решение. Определяем реакции в защемлении балки: YMa = 0; FI- М_А = 0; M_A = Fl= 12,0 • 2,5 = 30,0 кН-м; JJ= 0; V_A — F= 0; V_a=F = 12,0 кН. Строим эпюру изгибающих моментов от внешних сил (рис. 12.28а).

Прикладываем к консольной балке в точке к единичную силу (рис. 12.28б) и определяем реакции в заделке от единичной силы:

^7 = 0; V_a-F= 0; V_A=F= 1. Строим эпюру изгибающих

моментов от единичной силы, учитывая, что у = Млу = 2,5.

Площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил: со = 1 / 2 MaI = 1 / 2 • 30,0 • 2,5 = 37,5 кН-м 2 . Центр тяжести эпюры находится на расстоянии 1 / 3/ = 1 / 3 • 2,5 = 0,833 м. Значение ординаты у 1 находим из соотношения сторон подобных треугольников

Перемножаем площадь эпюры от внешних сил на ординату соyi = 37,5 • 1,667 = 62,51 кН-м 2 .

Так как расчет велся в метрах, переводим все величины в метры. Определяем момент инерции сечения бруса (см. табл. 10.1) относительно оси изгиба:

/_х = Ък ъ / 12 = 20 • 27,5 3 / 12 = 34 661,46 см 2 = 34 661,46 • 10 » 8 м 4 . Модуль упругости древесины Е = 10 000 МПа = 1 • 10 3 кН/см 2 = 1 • 10 7 кН/м 2 .

Определяем величину прогиба в точке к по формуле

прогиб балки меньше предельного значения.

Пример. 12.20. Используя правило Верещагина, определить прогиб в середине балки. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой на длине 2,5 м (рис. 12.29а). Балка выполнена из прокатного двутавра № 23Б1, который имеет момент инерции относительно оси изгиба 1_Х = 2996 см 4 . Предельный конструктивный прогиб fu — l! 150.

Рис. 12.29. Расчетная схема балки. К примеру 12.20: а) расчетная схема балки и эпюра изгибающих моментов от внешних сил; б) балка, загруженная единичной силой, и эпюра изгибающих моментов от единичной силы

Решение. 1. Определяем опорные реакции в балке:

2. Строим эпюру изгибающих моментов. Для этого находим значение изгибающих моментов в точке к и точке 1:

На участке A-к эпюра изгибающих моментов меняется по линейному закону (от нуля до Мк = 62,5 кНм), затем по квадратной параболе до нуля (рис. 12.296). В точке 1, взятой посредине участка действия распределенной нагрузки, значение изгибающего момента соответствует его значению в точке к, это приводит к тому, что меняется монотонное изменение моментов, и участок к-В следует разбить на две части: к-1 и 1-В.

3. Прикладываем к расчетной схеме балки в точке к единичную силу F = 1 и строим для нее эпюру изгибающих моментов. Определяем реакции от единичной силы:

Реакции от единичной силы, как и сама единичная сила, не имеют размерностей.

4. Разбиваем эпюру изгибающих моментов от внешних сил Mf на три участка, для которых определяем площади со, и положение центров тяжести каждого участка:

Первый участок: coi = 1 / 2aMk = 1 / 2 • 2,5 • 62,5 = 78,125 кН-м 2 .

Второй участок: максимальный изгибающий момент соответствует середине второго участка

М₂ = 70,3 кН-м. 0)2 = M_kc+ 2/3 (М₂ — М_к)с = 62,5 -1,25 + 2 /3 (70,3 — 62,5) = 78,125 + 5,2 = 83,325 кН-м 2 .

Третий участок: соз = М_к 2 / 3 (Ь — с) = 62,5 • 2 / 3 • (2,5 — 1,25) — 52,08 кН-м 2 .

Центры тяжести участков (см. приложение 2): в первом участке центр тяжести находятся от точки А на расстоянии xi = 2/За = 2/ 3 • 2,5 = 1,667 м; во втором участке от точки В на расстоянии х₂ = 1 / 2с + (b — с) = 1 / 2 • 1,25 + 1,25 = 1,875 м; в третьем участке от точки В на расстоянии хз = 5 / 8 (Ь — с) = 5 /8 (2,5-1,25) = 0,78 м.

5. Изгибающий момент в точке к от единичной силы принимаем за ординату у: Mk,F = у = Va,f • 2,5 = 0,5 • 2,5 = 1,25. Определяем значение других ординат, расположенных под центрами тяжести фигур. Их значения определяем из подобия треугольников (рис. 12.29б), имеем

6. Определяем величину прогиба в точке к по формуле (12.25), учитывая, что все расчеты велись в метрах, переводим значения: модуль упругости Е = 2,06 • 10 4 кН/см 2 = 2,06 • 10 8 кН/м 2 ; момент инерции двутавра 1_Х = 2996 см 4 = 2996 • 10 -8 м 4

Вывод. Прогиб балки меньше допускаемого значения.

Задача 12.12. Определить перемещение балки в точке к по правилу Верещагина (рис. 12.30). Балка выполнена из стального прокатного двутавра № 18Б1.

Рис. 12.30. Расчетная схема балки. К задаче 12.12