площадь диагонального сечения четырехугольной призмы (8 видео)

Содержание

Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы
Как выглядит призма
Нахождение элементов призмы
Примеры задач с решениями
Площадь диагонального сечения четырехугольной призмы
Площадь сечения призмы
📸 Видео

Видео:№226. В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечениеСкачать

Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела — многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Видео:Призма. Площадь диагонального сечения. Теорема Пифагора в стереометрии.Скачать

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h),
длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²,
площадь основания: Sосн = V / h,
площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Видео:✓ Площадь сечения | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

ABCDA₁B₁C₁D₁ правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения — длина, ширина и высота — равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Видео:ЕГЭ стереометрия Сечение призмы Площадь сеченияСкачать

Площадь диагонального сечения четырехугольной призмы

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Примечание. Текст задачи взят с форума

Задача.
Диагональным сечением правильной четырехугольной призмы является квадрат, площадь которого равен 144 квадратных сантиметров.
Найдите объем объем призмы.

Решение.
Поскольку, согласно определению диагонального сечения призмы, оно проходит через диагональ основания, а данная призма является правильной и четырехугольной, то данное диагональное сечение проходит через диагональ основания, которое является квадратом.

Исходя из того, что площадь диагонального сечения является квадратом (BB1DD1), то сторона квадрата (она же равна высоте призмы) равна:

Как мы уже показали, в основании данной призмы также лежит квадрат ABCD, диагональ которого мы только что определили.

Таким образом, если обозначить сторону квадрата как b, получим:

b 2 + b 2 = 12 2
или
2b 2 = 144
b 2 = 72

Заметим, что площадь основания (квадрата ABCD) равна
S = b 2
то есть
S = 72

Подставим значения:
V = 72h
высота сечения равна высоте прямой призмы и это значение было найдено нами ранее, то есть
V = 72 * 12 = 864 см 3

Ответ: 864 кубических сантиметра

Видео:сечение в четырехугольной призмеСкачать

Площадь сечения призмы

Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Основными математическими характеристиками призмы являются площадь основания и высота.

Сечение призмы — это изображение фигуры, образованной рассечением призмы плоскостью в поперечном или продольном направлении.

Формула для расчета площади бокового сечения призмы:

a — сторона призмы;
b — высота призмы.

Формула для расчета площади диагонального сечения призмы:

b — высота призмы;
c — диагональ призмы.

Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади бокового или диагонального сечения призмы, если известны длина сторон, диагональ и высота призмы. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать площадь сечения призмы (площадь бокового сечения призмы, площадь диагонального сечения призмы и площадь сечения призмы плоскостью).