первообразная и ее площадь (3 видео)

Содержание

Первообразная
Таблица первообразных
Правила вычисления первообразных:
math4school.ru
Первообразная и интегралы
Первообразная
Неопределённый интеграл
Таблица первообразных и неопределённых интегралов
Определённый интеграл
Геометрический и физический смысл определённого интеграла
Площадь фигуры
Объём тела вращения
Презентация «Первообразная. Интеграл. Площадь криволинейной трапеции» 11 класс
💥 Видео

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Первообразная

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$

Таблица первообразных

Первообразная нуля равна $С$

Функция	Первообразная
$f(x)=k$	$F(x)=kx+C$
$f(x)=x^m, m≠-1$	$F(x)=<x^>/+C$
$f(x)=/$	$F(x)=ln\|x\|+C$
$f(x)=e^x$	$F(x)=e^x+C$
$f(x)=a^x$	$F(x)=/+C$
$f(x)=sinx$	$F(x)-cosx+C$
$f(x)=cosx$	$F(x)=sinx+C$
$f(x)=/$	$F(x)=-ctgx+C$
$f(x)=/$	$F(x)=tgx+C$
$f(x)=√x$	$F(x)=/+C$
$f(x)=/$	$F(x)=2√x+C$

Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$

Правила вычисления первообразных:

Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ — первообразная для $f(x)+g(x)$.
Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то $/$ $F(kx+b)$ — это первообразная для $f(kx+b)$.

Найти первообразную для функции $f(x)=2sin⁡x+/-/$.

Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого

Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$

Для $f_1=sin⁡x$ первообразная равна $F_1=-cos⁡x$

Для $f_2=/$ первообразная равна $F_2=ln⁡|x|$

Для $f_2=cos⁡x$ первообразная равна $F_3=sin⁡x$

По первому правилу вычисления первообразных получаем:

Итак, общий вид первообразной для заданной функции

Видео:11 класс, 20 урок, Первообразная и неопределённый интегралСкачать

math4school.ru

Видео:Первообразная. 11 класс.Скачать

Первообразная и интегралы

Первообразная

Функция F(x ) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство

► Например, функция F(x) = х 2 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как

Основное свойство первообразной

Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.

Правила вычисления первообразных

Если F(x) — первообразная для f(x) , а G(x) — первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x) . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных .
Если F(x) — первообразная для f(x) , и k — постоянная, то k· F(x) — первообразная для k· f(x) . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной .
Если F(x) — первообразная для f(x) , и k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то 1 / k· F( k x + b ) — первообразная для f (kx + b ) .

Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x) . Обозначается неопределённый интеграл так:

f(x) — называют подынтегральной функцией ;

f(x) dx — называют подынтегральным выражением ;

x — называют переменной интегрирования ;

F(x) — одна из первообразных функции f(x) ;

С — произвольная постоянная.

Слово «интеграл» происходит от латинского слова integer , что означает «восстановленный». Считая неопределённый интеграл от 2 x , мы как бы восстанавливаем функцию х 2 , производная которой равна 2 x . Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Основные свойства неопределённого интеграла

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:

Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

Если k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то

Таблица первообразных и неопределённых интегралов

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + С
I.	$$0$$	$$C$$	$$int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n

(nneq-1)$$$$frac<x^>+C$$$$int x^ndx=frac<x^>+C$$IV.$$frac$$$$ln |x|+C$$$$intfrac=ln |x|+C$$V.$$sin x$$$$-cos x+C$$$$intsin x

dx=-cos x+C$$VI.$$cos x$$$$sin x+C$$$$intcos x

dx=sin x+C$$VII.$$frac$$$$textrm

x+C$$$$intfrac=textrm

x+C$$VIII.$$frac$$$$-textrm

x+C$$$$intfrac=-textrm

x+C$$IX.$$e^x$$$$e^x+C$$$$int e^xdx=e^x+C$$X.$$a^x$$$$frac+C$$$$int a^xdx=frac +C$$XI.$$frac<sqrt>$$$$arcsin x +C$$$$intfrac<sqrt>=arcsin x +C$$XII.$$frac<sqrt >$$$$arcsin frac+C$$$$intfrac<sqrt >=arcsin frac+C$$XIII.$$frac$$$$textrm

x+C$$$$int frac=textrm

x+C$$XIV.$$frac $$$$fractextrm

(aneq0)$$$$fracln beginfracend+C$$$$intfrac=fracln beginfracend+C$$XVII.$$textrm

x$$$$-ln |cos x|+C$$$$int textrm

dx=-ln |cos x|+C$$XVIII.$$textrm

x$$$$ln |sin x|+C$$$$int textrm

dx=ln |sin x|+C$$XIX.$$ frac $$$$ln begintextrm

fracend+C $$$$int frac=ln begintextrm

fracend+C $$XX.$$ frac $$$$ln begintextrmleft (frac+frac right ) end+C $$$$int frac=ln begintextrmleft (frac+frac right ) end+C $$Первообразные и неопределённые интегралы, приведённые в этой таблице, принято называть табличными первообразными и табличными интегралами .

Определённый интеграл

Пусть на промежутке [a; b] задана непрерывная функция y = f(x) , тогда определённым интегралом от a до b функции f(x) называется приращение первообразной F(x) этой функции, то есть

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные правила вычисления определённого интеграла

Замечание . Во всех случаях предполагается, что подынтегральные функции интегрируемые на числовых промежутках, границами которых являются пределы интегрирования.

Геометрический и физический смысл определённого интеграла

Площадь фигуры

Геометрический смысл определённого интеграла	Физический смысл определённого интеграла

Если на заданном промежутке [a; b] определены и непрерывны функции y = f(x) и
y = g(x) , которые удовлетворяют условию

► Например. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями

Объём тела вращения

Если тело вращения получено в результате вращения фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций y = f(x) и y = g(x) , соответственно, то

► Например. Вычислим объём конуса с радиусом r и высотой h .

Расположим конус в прямоугольной системе координат так, чтобы его ось совпадала с осью Ox , а центр основания располагался в начале координат. Вращение образующей AB определяет конус. Так как уравнение AB

Видео:ПЕРВООБРАЗНАЯ И ПЛОЩАДЬ ПОД ГРАФИКОМ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Презентация «Первообразная. Интеграл. Площадь криволинейной трапеции» 11 класс

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

Функция F(x)называется первообразной для функции f(x)на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка

Если F(x)– первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то функция F(x)+C также является первообразной функции f(x) на этом промежутке, где C –произвольная постоянная

Правила нахождения первообразных

Если F(x)– первообразная для функции f(x), а G(x)– первообразная для функции g(x), то F(x)+G(x)– первообразная для функции f(x)+g(x)

Первообразная суммы равна сумме первообразных

Если F(x)– первообразная для функции f(x), а а –константа, то аF(x)– первообразная для функции аf(x)

Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной

Если F(x) – первообразная для функции f(x), а k и b— константы, причем

-первообразная для функции

Показать, что функция

является первообразной для функции

Показать, что функция

является первообразной для функции

Найти первообразные для функции