- Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
- Шар, сфера и их части
- Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
- Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы
- Уравнение сферы
- Основные свойства сферы и шара
- Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
- Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
- Что такое шар (сфера): определение, свойства, формулы
- Определение шара и сферы
- Свойства шара и сферы
- Части шара
- Формулы для шара/сферы
- 📹 Видео
Видео:Площадь сферыСкачать
Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
 Шар, сфера и их части |
| Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей |
Видео:11 класс. Геометрия. Сфера и шар. Объем шара и площадь поверхности. 05.05.2020.Скачать
Шар, сфера и их части
Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.
Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).
Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).
Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.
Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).
Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).
Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).
Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.
Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.
Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.
Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .
Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).
Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).
Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.
Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .
По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).
Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).
Видео:Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]Скачать
![Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]](https://i.ytimg.com/vi/JsrRqLK8zKg/0.jpg)
Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.
| Фигура | Рисунок | Формула | Описание |
| Сфера |  | Площадь сферы | |
| Шар | Объем шара | ||
| Сферический пояс |  | Площадь сферического пояса | |
| Шаровой слой | Объем шарового слоя | ||
| Сферический сегмент |  | Площадь сферического сегмента | |
| Шаровой сегмент | Объем шарового сегмента | ||
| Шаровой сектор |  | Объем шарового сектора |
| Сфера |
|
где
r – радиус сферы.
где
r – радиус шара.
Площадь сферического пояса:
Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !
Видео:Объём шара и площадь сферы · Алгебра Геометрия Математика 6 классСкачать
Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы
Формула. Объём шара:
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
S = 4 π R 2 = π D 2
Видео:Геометрия 11 класс (Урок№8 - Сфера и шар.)Скачать
Уравнение сферы
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
( x — x 0) 2 + ( y — y 0) 2 + ( z — z 0) 2 = R 2
Видео:Площадь сферыСкачать
Основные свойства сферы и шара
Видео:Геометрия 11 класс: Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферыСкачать
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m r такого круга можно найти по формуле:
где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Видео:11 класс, 19 урок, Сфера и шарСкачать
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
| V = | h 2 π | (3R — h ) |
| 3 |
S = π R(2 h + √ 2 h R — h 2 )
Формула. Объём сектора V с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
| V = | 2 π R 2 h |
| 3 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:9 класс, 43 урок, Сфера и шарСкачать
Что такое шар (сфера): определение, свойства, формулы
В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства шара и сферы, а также формулы, с помощью которых можно найти площадь поверхности и объем данных геометрических фигур.
Видео:11 класс, 23 урок, Площадь сферыСкачать
Определение шара и сферы
Шар – это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на расстоянии не больше заданного от точки, называемой центром шара (на рисунке ниже – это точка O). Другими словами, это совокупность точек, ограниченных сферой.
Шар образуется путем вращения круга вокруг своего диаметра (оси) на 180° или полукруга – на 360°.
Сфера – это поверхность шара. Образуется путем вращения окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности – на 360°.
Различают два вида шаров:
- замкнутый – включает сферу;
- открытый – исключает сферу.
Радиус шара (сферы) – расстояние между центром и точками, лежащими на его поверхности. На рисунке выше обозначен буквой R.
Диаметр шара (сферы) – отрезок, проходящий через центр шара и соединяющие две противоположные точки на его поверхности. Совпадает с осью шара, обычно обозначается буквой d.
Полюсы шара (сферы) – точки A и B, расположенные на концах его диаметра.
Видео:Сфера. Площадь сферы | Геометрия 11 класс #20 | ИнфоурокСкачать
Свойства шара и сферы
Свойство 1
Любое сечение шара плоскостью является кругом.
Свойство 2
Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
Свойство 3
Все точки сферы равноудалены от ее центра.
Свойство 4
Сфера имеет самый большой объем среди всех фигур в пространстве, имеющих одинаковую площадь поверхности.
Свойство 5
Через две любые диаметрально противоположные точки (максимально отдаленные друг от друга точки на окружности) можно провести неограниченное количество кругов для шара или окружностей для сфер радиусом, равным радиусу шара/сферы.
Примечание: если точки не диаметрально противоположны, то провести можно только один круг (окружность).
Видео:#33. СТЕРЕОМЕТРИЯ НА ЕГЭ — Задача о сфере!Скачать
Части шара
Сегмент шара – это часть шара, отсекаемая плоскостью. Иногда называется шаровым сегментом. На рисунке ниже окрашен в зеленый цвет.
Срез шара – часть шара между двумя параллельными плоскостями, пересекающими его. Также может называться шаровым слоем. На рисунке ниже закрашен желтым.
Сектор шара – состоит из шарового сегмента и конуса, вершина которого находится центре шара, а основание совпадает с основанием сегмента. На рисунке ниже сектор залит оранжевым.
Видео:ШАР и СФЕРА егэ по геометрии 12 задание 11 классСкачать
Формулы для шара/сферы
В формулах ниже используется как радиус (R), так и диаметр фигур (d). Число π в расчетах обычно округляется до двух знаков после запятой и приблизительно равняется 3,14.
📹 Видео
Сфера. Урок 9. Геометрия 11 классСкачать
Шар и Сфера Их Формулы и сеченияСкачать
Шар и сфера. Отличия. Объем шара. Площадь поверхности сферы.Скачать
Сфера и шар | Геометрия 7-9 класс #126 | ИнфоурокСкачать
Сфера и шар. Видеоурок 18. Геометрия 9 класс.Скачать
1710. В.П. Минорский. Площадь сферы.Скачать
Геометрия. 11 класс. Сфера и шар. Площадь поверхности сферы /16.03.2021/Скачать
