нестандартные способы нахождения площадей (4 видео)

Содержание

Нестандартные способы нахождения площадей могоугольников. Формула Пика.
Содержимое разработки
Нестандартные способы нахождения площадей
«Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика»
Скачать:
Предварительный просмотр:
🎥 Видео

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Нестандартные способы нахождения площадей могоугольников. Формула Пика.

При подготовке к экзамену по математике в 9 к лассе есть задачи на нахождение площади многоугольника. Кроме основных способов нахождения площади по формуле, можно использовать формулу Пика. Данная формула позволяет решить задачу быстро, если многоугольник показан на клетчатой бумаге.

Содержимое разработки

Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика.

Подготовила учитель математики высшей категории МОУ Новоульяновская СШ № 2 Пивоварова В.Н.

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Давайте повторим основные формулы нахождения площадей, которые нам пригодятся сегодня на уроке.

Необходимо нажать на формулу маркером от интерактивной доски для проверки.

Методы нахождения площади многоугольника.

Метод непосредственного применения формул.

Метод сложения площадей

Метод вычитания площадей простых фигур из площади прямоугольника, построенного вокруг данной фигуры

Формула Пика

Георг Александр Пик,

Формула была открыта в 1899 г.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника

Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника

Найдите площадь фигуры по формуле Пика.

Найдём площадь фигуры:

Опишем около неё прямоугольник:

Найдите площади фигур удобным, для Вас, способом. Считая стороны квадратных клеток равными 1.

Площади данных фигур очень легко находятся с помощью формулы Пика.

По формуле Пика

Г= 11 (обозначены оранжевым )
В = 5 (обозначены синим )

Видео:Площадь фигурыСкачать

Нестандартные способы нахождения площадей

Введение

Работа посвящена исследованию и сравнению методов измерения площадей фигур произвольной формы.

Актуальность и практическая значимость исследования.

В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. С проблемой вычисления площади фигур я столкнулся при решении различных задач, суть которых сводилась к тому, что требовалось найти площадь различных многоугольников, которых мы не рассматривали на уроках математики. Ведь до 8 класса мы знакомимся только с формулами для вычисления площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника. Так как на уроке мы обычно выполняем решение в тетради, то я обратил внимание, что вычислить площадь того же квадрата помогают клетки, изображенные в тетради. Просматривая различную информацию в интернете, я натолкнулся на формулу, которая позволяет вычислить площадь фигуры, но только не по клеткам, а по их узлам. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников. Впоследствии мне захотелось узнать, есть ли другие способы для вычисления площади различных фигур на клетчатой бумаге, какой из них проще, менее затратен по времени.

Гипотеза: площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Цель работы: исследовать различные способы вычисления площадей фигур, сравнить полученные результаты.

Задачи исследования:

изучить литературу по исследуемой теме;

отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

найти различные методы и приёмы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.

изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания.

измерение с помощью методов взвешивания площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения

провести сравнительный анализ «плюсов» и «минусов» найденных способов.

провести эксперимент в 8В классе об выявлении математических знаний у учащихся при вычислении площади фигур;

Поиск интересных задач на нахождение площади фигуры.

проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

1) метод взвешивания;

2) использование клетчатой бумаги;

3) применение точных формул.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

Из истории возникновения понятия «Площадь».

В повседневной жизни мы часто встречаемся с понятием площади. Мы говорим: площадь квартиры, площадь садового участка и т.д.

Необходимость в понятии «площадь» возникла из жизненных потребностей. В древности люди использовали для измерения длин те измерительные приборы, которые всегда были при себе.

Позже возникла потребность в измерении и сравнении разнообразных «фигур» (н.п. земельных участков). Было необходимо ввести величину, которая характеризовала бы величину той части плоскости, которую занимает фигура. Эту величину назвали площадью.

Измерение площадей является одним из самых древних разделов геометрии. В частности, название “геометрия” означает “землемерие”, т.е. связано именно с измерением площадей. Основы этой науки были заложены в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, т. е. вычислять их площади.

Вавилоняне, так же как и египтяне измеряли большей частью простейшие фигуры, встречающиеся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин и каналов и т.п.

Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на прямоугольники, трапеции и треугольники, а также планов различных строений, свидетельствующих, что вавилонский землемер или архитектор должен был хорошо чертить и проводить геометрические расчеты.

Многие ученые решали проблему вычисления площади фигуры. В историю с понятием площади вошли имена Евклида, Архимеда, Пифагора, Герона Александрийского, Рене Декарта, Пьера Ферма, Георга Пика и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.

Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге.

При изучении вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге я заметил, что все задачи строятся на понятии узла. Узел напоминает узел в рыболовной сетке — пересечение горизонтальных и вертикальных линий. Все задачи достаточно разнообразны и занимательны, они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.

Рис.1. фотография рыбацкой сетки

Рассмотрим вычисление площади одной и той же фигуры тремя способами и сравним результат вычисления. [1, с.36]

Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника.

Разбиение. Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Тогда площадь фигуры можно сосчитать по формуле:

Дополнение до прямоугольника. Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Получим, что площадь фигуры равна:

Формула Пика. Любая фигура изображенная на листе бумаги делит его на внутреннюю область и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника. Нас интересуют внутренние узлы и узлы, которые лежат на границе многоугольника. Тогда формула выглядит так S = В + Г/2 — 1, где В — количество внутренних узлов, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Эта формула получила название формула Пика в честь австрийского математика Георга Пика которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге.

Используя рисунок В= 17, Г = 14, получаем

S = 17 + 14/2 — 1 = 23.

Вычисляя площадь выпуклого многоугольника тремя способами, я получил один и тот же результат.

Три способа вычисления площади невыпуклого многоугольника.

Способ разбиенияне подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить ее на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Дополнение до прямоугольника.

Достраивая многоугольник до прямоугольника, и отсекая лишние части, найдем площадь фигуры

При подсчете внутренних узлов многоугольника и узлов, лежащих на границе получим, что

В = 5; Г = 4; S = 5 + 4/2 — 1 = 6.

И опять я получил один и тот же результат.

Вычисление площади кольца по формуле Пика.

А если взять не многоугольник, а, например, кольцо и перенести его на клетчатую бумагу? Понятно, что первый и второй способы не удастся использовать. Применим формулу Пика и сравним полученный результат с результатом, полученным используя формулу для вычисления площади круга.

Возьмем кольцо, которое построим с помощью двух окружностей с радиусами R=4 и r = 2.

Вычислим площадь кольца с помощью формулы Пика:

В = 32, Г = 8, S= 32 + 4 — 1 = 35.

Вычислим площадь кольца по формуле площади круга, округлив число π до единиц.

S = πR 2 — πr 2 = 3* 16 — 3*4 = 48 — 12 = 36.

Округлим теперь π до десятых:

S = πR 2 — πr 2 = 3,1* 16 — 3,1*4 = 49,6 — 12,4 = 37,2.

А если округлить число π до сотых, то получим:

S = πR 2 — πr 2 = 3,14* 16 — 3,14*4 = 50, 24 — 12,56 = 37,68.

Сравнив результаты можно сделать вывод, что существует погрешность в вычислении площади по формуле Пика и чем точнее число π, тем она больше. Следовательно, данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников. [2, с.17], [4]

Метод взвешивания

Метод измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S₀ точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m₀. На такую же бумагу перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции – S/S₀ = m/m₀, вычислить искомую площадь. [3, с.65]

Вычисление площади клинового листа

Для решения задачи была взят фотография кленового листа (рис. 2).

Рисунок 2. Фотография листа клена

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была разбита (разрезана) на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники. (Рисунок 3).

Рисунок 3. Разбиение листа клена на прямоугольники и прямоугольные треугольники

После чего произведен расчет площади каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Тогда общая площадь листа будет равна:

см 2

2. Дополнение до прямоугольника.

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была дополнена до прямоугольника. (Рисунок 4).

Рисунок 4. Дополнение листа клена на прямоугольника

После чего произведен расчет площади общего прямоугольника и каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в см 2

Общий прямоугольник имеет размеры 18,2 см на 15 см, т. Е. его площадь прямоугольника составляет S=18,2∙15=273 см 2

см 2

Окантовка листа была перенесена на миллиметровую бумагу. (Рисунок 5).

Рисунок 5. Разбиение листа клена на узлы

В (внутренние точки) =13353 шт.

Г (граничные точки) = 725 шт.

Тогда по формуле S = В + Г/2 – 1

S=13353+362,5-1=13714,5мм 2 =137,145 см 2

4. Метод взвешивания

Для проведения взвешивания взяли лист бумаги SvetoCopy. По ее плотности определили вес бумаги при помощи таблицы и путем взвешивания. Результаты сошлись. Вес одного листа бумаги А4 =5г. Размеры листа А4 равны 210х297мм, т.е. площадь одного листа равна S₀ = 623,7 см 2

Рис. 6. Фотография оборотной стороны упаковки бумаги SvetoCopy

Рис. 7. Таблицы дляболее точного измерения массы листа по его плотности.

Для определения погрешности вычислений вырезали в качестве эталонов несколько геометрических фигур (прямоугольник (эталон 1) и квадрат (эталон 2)), площадь которых можно сравнить вычислив ее по формуле.

Прямоугольник имеет размеры: 7см на 5 см, а квадрат: 5см на 5см.

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

«Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика»

Проектная работа ученицы 9 класса.

Видео:Площади фигур. Решение задач на нахождение площади нестандартных фигур.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
salihova_proekt.docx	379.32 КБ

Видео:Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?Скачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №210»

Тема : «Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика»

Автор: Салихова Екатерина Алексеевна

Учащаяся 9 «В» класса

Консультант проекта: Неупокоева Галина Геннадьевна

1. Теоретическая часть

1.1. Стандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур…4

1.2. Нестандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур5

Биография Георга Александра Пика………………………………………………..6

Доказательство формулы Пика……………………………………………………. 8

Применение формулы Пика в реальной жизни…………………………………….9

Список используемых сайтов и литературы………………………………………11

Название: «Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика.»
Автор работы: Салихова Екатерина Алексеевна
Класс: 9 «В»
Учебное заведение: МБОУ СОШ № 210
Предметная область: математика.
Время разработки проекта: с 18.12.2018 г. по 02.02.2019г.
Актуальность : Задачи на нахождение площадей часто встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Цель проекта: Изучить нестандартные способы нахождения площадей геометрических фигур, изучить и проверить на практике формулу Пика.
Задачи проекта:

1) Обобщить знания по нахождению площадей геометрических фигур;

2) Узнать и изучить раннее неизвестные способы нахождения площадей;

3) Научиться применять новые знания на практике;

4) Узнать возможно ли применение формулы Пика для вычисления площадей объектов из жизни.

10. Тип проекта: исследовательский.

11. Форма продукта: проект

12. Исследование: исследовать возможность применение нестандартных способов нахождения площадей многоугольников в реальной жизни.

1. Теоретическая часть

1.1. Стандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур

Площадь прямоугольника, формула.

Площадь квадрата, формула.

Площадь треугольника, формула.

Площадь трапеции, формула.

Площадь параллелограмма, формула.

Площадь ромба, формула.

Площадь правильного многоугольника, формула.

Площадь круга, формула.

2. Теоретическая часть

1.2. Нестандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур

Если разбить фигуру на несколько фигур, то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. (см. приложение 1, фотография №1)

Площадь многоугольника можно найти, вписав его в прямоугольник, и вычитая площади соответственно лишних частей. (см. приложение 1, фотография №2)

Георг Александр Пик (1859–1942)

Родился Георг Пик в еврейской семье. Мать его — Йозефа Шляйзингер (Josefa Schleisinger), отец — Адольф Йозеф Пик (Adolf Josef Pick) — возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), затем он пошел в четвертый класс гимназии (Leopoldstaedter Communal Gymnasium). В 1875 г. он сдал выпускные экзамены и мог поступать в университет.

Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Уже в следующем году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, окончил в 1879 году универститет, получив возможность преподавать оба эти предмета. Пик защитил докторскую диссертацию “О классе абелевых интегралов” (Über Eine Klasse abelscher Integrale).

После получения докторской степени Пик был назначен помощником Эрнста Маха в пражском университете Карла-Фердинанда. Мах переехал из Граца, где он был профессором математики, в Прагу в 1867 году, чтобы занять там кафедру физики. Он, как и Пик, учился в университете в Вене и, к тому времени как Пик стал его помощником, считался одним из ведущих европейских ученых. Пик теперь хотел читать лекции в Праге, и для того чтобы получить на это право, он должен был написать специальную работу (habilitation thesis). Он это сделал достаточно быстро, написав Über die Integration hyperelliptischer Differentiale durch Logarithmen, после чего в 1881 году получил право читать лекции в Праге.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника.

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Доказана Георгом Пиком в 1899 году.

Доказательство формулы Пика

Для начала рассмотрим, как можно вычислить площадь треугольника, применив теорему Пика.

Пусть АВСD – треугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки. Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри треугольника, а через Г – количество узлов на его границе. (см. приложение 1, фотография №3)

По формуле Пика найдем площадь.

Проверим решение через стандартную формулу нахождения треугольника S=1/2ah (см. приложение 2, фотография №4)

Применение формулы Пика в реальной жизни

Использовать формулу Пика в реальной жизни резоннее для нахождения примерной площади объектов, чью площадь нельзя измерить при помощи стандартных измерительных приборов (линейки, рулетки). Формулой Пика удобно находить примерную площадь парков, больших площадок, городов, областей.

Рассмотрим применение данной формулы на примере нахождения площади Новосибирской области.

На карту Новосибирской области я наложила сетку, где площадь одной клетки на настоящий масштаб примерно равна 465,6 км^2 (см. приложение 2, фотография №5). Количество узлов на границе карты области 53. Количество узлов, лежащих внутри карты области 353. Далее подставляем числа в формулу:

Полученный результат надо умножить на примерную площадь одной клетки сетки, тогда мы получаем следующий результат:

378,5 * 465,6 = 176 229,6 км^2

Сравним полученный результат с настоящими данными. Площадь Новосибирской области по данным из интернета равна 178 200 км².

Вывод: работая над проектом, я изучила нестандартные способы нахождения площадей геометрических фигур и проверила на практике формулу Пика. Также я обобщила знания по нахождению площадей геометрических фигур, узнала и изучила раннее неизвестные способы нахождения площадей, научилась применять новые знания на практике и узнала, что применение формулы Пика для нахождения объектов из жизни возможно.