Планиметрические задачи
Задача 1.Написать уравнения касательной и нормали к графику функциив данной точке, если:
Решение. Уравнение касательной будем искать по формуле ; уравнение нормали — по формуле По условию, .
Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:
Теперь находим уравнение нормали:
Ответ: уравнение касательной:; уравнение нормали:
Задача 2.Написать уравнения касательной и нормали в точке
Подставим полученные решения в равенство
Найдем производную функции, заданной параметрически .
Подставляем все найденные значение в уравнение касательной:
Теперь находим уравнение нормали:
Ответ: уравнение касательной: уравнение нормали: .
Задача 3. Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:
Решение. Угол между кривыми находится по формуле
Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:
Таким образом, кривые пересекаются в точках .
Далее найдем значения производных заданных функций в точках пересечения.
производный дифференцирование уравнение планиметрический
Подставляем найденные значение в формулу нахождения угла:
Ответ: в точке угол равен 0 (т.е. касательные совпадают), в точке угол равен .
Задача 4. Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей [7]?
Обозначим одну из сторон за, тогда вторая сторона:
Площадь такого прямоугольника составит:
Требуется найти максимум функции .
Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз.
Определим критические точки: .
Так, — точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа — отрицательна.
Очевидно, что — точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.
Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.
Задача 5. Площадь прямоугольника составляет . Каковы должны быть его размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?[7]
Пусть стороны прямоугольника равны . Тогда:
Периметр такого прямоугольника составит:
Требуется найти минимум данной функции. Найдём производную:
Найдем точки экстремума:
Очевидно, что , поэтому нас интересует точка .Слева от нее производная отрицательна, а справа — положительна.
Так, — точка минимума.
Ответ: чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны составить 4 см.
Задача 6. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах заданного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. Найти условия, при которых площадь параллелограмма является наибольшей [2].
Пусть треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними (рис.4). Построим параллелограмм в соответствии с условиями задачи. Обозначим стороны параллелограмма Площадь параллелограмма определяется формулой
Выразим через и стороны треугольника . Из подобия треугольников и следует, что
В результате площадь записывается как функция:
Отсюда видно, что экстремум функциисуществует в следующей точке:
При переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус, то есть эта точка является точкой максимума. Другая сторона параллелограмма при этом равна
Итак, вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами имеет наибольшую площадь при условии
где стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла между сторонами треугольника.
Ответ: площадь параллелограмма является наибольшей при условии
где стороны треугольника.
Задача 7.Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти треугольник с наибольшим периметром [2].
Пусть треугольник вписан в окружность данного радиуса ,
(независимая переменная) (рис.5). Выразим периметр треугольника как функцию . По теореме синусов:
. Найдем, при каком значении функция принимает наибольшее значение на данном интервале
следовательно, точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке. Таким образом, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.
Ответ: среди всех равнобедренных треугольник, вписанных в данную окружность, с наибольшим периметром является равносторонний треугольник.
Задача 8.Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом.
Периметр окна равен . Определить радиус полукруга , при котором площадь окна является наибольшей (рис.6) [2].
Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна . Другую сторону обозначим через . Периметр всего окна выражается формулой
Площадь окна составляет:
Полученное выражение представляет собой функцию . Исследуем ее на экстремум. Находим производную:
Определяем стационарные точки:
Поскольку вторая производная отрицательна:
то найденная точка является точкой максимума, т.е. при этом значении площадь окна будет наибольшей.
Само максимальное значение площади составляет
Ответ: радиус полукруга , при котором площадь является наибольшей.
Найти наибольшее значение площади
Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n 
Так как a и n ― целые числа, то число 200 000 кратно числу 
Заметим, что 
так как 
Следовательно, требуется найти все делители числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как 
то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5.
Возможны три случая:
1) Число 
не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100.
2) Число делится на 5, но не делится на 25. Из чисел вида 
в искомый промежуток попадает только число 
В этом случае 
а площадь равна 937 500.
3) Число делится на 25. В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа 200 000. Если же 100 + n = 125, то a = 1600, а площадь равна 640 000.
Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.
В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 2. Найдите наибольшее значение площади боковой поверхности призмы (Через производную)
Пусть сторона основания равна х. Периметр основания равен Р = 3х.
Высота Н призмы равна: H = √(2² — ²) = √(4 — x²).
Выражаем площадь боковой поверхности через х.
Sбок = РН = 3x√(4 — x²).
Производная этой функции равна: S’бок = (-6(x^2 — 2))/√(4 — x²).
Приравняем её нулю (достаточно числитель): (-6(x^2 — 2) = 0.
Отсюда х = √2 (отрицательное значение не принимаем).