вычисление площади плоской фигуры конспект

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (569 кБ)

Тип урока: комбинированный.

Цель урока:

• закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;
• познакомиться с понятием плоской фигуры;
• научиться вычислять площадь плоских фигур;
• способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при построении чертежей;
• воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала.
5. Подведение итога урока.
6. Постановка домашнего задания.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие класса. Сообщение учащимся целей урока.

II. Повторение ранее изученного материала

• На прошлом уроке мы познакомились с понятием криволинейной трапеции и научились вычислять площадь этой фигуры. Давайте вспомним, какая фигура называется криволинейной трапецией?
• Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью ОХ, прямыми x = a, x = b (a 2 – 4x + 2.

Решение:

Построим прямую y = x – 2 по точкам, например (2; 0) и (0; -2).

Для построения параболы найдем координаты вершины по формулам ; y_в = y(x_в). Имеем:

;.

Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2). Возьмем пару дополнительных точек, например (0; 2), (4; 2) и построим график данной квадратичной функции.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы, для чего решим уравнение

Находим последовательно: х 2 – 5х + 4 = 0;

Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями y = x 2 – 4x + 2 (снизу) и y = x – 2 (сверху). С боков эта фигура ограничена прямыми х = 1 и х = 4.

Для вычисления площади фигуры можно применить изученную сегодня формулу. Тогда площадь данной фигуры:

IV. Закрепление изученного материала

Задания решаются самостоятельно с проверкой у доски.

Задание 1: Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми:

а) y = x, y = -0,5x + 5, x = -1, x = 3;
б) y = 1 – x, y = 3 – 2x, x = 0.

Задание 2: Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

а) y = 1 – x 2 , y = -x – 1;
б) y = x 2 – 3x + 2, y = x – 1;
в) y = x 2 + 2x-3, y = -x 2 + 2x +5;
г) y = cos x, y = -x, x = 0, x = ;
д) y = sin 2x, y = x — , x = 0.

V. Подведение итога урока

Что сегодня изучили на уроке?

Чем отличается плоская фигура от криволинейной трапеции?

Как вычисляется площадь плоской фигуры?

Сформулируйте основные шаги вычисления площади криволинейной трапеции и плоской фигуры.

VI. Постановка домашнего задания

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y = x 3 , y = 8, y = 1;
б) y = 4x – x 2 , y = 4 – x;
в) y = x 2 – 2x + 2, y = 2+ 6x – x 2 ;
г) y = sin x, y = , .

Спасибо за урок! До свидания.

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь плоских фигур определяется через определённый интеграл от неотрицательной функции и равна площади криволинейной трапеции. В этом также заключается и геометрический смысл определённого интеграла.

Криволинейной трапецией называется фигура, которая ограничена графиком непрерывной функции f(x)≥0, прямыми x=a, y=b и осью OX.

I. Площадь криволинейной трапеции на оси OX вычисляется по формуле:

II. Если функция f(x) , то криволинейная трапеция находится ниже оси OX и тогда её площадь определяется по формуле:

III. Если функция f₂(x)≥f₁(x), f₂(x)-f₁(x)≥0 то площадь фигуры находится по формуле:

Читается так: из верхней функции вычитаем нижнюю.

IV. Площадь криволинейной трапеции на оси OY определяется по формуле:

V. Если криволинейная трапеция расположена левее оси OY, то её площадь находится по формуле:

VI. Если функция φ₂(x)≥φ₁(x), φ₂(x)-φ₁(x)≥0, то площадь криволинейной трапеции ограниченна графиками x=φ₁(x), x=φ₂(x) и прямыми y=d, y=c и определяется по формуле:

Если плоская фигура не относится к криволинейной трапеции вышеперечисленных видов, то её разбивают прямыми на криволинейные трапеции, которые параллельны оси OX или OY. Затем используют приведённые формулы выше.

Найти площадь S фигуры, ограниченной функцией f(x)=e x и линиями x =0 и x=e

Построим график функции f(x)=e x

Найти площадь S фигуры, ограниченной линиями y=x 2 и y=3x

Пределами интегрирования являются точки абсциссы пересечения этих функций.

Графически можно представить следующем образом.

Найдем их через решения системы уравнений.

Решая систему находим корни x₁=0 и x₂=3

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 10

Урок на тему: «Вычисление площадей плоских фигур»

Контрольная работа для 11 класса. Вычисление площадей плоских фигур

Просмотр содержимого документа
«Урок на тему: «Вычисление площадей плоских фигур»»

Алгебра и начала математического анализа

Котова Т.А., учитель математики I категории

«Вычисление площадей плоских фигур

с помощью определенного интеграла»

формирование навыков и умений, обучающихся при вычислении площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла, совершенствование графической культуры;

развитие познавательного интереса и уважения к математике, логического мышления, внимания и самостоятельности, культуры речи;

воспитание взаимовыручки, настойчивости и упорства в достижении целей.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: планшеты с изображениями плоских фигур,

карточки для выполнения индивидуальных заданий.

I. Организационный момент

II. АРТ-подготовка. Актуализация опорных знаний.

по теории (Приложение 1)

по таблице первообразных (Приложение 2)

Вычисление простейших интегралов (Приложение 3)

III. Решение упражнений. Вычисление площадей плоских фигур.

Алгоритм нахождения площади плоской фигуры (отображаем на доске):

Найти пределы интегрирования ( если границы не указаны, то находим их, решая уравнения f(x)=0 или f(x)=g(x)).

Строим чертеж (можно схематически).

Составляем формулу для вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

Вычисляем площадь фигуры.

Задачи по готовым рисункам

Вычислите (сначала выполнив рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х; у=-0,5х+5; х=-1; х=3

Самостоятельная работа (Приложение 4)

Задание из учебника

№ 1018(2) учебник Ш.А.Алимов и др. «Алгебра и начала математического анализа»

Задания № 21. Запишите развёрнутую запись решения с обоснованием

21.8. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=4- , y=0 ,

(итог урока подводят обучающиеся, возможна помощь учителя в качестве наводящих вопросов)

Домашнее задание: № 1015 (2), № 1017 (1).

Функция – это (зависимость одной переменной величины от другой)

Что называется областью определения функции? (все значения, которые принимает «х»)

Как называется функция F(x) для функции f(x)? (первообразная)

Дайте определение первообразной (Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.)

Определение неопределенного интеграла. (Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции)

Что называют дифференцированием? (нахождение производной)

Что называют интегрирование? (нахождение первообразной)

Какие свойства интегралов вам известны?

Как найти абсциссы точек пересечения графиков? (приравнять)

Криволинейная трапеция – это… (Плоская фигура Ф, ограниченная графиком функции f (x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b)

В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? (площадь криволинейной трапеции)

Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов;

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;

При перестановке пределов интегрирования, знак интеграла сохраняется.