как вычислить площадь под кривой

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой

Когда мы выясняли геометрический смысл определенного интеграла, у нас получилась формула, с помощью которой можно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a , x = b , а также непрерывной (неотрицательной или неположительной) функцией y = f ( x ) . Иногда удобнее задавать функцию, ограничивающую фигуру, в параметрическом виде, т.е. выражать функциональную зависимость через параметр t . В рамках данного материала мы покажем, как можно найти площадь фигуры, если она ограничена параметрически заданной кривой.

После объяснения теории и выведения формулы мы разберем несколько характерных примеров на нахождение площади таких фигур.

Видео:Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать

Основная формула для вычисления

Допустим, что у нас имеется криволинейная трапеция, границами которой являются прямые x = a , x = b , ось O x и параметрически заданная кривая x = φ ( t ) y = ψ ( t ) , а функции x = φ ( t ) и y = ψ ( t ) являются непрерывными на интервале α ; β , α β , x = φ ( t ) будет непрерывно возрастать на нем и φ ( α ) = a , φ ( β ) = b .

Чтобы вычислить площадь трапеции при таких условиях, нужно использовать формулу S ( G ) = ∫ α β ψ ( t ) · φ ‘ ( t ) d t .

Мы вывели ее из формулы площади криволинейной трапеции S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x методом подстановки x = φ ( t ) y = ψ ( t ) :

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β ψ ( t ) d ( φ ( t ) ) = ∫ α β ψ ( t ) · φ ‘ ( t ) d t

Учитывая монотонное убывание функции x = φ ( t ) на интервале β ; α , β α , нужная формула принимает вид S ( G ) = — ∫ β α ψ ( t ) · φ ‘ ( t ) d t .

Если функция x = φ ( t ) не относится к основным элементарным, то нам понадобится вспомнить основные правила возрастания и убывания функции на интервале, чтобы определить, будет ли она возрастающей или убывающей.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Решение задач на вычисление площади фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой

В этом пункте мы разберем несколько задач на применение формулы, выведенной выше.

Условие: найдите площадь фигуры, которую образует линия, заданная уравнениями вида x = 2 cos t y = 3 sin t .

Решение

У нас есть параметрически заданная линия. Графически ее можно отобразить в виде эллипса с двумя полуосями 2 и 3 . См на иллюстрацию:

Попробуем найти площадь 1 4 полученной фигуры, которая занимает первый квадрант. Область находится в интервале x ∈ a ; b = 0 ; 2 . Далее умножим полученное значение на 4 и найдем площадь целой фигуры.

Вот ход наших вычислений:

x = φ ( t ) = 2 cos t y = ψ ( t ) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

При k , равном 0 , мы получим интервал β ; α = 0 ; π 2 . Функция x = φ ( t ) = 2 cos t на нем будет монотонно убывать (подробнее см. статью об основных элементарных функциях и их свойствах). Значит, можно применить формулу вычисления площади и найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

— ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t ‘ d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 ( 1 — cos ( 2 t ) d t = = 3 · t — sin ( 2 t ) 2 0 π 2 = 3 · π 2 — sin 2 · π 2 2 — 0 — sin 2 · 0 2 = 3 π 2

Значит, площадь фигуры, заданной исходной кривой, будет равна S ( G ) = 4 · 3 π 2 = 6 π .

Ответ: S ( G ) = 6 π

Уточним, что при решении задачи выше можно было взять не только четверть эллипса, но и его половину – верхнюю или нижнюю. Одна половина будет расположена на интервале x ∈ a ; b = — 2 ; 2 . В этом случае у нас бы получилось:

φ ( α ) = a ⇔ 2 cos α = — 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ ( β ) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Таким образом, при k равном 0 , мы получили β ; α = 0 ; π . Функция x = φ ( t ) = 2 cos t на этом интервале будет монотонно убывать.

После этого вычисляем площадь половины эллипса:

— ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t ‘ d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π ( 1 — cos ( 2 t ) d t = = 3 · t — sin ( 2 t ) 2 0 π = 3 · π — sin 2 · π 2 — 0 — sin 2 · 0 2 = 3 π

Важно отметить, что можно взять только верхнюю или нижнюю часть, а правую или левую нельзя.

Можно составить параметрическое уравнение данного эллипса, центр которого будет расположен в начале координат. Оно будет иметь вид x = a · cos t y = b · sin t . Действуя так же, как и в примере выше, получим формулу для вычисления площади эллипса S э л и п с а = πab .

Задать окружность, центр которой расположен в начале координат, можно с помощью уравнения x = R · cos t y = R · sin t , где t является параметром, а R – радиусом данной окружности. Если мы сразу воспользуемся формулой площади эллипса, то то у нас получится формула, с помощью которой можно вычислить площадь круга с радиусом R : S к р у г а = πR 2 .

Разберем еще одну задачу.

Условие: найдите, чему будет равна площадь фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .

Решение

Сразу уточним, что данная кривая имеет вид вытянутой астроиды. Обычно астроида выражается с помощью уравнения вида x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Теперь разберем подробно, как построить такую кривую. Выполним построение по отдельным точкам. Это самый распространенный метод, который применим для большинства задач. Более сложные примеры требуют проведения дифференциального исчисления, чтобы выявить параметрически заданную функцию.

У нас x = φ ( t ) = 3 cos 3 t , y = ψ ( t ) = 2 sin 3 t .

Данные функции являются определенными для всех действительных значений t . Для sin и cos известно, что они являются периодическими и их период составляет 2 пи. Вычислив значения функций x = φ ( t ) = 3 cos 3 t , y = ψ ( t ) = 2 sin 3 t для некоторых t = t 0 ∈ 0 ; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , получим точки x 0 ; y 0 = ( φ ( t 0 ) ; ψ ( t 0 ) ) .

Составим таблицу итоговых значений:

После этого отметим нужные точки на плоскости и соединим их одной линией.

Теперь нам надо найти площадь той части фигуры, что находится в первой координатной четверти. Для нее x ∈ a ; b = 0 ; 3 :

φ ( α ) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ ( β ) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Если k равен 0 , то у нас получится интервал β ; α = 0 ; π 2 , и функция x = φ ( t ) = 3 cos 3 t на нем будет монотонно убывать. Теперь берем формулу площади и считаем:

— ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t ‘ d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · ( 1 — sin 2 t ) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t — ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

У нас получились определенные интегралы, которые можно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Первообразные для этой формулы можно найти, используя рекуррентную формулу J n ( x ) = — cos x · sin n — 1 ( x ) n + n — 1 n J n — 2 ( x ) , где J n ( x ) = ∫ sin n x d x .

∫ sin 4 t d t = — cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = — cos t · sin 3 t 4 + 3 4 — cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = — cos t · sin 3 t 4 — 3 cos t · sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = — cos t · sin 3 t 4 — 3 cos t · sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = — cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = — cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 · 3 π 16 = 15 π 96

Мы вычислили площадь четверти фигуры. Она равна 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t — ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 — 15 π 96 = 9 π 16 .

Если мы умножим это значение на 4 , получим площадь всей фигуры – 9 π 4 .

Точно таким же образом мы можем доказать, что площадь астроиды, заданной уравнениями x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t , можно найти по формуле S а с т р о и д ы = 3 πa 2 8 , а площадь фигуры, которая ограничена линией x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , считается по формуле S = 3 πab 8 .

Видео:Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.Скачать

1.8. Как вычислить площадь с помощью определённого интеграла?

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая определяет ось , прямые параллельны оси и парабола симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке график функции расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ: – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке над осью расположен график прямой ;
2) на отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
– нижний предел интегрирования, – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Видео:Площадь фигурыСкачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Калькулятор онлайн.
Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Для данной задачи возможно получить подробное решение.
Узнайте как это сделать.

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Немного теории.

Видео:Астроида: найдем площадь и длину через определенный интегралСкачать

Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a ( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_)Delta x_ )
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х₀, b = x_n;
( Delta x_0 ) — длина отрезка [x₀; x₁],
( Delta x_1 ) — длина отрезка [x₁; x₂], и т.д;
при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_ )

Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S_n):
$$ S = lim_ S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [t_k; t_k+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t_k. Итак, мы считаем, что v = v(t_k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [t_k; t_k+1], это приближенное значение обозначим s_k
( s_k = v(t_k) Delta t_k )
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
( s approx S_n ) где
( S_n = s_0 + dots + s_ = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_) Delta t_ )
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S_n):
$$ s = lim_ S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Видео:Определённый интеграл. ПлощадьСкачать

Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_)Delta x_ $$
3) вычисляем $$ lim_ S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
( intlimits_a^b f(x) dx )
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
( S = intlimits_a^b f(x) dx )
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

Видео:Площади 12Скачать

Формула Ньютона — Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) — s(a). В итоге получаем:
( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
где s(t) — первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )
где F(x) — первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) — F(a) используют запись ( left. F(x)right|_a^b ) (ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)right|_a^b )

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 5.Скачать

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
( S = S_ = S_ — S_ = intlimits_a^b f(x) dx — intlimits_a^b g(x) dx = )
( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ), вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

📺 Видео

Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Построение графиков: нахождение площади под кривойСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Геометрический смысл определенного интеграла (2)Скачать

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать

Вычислить площадь петли кривойСкачать