В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.
Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.
Формула площади правильной пирамиды
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.
Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.
Площадь треугольника вычисляется по формулам:
1. Через длину основания (a) и высоту (h):
2. Через основание (a) и боковую сторону (b):
Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.
2. Площадь правильной треугольной пирамиды
Основание: равносторонний треугольник.
Как найти площадь поверхности пирамиды
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.
Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.
Площадь пирамиды — определение, свойства и формулы
Описание фигуры
С древнегреческого языка пирамида переводится, как многогранник с несколькими гранями — боковыми и основанием. Первые имеют вид треугольников с одной вершиной. С учётом количества углов фигура делится на треугольную (тетраэдр), четырёхугольную, пятиугольную, шестиугольную, n-угольную. Элементы многогранника:
- Апофема или высота. Проводится из вершины боковой грани (БГ).
- БГ. Формируют треугольники с одной вершиной.
- Боковые рёбра (БР). Являются общими сторонами БГ.
- Вершина или точка. Соединяет БР, не принадлежит плоскости, в которой находится основание.
- Высота или часть перпендикуляра. Элемент проведён через вершину к основанию. Чтобы найти высоту, измеряется отрезок между вершинами и нижней стороной фигуры.
- Диагональное сечение. Пересекает диагональ и вершину нижней части фигуры.
- Основание либо многоугольник. На данной поверхности не лежат вершины.
Развертка — плоская фигура, образованная путём совмещения поверхности тела с плоскостью. Грани и другие элементы не накладываются друг на друга. Развёртка поверхности похожа на гибкую плёнку. По факту, это пятиугольная пирамида с равными сторонами и углами. В плоскости она напоминает звезду.
Свойства и теоремы
Для фигуры характерны некоторые свойства. БР одинаковы, если нижняя сторона вписывается в сферу либо окружность так, что вершина приходится на центр. Другие особенности фигуры:
- Боковые рёбра и плоскость нижней стороны формируют равные углы.
- Если БР образуют с плоскостью одинаковые углы либо вблизи основания описывается окружность с вершиной в её центре, тогда все БР одинаковые.
- Если грани наклонены к плоскости основания под определённым углом, тогда площадь боковой поверхности (БП) пирамиды равна ½ произведения периметра нижней стороны на высоту грани.
При решении задач на сайтах онлайн либо из учебников по геометрии используются теоремы, которые связывают пирамиду с иными телами.
Для расчета нужной величины применяется калькулятор, подходящая формула, свойства многогранников. Учёные доказали, что вокруг пирамиды можно описать сферу, если в основании находится многоугольник с окружностью.
Центр сферы — точка, в которой пересекаются плоскости, проходящие через центральную часть ребер. Из теоремы вытекает, что около прямоугольной, квадратной и правильной пирамиды возможно описать сферу. В фигуру вписывается сфера, если биссекторные плоскости двугранных внутренних углов пересекаются в единой точке. Согласно другой теореме, конус вписан в пирамиду, если их вершины совпадают. Основание фигур и апофемы совпадают. Конус описывается вокруг пирамиды, если БР последней фигуры одинаковые.
Цилиндр находится внутри многоугольника, если любое его основание совмещено с окружностью. Цилиндр описан около пирамиды, если вершина последней фигуры находится на одном из его оснований. Другая его нижняя часть описана внизу пирамиды. Подобное действие возможно, если в основании пирамиды вписан многоугольник.
Для правильной пирамиды (нижняя сторона представлена в виде правильного многоугольника с вершиной в центре) характерны некоторые свойства: равенство БР, гранями являются равнобедренные конгруэнтные (равные) треугольники, внутрь и вокруг легко описывается и вписывается сфера. В последнем случае, когда центры сфер совпадают, сумма плоских углов равняется числу пи, а каждый — π/n, где n — количество сторон фигуры в основании.
Пирамида считается прямоугольной, если одно БР перпендикулярно нижней стороне. В таком случае ребро является высотой. В тетраэдре либо треугольной пирамиде любая грань принимается в качестве основания.
Практические задания
На ЕГЭ выпускники решают задачи с объёмом и площадью куба, правильного многоугольника. Фигуры размещены на плоскости либо в системе координат. Основные формулы, которые применяются для вычисления показателей:
- Площадь (S) пирамиды с четырьмя углами и сторонами. Для её расчета потребуется суммировать площади нижних сторон (квадрат и 4 треугольника).
- Общая S: S основания+S боковой поверхности.
- Площадь боковой поверхности пирамиды: S бок. пов.=½Pосн.d.
- Площадь полной поверхности пирамиды. Для её вычисления понадобится суммировать площади БП и основания.
- Площадь усеченной пирамиды: S1+S2+Sбок, где первые два показателя характерны для оснований, в последний для боковой поверхности.
- Объём пирамиды: V=1/3Sосн.H.
Задача 1. Дан четырёхугольный многогранник с равными сторонами в 72 и боковыми ребрами — по 164. Нужно найти площадь четырехугольной пирамиды.
Решение: Так как S=Sбок+Sосн, подставив данные в формулу, получается 4S+a ². Так как Sбок состоит из 4-х одинаковых по площади треугольников, а основание представлено в виде квадрата, поэтому для нахождения площади Sбок используется формула Герона: S=√p (p-a)(p-b)(p-c).
Для вычисления полупериметра потребуется (a+b+c)/2. В формулу поставляются данные. Выходит, что P=(72+164+164)/2=200. Тогда S=√200 (200−72)(200−164)(200−164)=√200х128х36х36=√100х256х36х36=10х16х6х6х=5760. Подставив данные в формулу, находится площадь: S=4х5760+72х72=28224.
Задача 2. Стороны нижней части в шестиугольном многоугольнике равняются 22, а ребра — 61. Нужно найти Sбок. пов.
Решение: Основание фигуры представлено в форме шестиугольника с одинаковыми сторонами. Его площадь соответствует площади шести треугольников. Их стороны равны 61, 61 и 22. Величина вычисляется по формуле S=6S. Чтобы найти S, применяется формула Герона: S=√p (p-a)(p-b)(p-c). Полупериметр равен (a+b+c)/2.
Р=(61+61+22)/2=72. S=√72 (72−61)(72−61)(72−22)=√72х9х9х50=√36х2х9х9х2х25=540.
Данные, подставив в Sбок. пов., приведут к результату 3240. В задаче 1 и 2 можно вычислить площадь через апофему.
Задача 3. Необходимо определить S пов. прав. четырёхугольной пирамиды, когда стороны основания равняются 6, а высота — 4.
Решение: Для определения S вычисляются площади БП и основания. Используется формула Sбок +S осн=4S+ a ². S осн равняется 36, так как оно представлено в виде квадрата со сторонами в 6. БП состоит из 4-х граней либо равных треугольников. Для нахождения площади вычисляется основание и высота фигуры:
Площадь фигуры соответствует половине произведения апофемы и основания. Первый элемент проведён ко второму. Так как известно, что основание равно 6, поэтому находится высота. Если начертить и рассмотреть треугольник, можно заметить, что катет равен 4. Он же является высотой пирамиды. Значение второго катета — 3 (он соответствует ½ ребра основания).
Для вычисления гипотенузы используется теорема Пифагора:
Площадь БП вычисляется следующим образом:
При решении задач рекомендуется ориентироваться на чертеж, использовать общепринятые теоремы и свойства фигур. Для наглядности фигура размещается в плоскости в нескольких проекциях. В старших классах, чтобы найти объём либо площадь, многогранники отображаются с помощью координат, функций косинуса и синуса.
Последние переменные используются, чтобы найти значение углов, как острых, так и тупых. Через полученное число и дополнительные формулы, аксиомы вычисляется площадь разных составных элементов фигуры.