формула нахождения площади части окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства. Число π

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и ее дуг

Площадь круга

Длина окружности

Длина дуги

Площадь сектора

Площадь сегмента

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
		Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Длина окружности
Длина дуги

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Нахождение площади сегмента круга

В данной публикации мы рассмотрим определение сегмента круга и формулы, с помощью которых можно вычислить его площадь (через радиус и центральный угол кругового сектора). Также разберем примеры решения задач для демонстрации практического применения формул.

Определение сегмента круга

Сегмент круга – это часть круга, которая ограничена дугой окружности и ее хордой.

Хорда – это часть прямой (секущей), которая пересекает круг. Концы хорды соединяются с центром круга, в результате чего образуется равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются радиусом окружности. Если к этом треугольнику добавить сегмент, получится сектор.

На рисунке выше:

• сегмент круга закрашен зеленым цветом;
• отрезок AB – это хорда;
• часть окружности между точками AB – дуга окружности;
• R – радиус круга;
• α – угол сектора.

Формулы нахождения площади кругового сегмента

Через радиус и центральный угол в градусах

α° – угол в градусах.

Примечание: в расчетах используется значение π , приблизительное равное числу 3,14.

Через радиус и угол сектора в радианах

α_рад – угол в радианах.

Примеры задачи

Задание 1
Найдите площадь сегмента круга, если его радиус равен 8 см, а центральный угол сектора, стягивающего сегмент, составляет 45 градусов.

Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Площадь кругового сегмента составляет 24 см 2 , а центральный угол сектора круга, частью которого является сегмент, равняется 1 радиану. Найдите радиус круга.

Решение
В данном случае мы можем получить радиус из формулы, в которой задействован угол в радианах:

Формула нахождения площади части окружности

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:

O — центр круга, OA — радиус круга.

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

где S — площадь круга, а r — радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

D = 2r, значит r =	D	.
	2

Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S = π(	D	) 2 = π	D 2	= π	D 2	.
	2		2 2		4

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Формула площади сектора:

S =	πr 2	· n =	πr 2 n	,
	360		360

где S — площадь сектора. Выражение

πr 2 n

360

можно представить в виде произведения

πr 2 n	= n ·	πr	·	r	,
360		180		2

где	nπr	— это длина дуги сектора.
	180

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

S =	sr	,
	2

где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

S =	r	(s — BC),
	2

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

🎦 Видео