доказательство теорем о площади параллелограмма (6 видео)

Содержание

Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения
Площадь параллелограмма
Геометрия. 8 класс
НАШИ ПАРТНЁРЫ
Площадь параллелограмма — формула, методика и примеры вычисления
Общие сведения
Признаки параллелограмма
Свойства фигуры
Теоремы о площади
Сторона и высота
Величины диагоналей
Информация о периметре
Другие параметры
Пример решения
📺 Видео

Видео:Доказательство теоремы о площади параллелограммаСкачать

Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения

Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство:

Пусть

1) Проведем высоту к прямой, содержащей сторону параллелограмма.

2) (как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей Поэтому (по гипотенузе и острому углу).

3) Параллелограмм состоит из трапеции и треугольника а прямоугольник — из трапеции и треугольника Так как треугольники и равны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма и прямоугольника

4) Но и поэтому Следовательно,

Заметим, что если основание высоты — точка -совпадает с точкой или лежит на продолжении стороны то доказательство теоремы будет аналогичным.

В общем виде формулу площади параллелограмма можно записать так:

где — сторона параллелограмма, — высота, к ней проведенная.

Пример:

Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны.

Доказательство:

Пусть — данный ромб, и — его высоты (рис. 232).

Ромб является параллелограммом, поэтому Но а значит

Пример:

Периметр параллелограмма равен 36 см, а его высоты — 4 см и 5 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1) Пусть — данный параллелограмм, и — его высоты (рис. 232),

2) По условию поэтому

3) Пусть см, тогда см.

4) Так как по формуле площади параллелограмма или имеем уравнение: То есть откуда (см).

5) Тогда

Ответ. 40

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

Площадь параллелограмма

С помощью формулы площади прямоугольника можно доказать формулу площади произвольного параллелограмма.

Теорема (формула площади параллелограмма)

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

где — сторона параллелограмма, — проведенная к ней высота.

Пусть — данный параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 145, а). Проведем его высоты и докажем, что Четырехугольник является прямоугольной трапецией, площадь которой можно вычислить двумя способами — как сумму площадей параллелограмма и треугольника или как сумму площадей прямоугольника и треугольника Треугольники равны по гипотенузе и катету как противолежащие стороны параллелограмма, как расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Тогда площади параллелограмма и прямоугольника также равны, т.е. Случаи, когда точка не является внутренней точкой отрезка (рис. 145, б, в), рассмотрите самостоятельно.

Пример:

Площадь параллелограмма равна а длины его высот — 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм с площадью и высотами (рис. 146).

Поскольку

Следовательно, периметр параллелограмма равен

Ответ: 42 см.

Решая приведенную задачу, можно заметить интересную закономерность: чем больше сторона параллелограмма, тем меньше проведенная к ней высота.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Прямоугольник и его свойства
Ромб и его свойства, определение и примеры
Квадрат и его свойства
Трапеция и ее свойства
Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
Четырехугольник и его элементы
Четырехугольники и окружность
Параллелограмм, его свойства и признаки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 8 класс. Площадь параллелограммаСкачать

Геометрия. 8 класс

Выведем формулу для вычисления площади параллелограмма.
Докажем, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Одну из сторон параллелограмма будем условно называть основанием. Перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, назовем высотой параллелограмма.

Дано:
ABCD – параллелограмм с площадью S.
AD – основание, BH и CE – высоты.
Доказать:
S = AD ∙ BH
Доказательство:
S_ABCE = S_ABCD + S_CDE или S_ABCE = S_BCEH + S_ABH
Треугольники CDE и ABH равны по гипотенузе и острому углу, значит
S_CDE = S_ABH, следовательно S_ABCD = S_BCEH
S = BC ∙ BH = AD ∙ BH
В общем виде формула для вычисления площади параллелограмма имеет вид S_{параллелограмма} = ah

Ромб также является параллелограммом, поэтому площадь ромба также можно найти, перемножив основание на высоту, проведенную к этому основанию.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

НАШИ ПАРТНЁРЫ

Видео:Почему площадь параллелограмма равна произведению его основания на высотуСкачать

Площадь параллелограмма — формула, методика и примеры вычисления

Задачи на нахождение площади параллелограмма довольно часто встречаются в геометрии при выполнении контрольных работ, написании зачетов и решении практических заданий экзаменационных билетов. Для получения отличных оценок необходимо знать доказательства теорем, основные соотношения и методику их нахождения, а также уметь применять знания, полученные в процессе обучения, на практике.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Общие сведения

Перед обучением решению задач специалисты рекомендуют изучить теорию и разобраться в ней. Параллелограмм — геометрическая фигура, состоящая из четырех вершин и взаимно-параллельными, а также равными между собой противоположными сторонами. Высота — часть прямой (отрезок), исходящая из вершины на противоположную сторону и образующая с последней прямой угол.

Диагонали не равны между собой. Для удобства их обозначают литерами F и f (большая и малая соответственно). Однако у квадрата и прямоугольника они эквивалентны. Специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения правильно определять геометрическую фигуру. Для этой цели существуют признаки параллелограмма.

Признаки параллелограмма

Признаки — набор критериев и правил, при помощи которых определяется тип геометрического тела. В некоторых задачах с повышенной сложностью дается четырехугольник с определенными исходными данными. Далее необходимо найти один из его параметров по формуле. Для этого следует правильно идентифицировать фигуру, чтобы воспользоваться необходимым соотношением.

Вот на этом этапе будут полезны признаки, позволяющие отнести геометрическое тело к классу параллелограммов. К ним относятся следующие:

Равны только противоположные стороны, а углы между ними не прямые.

Диагонали не пересекаются под прямым углом и не равны.

Следует отметить, что при выполнении одного условия фигура принадлежит к классу параллелограммов.

Свойства фигуры

Свойства — утверждения, доказанные математиками. Они применяются для доказательств теорем, решения диофантовых (линейных) систем уравнений на нахождение двух неизвестных величин, вычисления параметров фигуры, а также для проектирования деталей. Для этих целей можно применять такие утверждения:

Эквивалентность противоположных сторон и углов.

Сумма градусных мер внутренних углов соответствует 360.

Диагонали делят фигуру на равные, а также подобные между собой треугольники. Кроме того, они пересекаются в определенной точке, которая делит их на два эквивалентных отрезка.

Через точку пересечения возможно провести среднюю линию (соединяет середины противоположных сторон).

После свойств математики рекомендуют ознакомиться с некоторыми теоремами, позволяющими выводить формулу площади параллелограмма.

Видео:Теорема о площади параллелограмма. Доказательство. Геометрия 9 классСкачать

Теоремы о площади

Формулы площади — базовые соотношения, позволяющие найти другие параметры параллелограмма. Однако начинающему математику рекомендуется посмотреть, каким образом они доказываются. В отличие от прямоугольника величина рассчитывается немного иначе. Формулы — математическая запись определенной теоремы про площадь. Их всего три:

По стороне и высоте.

Стороны и величина синуса тупого угла (∠).

Диагонали и синус угла, который образован ими.

Однако для удобства доказательства утверждений следует ввести обозначения основных параметров фигуры:

Параллелограмм — MNOP.

Стороны: МN=OP=k и NO=MP=l.

Диагонали: меньшая NP=f, а большая MO=F.

Высоты, проведенные из вершины ∠: NS=h1 и ОТ=h2 соответственно.

Тупой и острый углы: ∠u и ∠v соответственно.

Углы образованные пересечением F и f: больший — ∠w и меньший — ∠z.

Следует отметить, что специалисты при решении любой задачи или доказательстве геометрических тождеств рекомендуют использовать сокращенные записи. Этот подход является признаком мастерства и правилом хорошего тона в точных науках.

Сторона и высота

Первую теорему можно сформулировать следующим образом: площадь параллелограмма равна произведению большей стороны на значение высоты. Доказывается утверждение довольно просто по такому алгоритму:

Следующая теорема имеет такую формулировку: при известных сторонах параллелограмма и размерности угла между ними его площадь эквивалентна произведению первых двух на синус третьего, то есть S=k*l*sin (∠v). Доказывается утверждение по такой методике:

Утверждение доказано. Следует отметить, что в геометрии очень часто одна теорема используется для доказательства другой.

Величины диагоналей

Третья теорема определения величины площади параллелограмма через диагонали имеет следующую формулировку: размерность эквивалентна произведению диагоналей на острый угол между ними (S=F*f*sin (∠z)). Доказывается утверждение по такому алгоритму:

Чертится параллелограмм, в котором затем проводятся диагонали. По свойству они пересекаются в точке Е, а также делятся пополам, то есть ME=OE=½ (MO) и NE=PE=½ (NP).

∠MEN+∠MEP=∠NEO+∠OEP=180. Следовательно, синусы при пересечении F и f равны sin (∠z).

Параллелограмм состоит из треугольников, суммы площадей которых эквивалентны искомой S параллелограмма.

Площадь треугольника: S=½ (MN*NO*sin (∠z)). Стороны всех треугольников эквивалентны половине длины диагоналей, то есть S=½[(MO/2)*(NP/2)*sin (∠z)].

Результирующая площадь всех треугольников: S=4[(MO*NP/8)]*sin (∠z)=[(MO*NP/2)]*sin (∠z). Если известен только тупой угол w, то соотношение возможно записать через косинус следующим образом: S=[(MO*NP/2)]*cos (∠w).

Утверждение доказано.

Следует отметить, что результирующая формула с подстановкой всех величин имеет следующий вид: S=[(Ff/2)]*sin (∠z). Однако для решения задач возможно использовать еще один параметр, который называется периметром.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№9 - Площадь параллелограмма.)Скачать

Информация о периметре

Периметр или поверхность плоского геометрического тела — алгебраическая сумма сторон параллелограмма. Он обозначается литерой «Р». Базовое соотношение имеет следующий вид: S=MN+NO+OP+MP=2 (k+l). Кроме того, существуют другие соотношения для определения Р:

Следует отметить, что из этих соотношений можно найти стороны, высоту и углы. Кроме того, последнее соотношение можно записать в другом виде: P=2[k+H/sin (z)]=2[l+H/cos (v)]. Эти формулы строятся на основании теорем о площади параллелограмма, в которых стороны и другие параметры выражаются через S треугольников. Специалисты рекомендуют после изученного материала переходить к рассмотрению других соотношений.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Другие параметры

Определение сторон и диагоналей осуществляется посредством следствий из теорем. Математики рекомендуют воспользоваться готовыми формулами, но не стоит забывать и о тренировках. Последние реализуются при помощи самостоятельного выражения одной величины через другую. Стороны можно найти, когда известны следующие параметры:

Для нахождения диагонали специалисты рекомендуют также воспользоваться следствием из последней теоремы. Кроме того, возможности расчетов расширяются при использовании и других соотношений:

k, l и ∠v: F=[k 2 +l 2 -2klcos (∠v)]^(½) и f=[k 2 +l 2 +2klcos (∠v)].

k, l и ∠z: F=[k 2 +l 2 -2klcos (∠z)]^(½) и f=[k 2 +l 2 +2klcos (∠z)].

Диагональ и сторона: F=[2k 2 +2l 2 -f 2 ]^(½) и f=[2l 2 +2k 2 -(f)^2]^(½).

S, F или f, ∠v: F=2S/[(f)sin (∠v)]=2S/[fsin (∠v)] и f=2S/[(F)sin (∠v)].

Для практического применения знаний специалисты рекомендуют переходить к заданиям по геометрии.

Видео:Площадь параллелограммаСкачать

Пример решения

Для закрепления теоретических знаний рекомендуется постоянно решать задачи. Условие одной из них имеет следующий вид:

Периметр: 34.

Острый угол ∠v: 30.

Высота H: 3,5.

Одна сторона больше другой на 3.

Острый угол при пересечении диагоналей ∠z: 30.

Необходимо найти площадь (S), высоту (H). Вычисляются необходимые параметры по следующему алгоритму:

Обозначить стороны: k=x и l=x+3.

Написать формулу периметра: Р=2 (к+l).

Составить уравнение, подставив известные величины в тождество во втором пункте: 34=2 (х+(х+3))=2 (2х+3).

Сократить обе части на 2: 17=2х+3.

Найти неизвестную величину: 2х=14. Отсюда х=14/2=7.

Вторая сторона: l=7+3=10.

Высота: Н=k*sin (∠v)=7*0,5=3,5.

Площадь S: S=Hl=3,5*10=35.

Задачу можно решать при помощи других соотношений. Однако это приведет к увеличению количества вычислений, в результате которых могут возникнуть ошибки.

Таким образом, для нахождения площади параллелограмма нужно знать признаки фигуры, свойства, теоремы, формулы и соотношения, а также чаще решать различные задачи.