что такое монотонность площади

Видео:Что такое МОНОТОННОСТЬ функции - Алгебра 7 класс - Теория функцийСкачать

Монотонность функции — свойства, признаки и примеры решений

Видео:Монотонность функции | МатематикаСкачать

Общие сведения

Функцией вида р = f(r) называется зависимость ее значения от переменной величины «r» или аргумента. Функциональные тождества бывают простыми и сложными. К первым относится класс выражений, состоящих из одной переменной простого типа. Во втором случае содержится несколько аргументов или аргумент является также функцией, т. е. подчиняется определенному закону.

Монотонной называется функция, постоянно убывающая или возрастающая на заданном промежутке. Если она постоянно убывает или возрастает, то считается строго монотонной. Пусть дана функция р = f(r). Она дифференцируема на некотором интервале (а;b), является возрастающей или убывающей, когда справедливы равенства f(r1) = f(r2) соответственно. Кроме того, нужно учитывать, что r1 =» следует заменить на строгий « »: f(r1) f(r2) соответственно. Вышеописанные понятия можно записать математическим способом, который считается более компактным:

1. Возрастающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 r2 ⇒ f(r1) >= f(r2).
2. Строго убывающая: ∀ r1, r2 ∈ (a;b): r1 > r2 ⇒ f(r1) > f(r2).

Следует отметить, что промежутками монотонности функции называются интервалы, на которых она возрастает или убывает. После определений необходимо рассмотреть основные теоремы, позволяющие использовать соотношения для решения различных задач.

Теорема о пределе

Теорема о пределе монотонной функции применяется для решения задач по высшей математике с использованием пределов. Ее формулировка следующая: если функция вида р = f(r) является дифференцируемой и монотонной на интервале (а;b), то в точке r0, принадлежащей заданному интервалу, она имеет конечные пределы с левой и правой стороны, а в точках r0 = a и r0 = b у нее существуют правосторонние и левосторонние границы.

Чтобы доказать утверждение, следует задать некоторую функцию, которая является монотонной. Кроме того, она должна возрастать на некотором интервале [а;b]. После этого нужно выбрать любую точку r0 ∈ (a;b]. В результате этого для ∀ r ∈ [a;r0) ⇒ f(r) 0 ∃ q > 0 для r ∈ (t;r0): М — е r0 — 0) = M. Отсюда следует такое соотношение: f(r0 — 0) = sup f(r), a r0 — 0) r0 + 0) = f(r0 + 0).

Чтобы понять математические обозначения sup и inf, необходимо представить множество значений функции. Первый термин обозначает максимальное значение сверху, а второй — минимальное снизу.

Критерии возрастания и убывания

Существуют определенные признаки, по которым можно определить монотонность функции p = f(r) на некотором интервале (а;b). Для этого в математике есть еще три теоремы:

• Для убывающей и возрастающей.
• Если является строго убывающей или строго возрастающей.
• Определение по точке, производной и интервалу.

Первая теорема имеет такую формулировку: дифференцируемая функция p = f(r) на интервале (а;b) является убывающей, когда выполняется неравенство f'(r) = 0 соответственно (при r ∈ данному интервалу).

Формулировка следующего утверждения только для строго возрастающей монотонной функции. В первом случае должно выполняться не одно, а два условия: f'(r) > 0 и f'(r) тождественно не эквивалентна нулю на промежутке в любой точке, принадлежащей интервалу. Для строго убывающей условия немного отличаются от предыдущих: f'(r) 0.

Основные свойства

Для функций на интервале (а;b) существуют некоторые утверждения, позволяющие исследовать составные выражения, а также решать различные задачи. К свойствам монотонных функций относятся следующие:

• Сумма двух убывающих (возрастающих) k = f(t) и l = f(v) является возрастающим (убывающим) выражением.
• Если k = f(t) возрастает, то -k = f(t) (противоположная) будет убывать. При убывании первой вторая будет возрастать соответственно.
• Когда у k = f(t) есть обратная вида k2 = 1 / f(t), тогда при убывании первой вторая будет возрастать. Если первая возрастает, то вторая убывает.
• Результатом произведения двух убывающих (возрастающих) является убывающая функция. Также должны выполняться такие условия: k = f(t) >= 0 и l = f(v) >= 0.
• Если k = f(t) возрастает или убывает на (а;b), а l = f(t) возрастает или убывает на (c;d), и (а;b) входит в (c;d), то композиция функций к∘ l (k(l(t))) также возрастает или убывает.

После изучения теорем и основных свойств нужно определить минимум базовых знаний, которые необходимы для исследования на монотонность любого выражения. Кроме того, следует знать графики некоторых функций. Для их построения можно использовать специальные онлайн-калькуляторы и программы, позволяющие выделять результаты разными цветами.

Видео:Математический анализ, 12 урок, Монотонность и экстремумы функцииСкачать

Базовые знания

Для исследования функции на монотонность специалисты рекомендуют руководствоваться некоторыми правилами, которые объединяются в универсальный алгоритм. Он является достаточным для выполнения такого задания и имеет следующий вид:

• Найти производную первого порядка — f'(r).
• Приравнять выражение, полученное в первом пункте, к 0.
• Найти критические точки, решив уравнение во втором пункте.
• Определить знак f'(r) на промежутках, полученных в результате разбиения критическими точками. Найти промежутки убывания и возрастания.

Последний пункт следует реализовывать при помощи таблицы. Необходимо строго придерживаться алгоритма, поскольку неверные действия способны существенно повлиять на результат.

Нахождение производной

Для поиска производной необходимо выполнить такие шаги: вынести константу, упростить выражение и воспользоваться таблицей дифференциалов элементарных функций (рис. 1). Первые два элемента считаются подготовительными, поскольку позволяют оптимизировать процесс вычисления. Для упрощения следует применять формулы сокращенного умножения, свойства дробей, разложение на множители и т. д. После приведения выражения к упрощенному виду нужно воспользоваться таблицей производных элементарных функций.

Рисунок 1. Дифференциалы простых выражений.

Однако при решении задач не всегда попадаются простые выражения. Для составных существуют определенные правила:

• Сумма: [k(t) + l(t)]’ = k'(t) + l'(t).
• Разность: [k(t) — l(t)]’ = k'(t) — l'(t).
• Произведение: [k(t) * l(t)]’ = k'(t) * l(t) + l'(t) * k(t).
• Частное: [k(t) / l(t)]’ = [k'(t) * l(t) — l'(t) * k(t)] / (l(t))^2.
• Сложная: [k(l(t))]’ = l'(t) * k'(t).

Специалисты рекомендуют для проверки использовать программы, но это не значит, что задачи должны решаться только с помощью онлайн-сервисов и математических пакетов.

Корни уравнений и критические точки

Следующим этапом является решение равенства с неизвестным. Необходимо отметить, что уравнения делятся на следующие виды: линейные, квадратные, кубические, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, степенные, показательные и иррациональные.

Первый тип решается по очень простому алгоритму: следует перенести неизвестные в одну часть, а известные — в другую. Для решения квадратного уравнения (aw^2 + bw + c = 0) нужно его упростить, разложить на множители или вычислить дискриминант. Последний вычисляется по следующей формуле: D = b^2 — 4ac. Количество корней зависит от значения D и определяется по таким формулам:

Видео:Исследовать функцию на монотонность. (Пример от bezbotvy)Скачать

Монотонные последовательности

Видео:Алгебра 10 класс. 9 сентября. Исследование функции на монотонность, используя свойства числовых неСкачать

Основные понятия и определения

Последовательность $left<x_right>$ называется монотонно возрастающей, если для любого $n in N, x_ x_$

Последовательность $left<x_right>$ называется монотонно убывающей, если для любого $n in N$ , $frac<x_><x_>>1$

Последовательность $left<x_right>==$ является убывающей, так как для любого $n in N$ , $x_>x_$

Видео:СВОЙСТВА ФУНКЦИИ — Промежутки Знакопостоянства и МонотонностиСкачать

Примеры исследования последовательностей на монотонность

Задание. Исследовать последовательность $left<x_right>=<sqrt>$ на монотонность.

Решение. Рассмотрим разность $n$-го члена последовательности $x_n$ и ее $(n+1)$-го члена $x_=sqrt$ :

Ответ. $left<x_right>=<sqrt>$ — возрастающая последовательность.

Задание. Исследовать последовательность $left<x_right>=left<frac<2^>right>, n geq 2$ на монотонность.

Решение. Найдем отношение $n$-го члена последовательности $x_n$ к ее $(n+1)$-му члену $x_=frac<2^>$ :

Для $n geq 2$ выражение $frac<x_><x_>=frac>1 Rightarrow x_>x_$ , то есть заданная последовательность $left<x_right>=left<frac<2^>right>, n geq 2$ является монотонно убывающей.

Ответ. $left<x_right>=left<frac<2^>right>, n geq 2$ — монотонно убывающая последовательность.

Видео:Промежутки монотонности функции.Скачать

Нестрогая монотонность

Последовательность $left<x_right>$ является неубывающей или нестрого возрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для $forall n in N$, $x_ leq x_left(x_ geq x_right)$

Последовательность $left<x_right>$ называется монотонной, если она убывающая или возрастающая.

Если все элементы последовательности $left<x_right>$ равны одному и тому же числу, то последовательность называется постоянной.

Последовательность $left<x_right>=$ является постоянной, так для любого натурального $n$ : $x_n=0$

Видео:10 класс, 44 урок, Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумыСкачать

Функция. Монотонность функции.

Функция монотонна на неком промежутке, когда она возрастает или убывает на избранном интервале. То есть монотонность функции можно толковать дословно – как ее однообразие.

Функция возрастает на промежутке, когда для всякой пары точек избранного интервала, выраженных соотношением х₂ > х₁, верно неравенство f (х₂) > f (х₁). Следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и её график располагается «снизу вверх».

🎦 Видео

Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса | матан #010 | Борис Трушин |Скачать

Монотонность функции( пример)Скачать

Исследование функции на монотонность и экстремумыСкачать

Промежутки монотонностиСкачать

Монотонные последовательности. ТемаСкачать

Параметр. Серия 5. Что такое монотонная функция и как с ее помощью решать задачиСкачать

Монотонные функции и их односторонние пределы | матан #017 | Борис Трушин |Скачать

Монотонность функции. (Примеры).Скачать

Монотонность в речи? Это Вам ПОМОЖЕТ!Скачать

Задачи на монотонность функцииСкачать

Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности и две суммы с бесконечным числом слагаемыхСкачать

Свойства функции. Промежутки возрастания и убывания функции. 10 класс.Скачать