задачи по вычислению площади трапеции (4 видео)

Содержание

Решение задач по теме: «Площадь трапеции». материал по алгебре (8 класс)
Скачать:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Площадь трапеции
1. Мотивация к учебной деятельности
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии
3. Выявление места и причины затруднения
4. Построения проекта выхода из затруднения
5. Реализация построенного проекта
6. Первичное закрепление во внешней речи
7. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу
8. Включение в систему знаний и повторение
9. Рефлексия деятельности на уроке
Площадь трапеции
Спецприемы репетитора по математике.
Задачи на площадь трапеции:
🎦 Видео

Видео:8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

Решение задач по теме: «Площадь трапеции».
материал по алгебре (8 класс)

Задачи пригодятся для отработки материала по теме, сдесь же имеются задачи для домашней работы.

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
ploshchad_trapetsii.docx	28.98 КБ

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.
В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10см, меньшая боковая сторона- 5 см. Чему равна площадь трапеции?
В равнобедренной трапеции ABCM большее основание AM=20 см, высота BH отсекает от AM отрезок AH=6 см, ∠ BAM=45°. Найдите площадь трапеции.
В трапеции ABCM одно из оснований в 3 раза меньше другого, а высота составляет 75% большего основания, площадь трапеции равна 72 см². Найдите основания и высоту трапеции.
В трапеции ABCD BC и AD-основания, BC÷AD=4÷5. Площадь треугольника ACD=35 см². Найдите площадь трапеции.

Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD и BC равны соответственно 12 см и 8 см, боковая сторона AB=6 см, ∠ A=30°.
В треугольнике ABC стороны AB и BC равны соответственно 14 см и 18 см. Сторона AB продолжена за точку A на отрезок AM=AB. Сторона BC продолжена за точку C на отрезок KC, равный половине BC. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 126 см².

В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.
В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10см, меньшая боковая сторона- 5 см. Чему равна площадь трапеции?
В равнобедренной трапеции ABCM большее основание AM=20 см, высота BH отсекает от AM отрезок AH=6 см, ∠ BAM=45°. Найдите площадь трапеции.
В трапеции ABCM одно из оснований в 3 раза меньше другого, а высота составляет 75% большего основания, площадь трапеции равна 72 см². Найдите основания и высоту трапеции.
В трапеции ABCD BC и AD-основания, BC÷AD=4÷5. Площадь треугольника ACD=35 см². Найдите площадь трапеции.

Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD и BC равны соответственно 12 см и 8 см, боковая сторона AB=6 см, ∠ A=30°.
В треугольнике ABC стороны AB и BC равны соответственно 14 см и 18 см. Сторона AB продолжена за точку A на отрезок AM=AB. Сторона BC продолжена за точку C на отрезок KC, равный половине BC. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 126 см².

Видео:Геометрия 8 класс. Площадь трапецииСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект и презентация к уроку геометрии в 8 классе по теме «Решение задач по теме «Площадь»».

Тема: «Площади” в курсе геометрии 8-го класса включает изучение вопросов: площадь треугольника, площадь параллелограмма, площадь трапеции, теорема Пифагора. Основная цель темы: создать условия для .

Решение задач по теме «Площади фигур».

Решение экзаменационных задач модуля Геометрии по теме «Площади фигур». Учащиеся совершают восхождение на гору Олимп.

Решение задач по теме «Площади фигур».

Конспект урока «Решение задач по теме «Площадь прямоугольника»», 5 класс

Конспект урока был представлен на муниципальный конкурс «Современный урок – как основа эффективного и качественного образования школьников». По итогам конкурса было присуждено 2 место в номинаци.

Занятие элективного курса по математике 9 класса подготовки к ГИА. Модуль «Геометрия». Решение задач по теме «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции»

Материал содержит план-конспект занятия по теме:»Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции», презентации, тесты.

Технологическая карта урока по теме «Решение задач по теме «Площадь»» , 8класс

Цель урока: обобщить и систематизировать материала о площадях фигур, учить решать задачи с практическим применением на заданную тему, воспитывать культуру поведения при групповой и индивидуальной раб.

Отработка навыков решения задач на тему «ПЛОЩАДИ параллелограмма , треугольника, трапеции».

Здесь собраны все виды задач по теме : «Площади фигур» для подготовки к огэ.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Площадь трапеции

Разделы: Математика

Класс: 8

Ключевые слова: геометрия

Предмет: геометрия.

Класс: 8 класс.

Учебник: Геометрия 7-9 класс, Атанасян Л.С. и др.

Тип урока: урок открытия нового знания.

Основные цели:

Предметные:

Сформировать знание о формуле площади трапеции.
Сформировать умение применять формулу площади трапеции.

Метапредметные:

Тренировать умение фиксировать индивидуальное затруднение, выявлять его причину, формулировать цель деятельности, планировать свою работу.
Тренировать умение работать в группах, решать конфликтные ситуации, выражать свои мысли в устной и письменной форме.
Тренировать умение анализировать, проводить аналогию, делать вывод.

Эталоны:

Э-3

Задачи для решения в классе:

Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 3 см, а основания равны 4 см и 5 см.

Решение задач с проговариванием у доски.

Основания трапеции 10 см и 35 см, площадь равна 225 см². Найдите ее высоту.
В парах

Основания трапеции 37 см и 35 см, площадь равна 144 см². Найдите ее высоту.

Задания с готовыми чертежами:

№1. В параллелограмме ABCD AB=8 см, BC=10 см. Меньшая высота параллелограмма равна 4. Найдите площадь параллелограмма и его большую высоту.

№2. Площадь треугольника равна 48 см2. Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне, равной 32 см.

№3. В трапеции ABCD высота BH равна 6 см, основание BC равно 3 см. Найди площадь треугольника BCD.

Задачи для самостоятельной работы с самопроверкой^

Найти площадь трапеции, основания которой 10 см и 15 см, а высота 6 см.
Найти высоту трапеции, основания которой 10 и 40 мм, а площадь 625 мм².

Задачи

Основание трапеции 26 см, высота 10 см, площадь 200 см². Найдите второе основание трапеции.
Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 3 см и 1 см, большая боковая сторона составляет с основанием угол 450.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности

— Сегодня у вас урок открытия новых знаний. Как происходит открытие нового? (Познавать новое будем, опираясь на раннее изученное, значит, нам сейчас необходимо повторить уже известное).

— Какую тему мы изучаем? (Площадь….)

— А площади, каких фигур вы уже умеем находить? (Площадь треугольника, площадь параллелограмма).

— А с какой целью мы открыли на прошлых уроках формулы площадей треугольника и параллелограмма? (Чтобы применять, чтобы решать более сложные задания).

— То есть мы будем применять знания, которые открыли на прошлом уроке.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии

На доске вывешиваются эталоны (Э-1, Э-2) (Рисунок 1)

Предлагаю сейчас решить задачи по готовым чертежам, которые помогут вам подготовиться к открытию новых знаний. (дается время)

Задания с готовыми чертежами:

№2. Площадь треугольника равна 48 см². Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне, равной 32 см.

№3. В трапеции ABCD высота BH равна 6 см, основание BC равно 3 см. Найди площадь треугольника BCD.

— Проверяем, фронтально. При проверке называйте номера эталонов, которые вы использовали. (эталоны висят на доске)

— Молодцы! Все, что будет необходимо для открытия нового знания, мы повторили. А теперь решите следующую задачу.

Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 3 см, а основания равны 4 см и 5 см.

На решение вам 1 минута.

— Поднимите правую руку те, кто нашел площадь трапеции, а левую руку те, у кого не получилось найти. (Поднимают руку).

— Те, кто поднял левую руку, что у вас не получилось? (Не смог найти площадь трапеции).

— Те, кто поднял правую руку, вы уверены в правильности выполнения задания? (Нет, я не уверен).

3. Выявление места и причины затруднения

— А почему у вас не получилось? (Мне не хватило времени).

— А почему вы не уверены, что правильно нашли площадь трапеции? (Я нашел площадь, но не могу обосновать способ, я не знаю формулу нахождения площади трапеции.)

4. Построения проекта выхода из затруднения

Вы правильно определили причину затруднения, а теперь сформулируйте цель своей дальнейшей деятельности на уроке.

Цель нашей деятельности: Вывести формулу нахождения площади трапеции.

Тема урока: Площадь трапеции.

Что нам надо сделать? (Надо составить план действий по реализации сформированной цели).

— У вас на столе лежат пронумерованные шаги плана выхода из затруднения. Работая в парах, вы читаете шаги и расставляете их в нужном порядке. Результат вашей деятельности вы представите на планшетах.

После обсуждения на доске фиксируется план действий.

1. Разбить трапецию на известные фигуры.

2. Найти площадь известных фигур.

3. Воспользоваться свойством площадей.

4. Записать формулу площади трапеции.

5. Реализация построенного проекта

Сейчас работая в группах по плану, мы выведем формулу площади трапеции. (Дается время 2 минуты.)

Один представитель из группы представляет доказательство на доске. Вывешиваем эталоны (Э-3). (Рисунок 5)

А теперь вернемся к пробному заданию и найдем площадь трапеции.

Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 3 см, а основания равны 4 см и 5 см.

6. Первичное закрепление во внешней речи

Решение задач с проговариванием у доски.

1. Основания трапеции 10 см и 35 см, площадь равна 225 см². Найдите ее высоту.

Основания трапеции 37 см и 35 см, площадь равна 144 см2. Найдите ее высоту.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

А сейчас я предлагаю вам самостоятельно выполнить задания на нахождение площади трапеции.

Найти площадь трапеции, основания которой 10 см и 15 см, а высота 6 см.
Найти высоту трапеции, основания которой 10 и 40 мм, а площадь 625 мм².

Проверяем по эталону (эталон решения написан на доске или на слайде презентации).

Возникшие затруднения озвучиваем. Обсуждаются.

У кого возникли затруднения?
В чем причина затруднения? (в формуле, вычислительная)

8. Включение в систему знаний и повторение

Теперь я вам предлагаю задания, в которых мы будем использовать новое знание.

1.Основание трапеции 26 см, высота 10 см, площадь 200 см². Найдите второе основание трапеции.

2.Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 3 см и 1 см, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

3.Основания трапеции равны 36 см и 12 см, боковая сторона, равная 7 см, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

4.Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

9. Рефлексия деятельности на уроке

Какова была цель вашей деятельности?

Мы достигли поставленной цели?

Что вы использовали и что помогло в достижении цели?

Оцените свою работу на уроке с помощью смайлика.

я понял тему, но у меня есть сомнения
я понял тему и могу работать по эталону
я понял тему и могу объяснить другим

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Площадь трапеции

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

Спасибо Вам, Александр Николаевич! Вы мне очень помогли. Мой муж метролог, сейчас повышает квалификацию и мне пришлось помогать ему делать курсовик. Так вот формула вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам (а я уже многое забыла со школы) мне очень помогла, в интернете ничего подобного не нашла. Спасибо Вам большое.

Уважаемый Александр Николаевич!
Если Вам не трудно, помогите решить задачу №8 из предложеных Вами. Если я правильно поняла Вас, здесь нужно применить Ваш метод сдвига диагонали?
Буду очень признательна.
С уважением Водяева С В

Нет, диагональ трапеции трогать не нужно. Обозначьте буквой икс высоту трапеции и выразите с помощью площадей 6 и 14 ее основания. Затем проведите вторую высоту. От трапеции отсекутся два равных боковых треугольника. У каждого из них один из катетов — высота трапеции (то есть икс), а второй катет — полуразность оснований. Затем запишите теорему Пифагора для одного из боковых треугольников. Подставьте туда боковую строну 4, и полученные выражения для катетов. Ответом к задаче будет корень уравнения.

Уважаемый Александр Николаевич! Сын готовился к ГИА и не смог решить задачу, которая опубликована у Вас последней (№9). Натолкните на путь истинный, если можно, у нашего преподавателя математики пока тоже нет решения. Заранее спасибо.

Через вершину верхнего основания трапеции проведите параллельно диагонали отрезок до его пересечения с основанием. Образуется треугольник, две стороны которого будут равны диагоналям трапеции. Длина медианы, проведенной к третьей стороне данного треугольника, равна длине отрезка, соединяющего середины оснований (это не сложно доказать). Площадь треугольника, очевидно, равна площади трапеции (в моем справочнике этот факт назван теоремой о сдвиге диагонали трапеции).

Извините,Александр я не понимаю почему в 3-ем доказательстве площади трапеции площадь треугольника EBD равна площади трапеции ABCD, прежде чем такое утверждать, надо доказать что треугольник EBD=ABCD-трапеции. Не могли бы вы подсказать как это доказать?!

Не очень понял, что именно Вам не ясно. На странице опубликовано достаточно добротное доказательство. Я специально писал так, чтобы в нем можно было разобраться без всякого репетитора по математике, то есть самостоятельно. Равенство площадей следует из равенства выражений, отвечающих за площади. Изучите материал повнимательнее.

Откуда вы знаете что площадь треугольника BED равна площади трапеции ABCD? Нам формулу площади трапеции вывести надо, а выводится формула площади треугольника BED. Нет, конечно, мы знаем чему равна площадь трапеции по формуле, ну надо же формулу как-то вывести, а вы пишите,что площадь треугольника BED равна площади трапеции. Откуда вы это знаете? Вы же не доказали это! Поэтому и непонятно!

В третьем пункте не выводится ни площадь треугольника, ни площадь трапеции. Доказывается только равенство этих площадей. Формула же площади трапеции выведена в самом начале страницы. Читайте внимательнее. Советую найти хорошего репетитора по математике, чтобы он объяснил Вам все доказательства в отдельности, ибо в комментариях к странице не совсем удобно вести полноценную разъяснительную работу. Обучение математике — живой процесс!

Спасибо большое, помогла последняя формула, которую не доказывали. Буду и дальше к ГИА по математике (теперь уже к ЕГЭ) готовиться вместе с вашим сайтом.

Спасибо большое за такие подробные доказательства!

Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь. Не могу решить. Подскажите какой формулой тут воспользоваться.

Базовой прямой формулы нет. Сделайте так: через любую вершину верхнего основания проведите прямую, параллельную одной из диагоналей до пересечения с нижним основанием. Образуется треугольник с площадью, равной площади трапеции. Легко найти все его стороны, а затем и площадь. Удачи!

Спасибо, очень пригодилось.

И как же выйти на площадь трапеции в 9 задаче? Подскажите, пожалуйста. Не могу сообразить. Заранее огромное спасибо репетитору по математике за помощь.

Воспользуйтесь методом «сдвига диагонали». Получится треугольник со сторонами, которые равны диагоналям трапеции и медианой, равной длине отрезка, соединяющего середины ее оснований. Правда последнее необходимо будет доказать. По двум сторонам и медиане найти площадь полученного треугольника несложно.

спасибо.Еще раз обращаюсь за помощью-заело с задачей:
Плот проплывает путь из А в В за 6 часов,а моторная лодка из В в А за 2 часа.За какое время моторная лодка преодолеет такое же расстояние в стоячей воде?Подскажите,пожалуйста,направление решения.Заранее признательна.

Александр, подскажите пожалуйста как во втором доказательстве площади трапеции мы можем выразить площадь 4-х треугольников? Ведь нам известны только две диагонали трапеции и угол между ними

Там вроде все внятно изложено. Выражать площади треугольников нужно через кусочки диагоналей. После всех преобразований они сложатся в полные диагонали.

Можно ли найти площадь неправильного четырёхугольника, если известны длины всех его сторон в отдельности (периметр)?

Нет, конструкция будет «плавающей». В случае правильного четырехугольника легко привести показательный пример — ромб. С неправильным ситуация аналогичная.

Уважаемый Александр Николаевич! Есть похожая на Вашу 6 задачу: Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол 60. Найти площадь трапеции, если большее основание равно 6 см.
Натолкните, пожалуйста, на путь истинный.

Здравствуйте! Воспользуйтесь теоремой о сдвиге диагонали. Получится равносторонний треугольник (равнобедренный с углом 60 градусов), имеющий сторону 6 см. Его площадь равна площади трапеции.