задачи на свойство площадей

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Урок геометрии по теме «Решение задач с использованием свойств площадей». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цель: Освоение различных путей поиска решения задач с использованием свойств площадей.

Ход урока:

І. Устная работа.

На прошлом уроке, ребята, мы с вами доказывали теорему о площади треугольника, вывели формулу площади треугольника и учились решать задачи с помощью этой формулы. Сегодня мы рассмотрим способы решения задач нахождения площади треугольника с использованием свойств площадей.

Вопрос: Какие две фигуры называются равными?

— Две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Вопрос: Какими свойствами площадей обладают равные многоугольники?

— Равные многоугольники имеют равные площади.
— Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Вопрос: Можете ли вы привести пример равновеликих (имеющих равные площади) многоугольников, один из которых можно разрезать на части, из которых можно сложить другой?

— На стенде “К уроку” прикрепляются многоугольники:

• прямоугольник, из которого получается равновеликий параллелограмм:

• параллелограмм, из которого получается равновеликий треугольник:

• трапеция, из которой получается равновеликий параллелограмм:

Вопрос: Можете ли вы пояснить, как именно нужно разрезать вторую и третью фигуры?

Вопрос: Посмотрите, пожалуйста, на доску. Какие свойства площадей треугольников иллюстрируют эти рисунки?

— Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы .
— Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания .

ІI. Вывод двух новых свойств площадей для решения задач.

Теперь, ребята, выведем ещё 2 свойства площадей треугольников, решая задачи №473, 474 из учебника [1]. Вызываются по очереди два ученика к доске.

Вопрос: Можете ли вы прочитать формулировку этой задачи как свойство площади треугольника?

№473: “Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь треугольника не изменится.

Условие задачи: “Через вершину треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите. что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади”.

№474: “Медиана треугольника делит его на два равновеликих (имеющих равные площади) треугольника”.

Условие задачи: “Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой”.

ІІІ. Применение изученного для решения задач, выбор способа решения.

Откройте дидактику [2] С11(2), вар.3 (на доске готовый чертёж, решаем устно)

Условие задачи: “В прямоугольном треугольнике АВС точка О – середина медианы СН, проведенной к гипотенузе АВ, АС = 6см, ВС = 8см. Найдите площадь треугольника ОВС”.

Решим из [2] С11(2), вар.2 у доски.

Условие задачи: “На стороне АС треугольника АВС с площадью 36 см 2 взята точка D,

AD : DC = 1 : 5. Найдите площадь треугольника ABD”.

1 способ

1)

Т.к. , то

2)

2 способ

Если высоты двух треугольников равны, то .

Поэтому

ІV. Дополнительное задание.

В оставшееся время работаем по карточкам.

Задание карточки: Проведите все высоты треугольника. Отметьте их h1, h2, h3. (Задаются различные виды треугольников: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные)

1. С11(2), вар.4. из [2] решить тремя способами. Это задание разбирается по готовому чертежу устно одним из способов, увиденным учащимися.

Условие задачи: “В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята точка М так, что АМ : МС = 4 : 1. Найдите площадь треугольника AMD”.

2. Дополнительная задача: “Докажите, что медианы треугольника делят его на три равновеликих треугольника”.

Использованная литература:

1. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М: Просвещение, 2006;
2. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса/Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, М: Просвещение, 2005.

Видео:Математика. Метод площадей в решении задач по геометрииСкачать

Решение задач с использованием свойств площадей

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

План-конспект урока по теме «Решение задач с использованием свойств площадей»

Цель: развитие умений в применение знаний на практике; развивать мышление, внимание и память;

воспитывать умение контролировать себя и не бояться ошибаться;

научиться находить различные пути поиска решения задач с использованием свойств площадей.

Сообщение темы урока

Учитель: Сегодня мы на уроке будем решать задачи, свойства площадей.

Двух учеников приглашают к доске.

Запишите на доске все формулы площади треугольника.

Запишите на доске формулы площади трапеции.

r – радиус вписанной в треугольник окружности

2) , где MN – средняя линия трапеции

где d ₁ , d ₂ – диагонали трапеции, α – угол между ними

где с – боковая сторона трапеции, h –перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение

Пока ученики записывают формулы, спросить учеников с мест правила «Свойства площадей».

1). Каждая фигура имеет положительную площадь.

2). Площадь квадрата со стороной равной единице длины равна единице площади.

3). Если фигура разбивается на две части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.

Рассмотрите площади треугольника, написанные на доске.

Вопрос . Какая из формул является основной?

Назовите следствия из этой формулы, используя таблицу «Свойства площадей».

С–1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится.

С–2. Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

С–3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.

С–4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

С–5. Медиана треугольника делит его на 2 равновеликие части.

С–6. Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.

С–7. Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

С–8. Средняя линия треугольника площади отсекает от него треугольник площади .

Задача 1. Дано — трапеция, и — диагонали. Пересекающиеся диагонали разбивают трапецию на 4 треугольника с вершиной в точке О . и — треугольники, которые прилегают к основаниям и треугольники и — треугольники, которые прилегают к боковым сторонам. Обозначим , , , , .

Найдите связь между площадями треугольника.

Выразите площадь трапеции через и , т. е. через площади треугольников, прилегающих к основаниям трапеции.

Так как , то надо выразить и через и .

Вопрос . Что можно сказать про площади и ?

Ответ . =, т. к. треугольники и имеют одинаковые площади, а если от равных отнять площадь , то получим равные площади и .

Выразите через и . , .

Перемножив (2.1) и (2.2), получим

Вопрос . Как сформулировать правило, которое мы вывели?

Ответ . Площадь треугольника, прилегающего к боковой стороне трапеции есть среднее геометрическое между площадями треугольников, прилегающих к основаниям трапеции.

Вопрос . Как вывести соотношение , используя свойства площадей?

Вопрос . Какое свойство площадей здесь использовались?

Ответ . С – 3, С – 2 (ученики отвечают устно).

Вопрос . Как можно ещё вывести соотношения ?

Найдите площадь трапеции (рис. 3)

Таким соотношением связана площадь трапеции с площадями треугольников, прилегающих к её основаниям. Итак, для трапеции

Вопрос . Справедливо ли это соотношение для любого четырёхугольника?

Основания у треугольников и одинаковые (рис. 2.4), но их вершины не на параллельных прямых.

Вопрос . А какое соотношение между можно вывести для четырёхугольника (рис. 2.4)?

т. е. произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника равны.

Дано : выпуклый четырёхугольник

Докажите, что этот четырёхугольник есть трапеция.

С другой стороны, (рис. 2.4). , следовательно , но , (рис. 2.4), следовательно , следовательно , следовательно , следовательно и , т. е. , а это означает, что , т. е. четырёхугольник — трапеция.

Задача 3. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника проведены 3 прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на 6 частей, из которых три треугольника с площадями . Найдите площадь треугольника.

1)  , следовательно 9площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия).

Повесить таблицу «Итог урока» (сделать из достаточно плотной бумаги, с магнитами на обратной стороне, прикрепляется мгновенно на обратную доску).

Вопрос . Мысленно вернитесь ко всем задачам, которые были рассмотрены на уроке. Попытайтесь вспомнить из всех свойств площадей, какие свойства мы применяли на уроке.

Ответ . 1) Равные фигуры имеют одинаковые площади.

2) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.

3) Если от равных отнять равные, то получим равные.

Вопрос . Какие следствия из формулы мы применяли?

Ответ . С – 1, С – 2, С – 3, С – 4, С – 5 все следствия ученики рассказывают.

Вопрос . Из множества формул для нахождения площади простых фигур какие бы вы использовали?

1. Диагонали делят трапецию на 4 треугольника. Площади двух из них равны 1 см 2 и 2 см 2 . Какой может быть площадь трапеции?

2. Точки — середины сторон выпуклых четырёхугольников и . Докажите, что .

3. Дано: ; — середины сторон соответственно. пересекает в точке . Докажите, что (задача автора).

4. В параллелограмме точки и делят диагональ на три равные части. Точки и — середины сторон и . Найдите отношение площади четырёхугольника к площади параллелограмма (задача автора, дополнительное задание).

Домашнее задание выдаётся каждому ученику на листке.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 1008 человек из 79 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Задачи на свойства площади фигуры. Геометрия 9 классСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 529 040 материалов в базе

Другие материалы

• 09.09.2017
• 548
• 0

• 09.09.2017
• 630
• 0

• 09.09.2017
• 695
• 2

• 09.09.2017
• 717
• 0

• 09.09.2017
• 1192
• 3

• 09.09.2017
• 554
• 0

• 09.09.2017
• 450
• 0

• 09.09.2017
• 212
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 10.09.2017 825
• DOCX 121.8 кбайт
• 4 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Климчук Марина Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 5 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 25107
• Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Свойства площадейСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Курганской области школьников переведут на дистанционное обучение с 4 февраля

Время чтения: 1 минута

В Оренбурге продлили дистанционное обучение для школьников

Время чтения: 1 минута

В Свердловской области школьников со 2 по 8 класс и студентов переводят на удаленку

Время чтения: 1 минута

В Тульской области ввели школьные каникулы со 2 по 11 февраля

Время чтения: 1 минута

Студенты на Северном Кавказе бесплатно подготовят к ЕГЭ сельских школьников

Время чтения: 1 минута

В Томске из-за COVID-19 перенесут каникулы для первоклассников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Решении задач по геометрии при подготовке к ГИА

Научно-практическая конференция учащихся и педагогов Татищевского муниципального района 2013г.

МОУ « Средняя общеобразовательная школа №1 р. п. Татищево»

Решении задач по геометрии при подготовке к ГИА.

,
учитель математики
МОУ « СОШ №1 р. п. Татищево»
первой квалификационной категории

ТАТИЩЕВО 2013
Оглавление

Метод площадей . 4

Система математических задач, решаемых методом площадей . 9

Опорные задачи, решаемые методом площадей . 20

Подготовка к государственной итоговой аттестации (ГИА) – неотъемлемая часть современного курса математики. Задачи по геометрии занимают примерно третью часть всех заданий КИМов. Геометрия является очень мощным средством развития личности в самом широком диапазоне. Среди дисциплин математического цикла геометрия выделяется своим вольнодумством, неким особым свободолюбивым характером, нежелающим подчиняться стандартам, нормам, алгоритмам.

Целью изучения геометрии, конечно, является знание. Но нужно всегда помнить, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Человек не может развиваться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию. Геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека.

Научной и нравственной основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений.

Геометрия, впрочем, как и алгебра, является носителем собственного познания мира. Овладение этим методом – важнейшая цель образования. Процесс изучения геометрии должен включать самые разнообразные виды деятельности. В том числе и даже в первую очередь – решение задач. Задача – это не только умения, это и элемент знания. Ученик должен ознакомиться с определенным набором достаточно трудных геометрических задач, научиться решать задачи, следуя известным образцам. В геометрии в отличие от алгебры алгоритмов очень мало, почти нет. Поэтому при обучении возрастает значение опорных задач, обобщающих полезный факт, либо иллюстрирующий метод или прием.

Видео:Методы площадейСкачать

Метод площадей

Основные свойства площадей

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т. е. решение задач с использованием свойств площадей

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится

Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади, которых равны одной четвертой части площади ▲ABC

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Система математических задач, решаемых методом площадей

В современных учебниках, пособиях и различного рода задачниках, к сожалению, уделяется мало внимания психологическим факторам, влияющим на успешность обучения математике. А именно, воспитание у учащихся уверенности в своих силах, развитие умения пользоваться прошлым опытом.

Берутся два общеизвестных утверждения, которые являются базовыми. На основе этих утверждений выстраиваются две «цепочки» задач по нарастающему уровню сложности. Решения задач в этих «цепочках» основаны на базовых утверждениях и на решении предыдущих задач.

Утверждение 1. Два треугольника являются равновеликими, если равны их высоты и основания.

Задача 1. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.

Решение. Высоты треугольников ABD и BCD равны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1 S▲ABD = S▲BCD

Задача 2 . На стороне CD параллелограмма ABCD взята произвольная точка Е. Зная, что S▲ABE = S, найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение. Проведем дополнительное построение: КЕ║AD. Тогда из задачи 1 следует, что S▲KBE = S▲CBE, а S▲AKE = S▲ADE . Отсюда SABCD = 2S.

Задача 3 . В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD взяты произвольные точки M и N. Докажите, что площадь четырехугольника KMEN равна площади четырех образовавшихся треугольников.

Решение. Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 S▲KME = S▲KMB + S▲MEC, а S▲KNE = S▲AKN + S▲EDN

Отсюда S▲KMEN = S▲KMB + S▲MEC + S▲KNE + S▲EDN

Задача 4 . Внутри параллелограмма ABCD взята произвольная точка О. Зная площадь трех треугольников с вершиной в точке О, найдите площадь четвертого треугольника.

S ▲ BOC = S 3 . Произведем дополнительное построение: КЕ║АВ.

Введем следующие обозначения:

Задача 5. Каждая диагональ четырехугольника делит его на треугольники одинаковой площади. Докажите, что это параллелограмм.

Решение. Из условия следует, что верны равенства: S1 + S2 = S3 + S4 и S1 + S4 = S3 + S2 . Откуда получим , что S 1 = S3, а S 2 = S4. Отметим , что S2:S1= AO: ОС , S4:S3=AO:OC. Кроме этого, соответствующие высоты треугольников BOC, COD и AOB, AOD равны, соответственно, площади относятся как длины оснований. Из того, что S1 = S3 и S2 = S4. следует, что AO: OC =AO: OC . Следовательно, AO = OC . Аналогично можно доказать, что BO = OD . Можно сделать вывод, что диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, а это значит, что ABCD — параллелограмм.

Утверждение 2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Задача 6. В параллелограмме ABCD точка К – середина АВ, а L – середина ВС. Зная, что SKBLD = S , найдите SABCD .

Решение. Проведем диагональ ВD. Тогда, исходя из утверждения 2, получим, что SABCD = 2 S .

Задача 7 . В четырехугольнике ABCD точка Е, середина АВ, соединена с вершиной D, а точка F, середина CD, — с вершиной В. Докажите, что SABCD = 2SEBFD

Решение. Проведя диагональ ВD и рассуждая аналогично задаче 6, получим, что SABCD = 2SEBFD

Задача 8 . В произвольном четырехугольнике проведены отрезки, соединяющие середины сторон этого многоугольника. Зная площади
трех из полученных четырехугольников, найдите площадь четвертого.

Решение . В силу утверждения 2 и обозначений, использованных для элементов чертежа, получим S1 = a + b, S2 = b + c, S3 = c + d, S4 = a + d. Тогда, зная S1, S2, S3, S4 получим, что S4 = S1 + S3 — S2 .

Задача 9. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Решение. В силу задачи 1 и утверждения 2 будем иметь

S▲AOB = S▲BOC = S▲COD =S▲DOA

Задача 10. Середины двух параллельных сторон параллелограмма соединены с противолежащими вершинами. Какая часть площади параллелограмма ограничена проведенными отрезками?

Решение. Проведем отрезок МК. Тогда в силу задачи 9 SMFKE = 1/4SABCD.

Задача 11. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Середины сторон АВ и CD обозначены соответственно через К и М, точку пересечения отрезков ВМ и СК – через Р, точку пересечения отрезков АМ и DК – через О. Докажите, SMOKP = S▲BPC + S▲AOD

Решение. Проведем диагональ ВD. Так как DК и ВМ медианы вновь полученных треугольников, то SAKD=1/2SABD, SBMC=1/2SBCD. Отсюда S▲AKD + S▲BMC = 1/2 S АВС D (1) Проведя диагональ АС и учитывая, что АМ и СК медианы уже вновь полученных треугольников, получим SKBC=1/2SABC, SAMD=1/2SACD.

Тогда S▲KBC + S▲AMD = 1/2 SABCD (2).

Из равенств (1) и (2) следует, что S▲AKD + S▲BMC + S▲KBC + S▲AMD = SABCD .

В этой сумме дважды учтены площади треугольников ВРС и АОD, но не учтена площадь четырехугольника МОКР. Поэтому SMOKP = S▲BPC + S▲AOD.

Задача 12 . На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника АВСD отложены отрезки BB1 = AB, CC1 = BC, DD1 = CD и AA1 = AD. Докажите, что площадь четырехугольника А1В1С1D1 в 5 раз больше площади четырехугольника АВСD.

Решение. Медиана делит площадь треугольника пополам, поэтому площади треугольников ABC, BB1C и CC1B1 равны между собой. Площадь треугольника ACD равна площади треугольника ADD1, площадь треугольника ADD1 равна площади треугольника AA1D1 и т. д. Тогда S▲BB1C1 = 2S▲ABC, S▲CC1D1 = 2S▲BCD, S▲AA1B1 = 2S▲DBA, S▲DD1A1 = 2S▲CAD. Суммируя эти равенства, получим S▲BB1C1 + S▲CC1D1 + S▲AA1B1 + S▲DD1A1.Обозначим площадь четырехугольника АВСD через S, тогда площадь четырех построенных треугольников равна 4S, а площадь четырехугольника А1В1С1D1 равна 5S.

Задача 13. Вершина А квадрата АВСD соединена с точкой О – серединой ВС, вершина В – с точкой Е – серединой СD, вершина С – с точкой N – серединой АD, а вершина D – с точкой К – серединой АВ. Точки пересечения проведенных прямых L, M, R, и Р служат вершинами четырехугольника LMRP.

Докажите, что SLMRP=51SABCD.

Решение . ВКDE – параллелограмм, так как ВК = DE и ВК?DE, поэтому ВЕ?КD. АОСN – параллелограмм, так как АN = ОС и АN?ОС, поэтому ОА?СN. Учитывая, что О, Е, N, и К – середины сторон, из теоремы Фалеса следует, что АL = LP, BP = PR, CR = RM и DM = ML. Для большей наглядности дальнейшего хода решения задачи, представим чертеж в другом виде. Дальнейший ход решения совпадает с решением задачи 12.

Продолжим «цепочку» задач, исходной фигурой в которых будет выступать уже треугольник.

Задача 14. На продолжении стороны АВ треугольника АВС взята точка К так, что АВ = ВК. Точка L – середина ВС. Зная, что S▲BKL = S, найдите S▲ABC.

Решение . Сделаем дополнительное построение – проведем отрезок AL. В силу утверждения 2 и использованных на чертежах обозначений S▲ABC = 2S .

Задача 15 . На продолжении сторон треугольника АВС построены отрезки AA1 =AC, BB1 = AB и CC1 = BC . Докажите, что S▲A1B1C1 = 7S▲ABC.

Решение. Произведя дополнительные построения, приняв во внимание обозначения на чертеже и опираясь на утверждение 2, видим, что решение следует непосредственно из чертежа.

Задача 16. На продолжении стороны треугольника АВС взята точка D так, что АС = СD. Пусть М – середина стороны АВ, а К – точка пересечения отрезков ВС и МD. Докажите, что площадь треугольника ВКD равна площади четырехугольника АМКС.

Решение. В треугольнике АВD DМ и ВС – медианы. Поэтому S▲AMD =S▲BMD и S▲ACB = S▲CDB . Эти равенства можно записать так: SAMKC + S▲CKD = S▲MDK + S▲BKD, SAMKC + S▲MBK = S▲CKD + S▲BKD

Сложив эти равенства и упростив выражение, получим SAMCK = S▲BKD .

Опорные задачи, решаемые методом площадей

Метод площадей имеет много разновидностей. Его применяют, например, при замене отношения отрезков, расположенных на одной прямой, отношением площадей треугольников с общей вершиной, основаниями которых являются рассматриваемые отрезки.

При решении задач методом площадей часто применяют основные формулы, выражающие площадь треугольника.

Обозначим, через А, В и С величины соответствующих углов треугольника АВС, а через а, b и с, как обычно, длины противолежащих им сторон, 2р – периметр треугольника, r и R – соответственно радиус вписанной и описанной окружности.

В этих обозначениях для площади треугольника справедливы следующие формулы:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(3.4)

(2.5)

Формулы (1), (4) и (5) хорошо известны, формулы (2), (3) получаются из формулы (1), используя теорему синусов. Формула (4) справедлива для любого описанного многоугольника.

Используя формулу (1) для площади треугольника, можно доказать теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

Теорема. Если – биссектриса угла А треугольника АВС, то .

Доказательство. Пусть угол при вершине А в треугольнике АВС равен . Рассмотрим треугольники и (рис. 10). Их площади относятся как отрезки и .

Используя формулу (2.1) имеем

.

Рассмотрим опорные задачи, решаемые методом площадей.

Пример 1. Пусть две прямые пересекаются в точке А. В и В1 – любые две точки на одной прямой, а С и С1 – на другой. Докажите, что .

Решение. Углы при вершине А треугольников АВС и АВ1С1 либо равны, либо дополняют друг друга до 1800 (рис. 11), то есть в любом случае синусы этих углов равны. Используя формулу (2.1) для площади треугольника имеем .

Пример 2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты точки В1 и С1 так, что , . Докажите, что .

Решение следует непосредственно из предыдущего примера.

Пример 3. Докажите, что длину биссектрисы треугольника АВС можно вычислить по формуле , где , , , А – угол ВАС.

Решение. Учитывая свойство 3 площади, имеем или . Заменив в левой части равенства и сократив обе его части на , получим , откуда .

Рассмотрим еще одну полезную задачу.

Пример 4. Пусть О – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD . Тогда имеет место равенство .

Решение. Пусть и высоты треугольников ABD и CBD , проведенные к стороне BD (рис. 13). Очевидно, что . .

Используя результаты предыдущих задач, рассмотрим еще один важный пример, который в учебнике «Геометрия. 7-9 классы» назван типичной задачей.

Пример 5. В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и СА взяты соответственно точки К, М и Р так, что АК:КВ=2:3, ВМ:МС=3:4, СР:АР=4:5. В каком отношении отрезок ВР делится отрезком КМ?

Решение. Пусть ВР и КМ пересекаются в точке О (рис. 14) и . Так как , , то . Так как , , то . Так как , , то . Следовательно, и .

При решении задач методом площадей следует помнить, что

1) Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

2) Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника. Произведение площадей треугольников прилегающих к противоположным сторонам равны.

Видео:Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадейСкачать

Заключение

Решение задач методом площадей необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ГИА. Владение приемами решения задач методом площадей можно считать критерием знаний основных разделов школьной геометрии.

При разработке данной темы проводилось исследование школьных учебников «Геометрия 7-9».Метод площадей рассматривается только в учебнике . Здесь ему отведен целый раздел. У с помощью этого метода доказывается первый признак подобия треугольников, свойство биссектрисы угла. В учебнике Погорелова эта тема не рассматривается.

В данной работе показано, что тема «Метод площадей» обладает множеством разнообразных задач, направленных на повышение интереса к изучению геометрии, на развитие мышления школьников, на развитие нравственных качеств. Метод площадей это использование формул и свойств площадей при решении задач, в которых может не упоминаться о площадях.

Подобранные задачи и методические рекомендации могут быть использованы учителями математики в их практической деятельности, при организации внеклассной работы, при подготовке к ГИА, что позволяет повысить эффективность обучения геометрии.

Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие данным методом решения задач, успешно справляются с другими задачами.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Литература

1) , , Панферов . 9 класс: Рабочая тетрадь к учебнику «Геометрия 7-9». В 2 ч. Ч.1. М: Дрофа, 200 7 .

2) , Базылев . В 2 ч. Ч.2. М: Просвещение, 2007.

3) , , и другие Геометрия 7-9: Учебник для общеобразоват. учреждений. М: Просвещение, 200 8 .

4) , , Юдина 8 кл.: Решение задач из учебника и др. «Геометрия 7-9». В 2 ч. Ч.1. М: Дрофа, 200 7 .

5) , , Силаев элементарной геометрии. Ч.1. Планиметрия.: Учебное пособие для студентов пед. унив-тов и ин-тов и для учащихся классов с углубл. изучением математики. М: Сантакс-Пресс, 200 7.

6) Барчунова познавательного интереса к геометрии у учащихся 6-7 классов// «Математика в школе», 1974. №6.

7) , , Чернышова в 7-9 классах: (Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию ): Пособие для учителя. М: Просвещение, 201 0.

8) , Глейзер 7-9: Методическое пособие к углубленному курсу развивающего математического образования. М: Институт учебника «Пайдейя», 200 8.

🔥 Видео

#57. Отношение площадей треугольников — самые надежные отношения!Скачать

геометрия ПЛОЩАДИ ФИГУР задачи 8 класс АтанасянСкачать

Найдите отношение площадейСкачать

Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Задание 24 Отношение площадей 3 способа решенияСкачать

Геометрия 8 класс : Задача на площадь прямоугольного треугольника и на соотношение площадейСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Геометрия Раскрыта тайна площадей треугольниковСкачать

Математика Адская задача по геометрииСкачать

Сможешь найти площадь треугольника? Задача про отношение площадейСкачать