задачи на площадь сечения многогранников (6 видео)

Содержание

Практикум по теме «Вычисление площадей сечений многогранников»
«Вычисление площадей сечений многогранников (пирамида)»
Ход урока
Организационный момент (2мин).
1. Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Тестирование с самопроверкой (6 мин).
2. Проверка домашнего задания (5 мин).
3. Решение многовариантной задачи (12мин).
4. Самостоятельная работа в группах по решению задач с использованием готовых чертежей и последующей проверкой или самопроверкой (10 мин).
Задания по теме «Площадь сечения»
Задание №1186
Условие
Решение
Ответ
Задание №1185
Условие
Решение
Ответ
Задание №1180
Условие
Решение
Задачи на площадь сечения многогранников
🌟 Видео

Видео:ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

Практикум по теме «Вычисление площадей сечений многогранников»

Разделы: Математика

Научится решать задачи по геометрии значительно сложнее, чем по алгебре. Помимо знаний и техники владения материалом, здесь требуется некоторое геометрическое видение. По данным статистической обработки результатов вступительных экзаменов в различные вузы геометрические задачи вызывают трудности не только у слабых, но и у более подготовленных учащихся. Как правило, это задачи, при решении которых нужно применить небольшое число геометрических фактов из школьного курса в измененной ситуации, а вычисления не содержат длинных выкладок. Решая, такую задачу, ученик должен в первую очередь проанализировать предложенную в задаче конфигурацию и увидеть те ее свойства, которые необходимы при решении. Выходом из создавшегося положения может служить рассмотрение некоторых вопросов, которые довольно часто встречаются в заданиях экзаменов и которые у многих вызывают затруднения в рамках элективного курса для учащихся 10-11-х класса “Практикум решения задач повышенной сложности по стереометрии”. Основная цель такого курса – познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения геометрических задач и сформировать умение применять полученные знания в “измененных” ситуациях, “нетипичных” задачах. Освоение курса предполагает дальнейшее развитие и формирование учебной, информационной, коммуникативной, ценностно-смысловой компетенций. Модульное построение курса обеспечивает системность и практическую направленность знаний и умений учеников, дает возможность учащимся, пропустившим по каким-либо причинам часть курса, спокойно подключиться к работе во втором или третьем модуле. Для наиболее успешного усвоения данного материала используются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы, выполнение исследовательских и творческих работ. Продвижение, рост ученика фиксироваться через выполнение проверочных, тестовых работ. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть – дома самостоятельно и затем проверяется учителем. После изучения каждого модуля учащимися выполняется мини зачёт по теории и практике, либо в виде письменной работы, либо в виде собеседования. Изучение данного курса заканчивается проведением итоговой контрольной работой.

Основной тип занятий — практикум. Основной формой их проведения являются практические и лабораторные работы, на которых учащиеся самостоятельно упражняются в практическом применении усвоенных теоретических знаний и умений. Средством управления учебной деятельностью учащихся при проведении практикума служит инструкция, которая по определенным правилам последовательно устанавливает действия ученика.

Остановлюсь на одном из уроков-практикумов данного курса:

«Вычисление площадей сечений многогранников (пирамида)»

Прячет с помощью пирамид

горизонтальность свою земля.

Цели и задачи урока: Знакомство учащихся с многовариантными геометрическими задачами, которые являются традиционно сложными для абитуриентов. Способствовать формированию и развитию у учащихся пространственных представлений; закрепить навыки решения задач на вычисление площадей сечений многогранников. Формировать умения анализировать, устанавливать связь между элементами содержания ранее изученного материала, способность к самоанализу, рефлексии. Содействовать развитию интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами, личностной активности учащихся; создать условия для творческой самореализации личности.

Оборудование: персональные компьютеры, раздаточный материал в виде готовых чертежей с задачами, листы для отчета о проделанной работе, модели куба и пирамиды. Презентации (обращайтесь к автору) учителя к уроку и учащихся для проверки домашнего задания.

Ход урока

Организационный момент (2мин).

После проверки готовности класса к уроку, учитель сообщает тему, цели и задачи практикума и отмечает, что урок проходит с использованием компьютерной презентации, выполненной в Power Point. Учитель проводит инструктирование учащихся по технике безопасности при работе в компьютерном классе.

1. Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Тестирование с самопроверкой (6 мин).

Для диагностики и коррекции основных понятий и формул, необходимых на уроке учитель предлагает учащимся ответить на вопросы теста. С условиями заданий теста учащиеся знакомятся с помощью слайдов презентации. Оценивает ответы учащихся компьютер. Максимальная оценка 3 балла – за три правильных ответа. На каждом слайде необходимо нажать кнопку с номером ответа. Неверно выбранный ответ откроет слайд решение задачи или напомнит теоретический материал.

1.Треугольник DKB – сечение в пирамиде ABCD, две соседние боковые грани которой перпендикулярны основанию, . Вычислите площадь сечения DBK, если , AB=5см, BK=4см.

1) таких значений нет; 2) 3) 4)

2.Площади сечения параллельного основанию пирамиды и площадь основания относятся как:

1) ; 2) 3) 4) где, расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения, до плоскости основания пирамиды.

3. Вычислите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды со стороной 4 см, проходящей через точки A,T,D, если точка T середина ребра BS. Диагонали полученного сечения пересекаются в точке O и.

1) таких значений нет; 2) 3) 4)

Мотивация учебной деятельности учащихся (3мин).

Учитель в беседе с учащимися отмечает, что отличительной чертой успешного человека является умение прогнозировать, т.е. строить верные предположения о будущем результате. Это умение можно приобрести при решении нестандартных задач. Это многовариантные задачи, у которых формулировка не допускает точного установления взаимного расположения объектов условия или требования. Решить такую задачу значит рассмотреть все возможные варианты расположения объектов. Далее учитель с помощью слайда презентации выясняет у учащихся ответ на вопрос задачи.

В правильной четырехугольной призме надо вычислить площадь сечения, проходящего через середины смежных ребер основания под углом ? к нему. Какой объект условия приводит к вариативности задачи?

2. Проверка домашнего задания (5 мин).

На прошлом уроке учащиеся класса были разбиты на три группы, каждая их них получила задание: решить многовариантную задачу, рассмотрев один из трех случаев расположения основания равнобедренного треугольника в кубе:

Через вершину B₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁проведена плоскость, пересекающая ребра ВС и АВ и образующая с гранью ABCD угол ?, причем в сечении получен равнобедренный треугольник. Найти площадь сечения, если ребро куба равно a.

Готовясь к уроку, учащиеся каждой группы повторяли теоретический материал по соответствующей теме, подготовили презентацию с решениями трех случаев расположения основания равнобедренного треугольника. Анимация слайдов сложна, но она позволяет проследить все этапы построения сечения в каждом из трех случаев. В ходе проверки учащиеся отмечают, что решения II и III случая аналогичны.

3. Решение многовариантной задачи (12мин).

Учитель предлагает вниманию учащихся задачу:

Основанием пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD, диагональ BD которого составляет со стороной BC угол ?. Все боковые ребра пирамиды имеют длину l, а величина угла ASC равна 2?. Пирамида пересечена плоскостью, равноудаленной от всех ее вершин. Определите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Демонстрация слайда презентации помогает учащимся заметить, что если плоскость пересекает отрезок в его середине, то концы отрезка равноудалены от этой плоскости. Следовательно, секущая плоскость пирамиды, о которой говорится в условии задачи, пересекает ребра пирамиды в их серединах.

Далее в ходе обсуждения условия задачи, устанавливаем, что возможны три принципиально различных положения секущей плоскости. Каждая из трех группы рассматривает один из трех случаев расположения секущей плоскости, выбирает того, кто будет оформлять решение задачи на доске. Представители групп выходят к доске с текстами задач, готовят чертёж, записывают кратко условие задачи и приступают к её решению, получив право свободного перемещения по кабинету для консультации с членами группы, каждый член группы тоже может подойти к доске и помочь товарищу. Учитель при необходимости даёт консультацию работающим у доски ученикам.

задачи на площадь сечения многогранников

I случай:

Точки M,N,P,Q- середины ребер AS, BS, CS, DS.Решение:

Так как боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проектируется в центр описанной окружности основания, в данном случае в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из ,

Четырехугольник гомотетичен прямоугольнику c коэффициентом гомотетии и центром Следовательно,

Решения II и III случая аналогичны, в чем учащиеся убеждаются, сравнивая записи на доске.

II случай:

Точки M,N,P,Q середины ребер AB, BS, CS, DC

Точки M,N,P,Q середины ребер AB, BS, CS, DC.Очевидно – трапеция, причем точка принадлежит Показываем, что

Проведем точка пересечения прямых Так как

то

Очевидно тогда

4. Самостоятельная работа в группах по решению задач с использованием готовых чертежей и последующей проверкой или самопроверкой (10 мин).

Учащиеся каждой группы получают тексты задач по вариантам в печатном виде и на слайдах презентации. Учитель контролирует работу групп, определяет степень усвоения изученного материала. Через определенное время краткое решение задач можно проверить, используя слайды презентации.

Задание для I группы

Задача №1. Дано: правильная четырехугольная пирамида, трапеция, — точка пересечения диагоналей трапеции.,. Найдите .Задача № 2.

Дано: правильная четырехугольная пирамида, . Найдите Задание для II группы

Задача №1. Дано: правильная четырехугольная пирамида, трапеция, N- точка пересечения диагоналей трапеции.. Найдите .Задача № 2. (первая обратная)

Дано: правильная четырехугольная пирамида,

Видео:10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

Задания по теме «Площадь сечения»

Открытый банк заданий по теме площадь сечения. Задания C2 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Задание №1186

Условие

В правильном тетраэдре DABC с ребром 5 на рёбрах AD , BD и AC выбраны точки K , L и M соответственно так, что KD=MC=2, LD=4.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью KLM .

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение

а) Так как AK=AM=5-2=3, то triangle AKM равнобедренный.

Так как в этом равнобедренном треугольнике angle KAM=60^, то он равносторонний, то есть

KM=3. Тогда KM parallel DC, так как равны соответственные углы при прямых KM , DC и секущей AD .

Построим LN parallel DC. Так как в этом случае LN parallel KM, то точки K , L , N и M лежат в одной плоскости, то есть трапеция KLNM есть искомое сечение.

б) 1. triangle BLN sim triangle BDC, так как LN parallel DC. Следовательно, triangle BLN является равносторонним и LN=BN=BL =BD-LD=5-4=1.

2. triangle DKL=triangle CMN, так как DK=CM =2, DL=CN=4 и angle KDL=angle MCN=60^. Значит, KL=MN и KMNL — равнобедренная трапеция.

Опустим в ней высоту LH . Отсюда, KH =frac2=frac2=1.

3. По теореме косинусов для triangle KDL получим:

KL^2= KD^2+DL^2-2cdot KDcdot DLcdot cos 60^= 2^2+4^2-2cdot 2cdot 4cdot frac12= 12.

4. По теореме Пифагора LH= sqrt = sqrt = sqrt .

5. S_= frac12(KM+LN)cdot LH= frac12(3+1)cdot sqrt = 2sqrt .

Ответ

Видео:Как строить сеченияСкачать

Задание №1185

Условие

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания равна 9 , боковое ребро равно 14 . Точка K принадлежит ребру A_1B_1 и делит его в отношении 2:7, считая от вершины A_1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A , C и K , является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение

а) Плоскость сечения пересекает плоскость верхнего основания по прямой, проходя-щей через точку K и параллельной AC (по свойству параллельности плоскостей). Тогда плоскость AKC пересекает ребро B_1C_1 в точке L так, что KL parallel AC. Следовательно, искомым сечением будет трапеция AKLC .

KB_1parallel AB, B_1Lparallel BC, KLparallel AC. Значит, треугольники KB_1L и ABC подобны и являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Тогда KB_1=B_1L и A_1K=C_1L. Треугольники AA_1K и CC_1L равны, следовательно, AK=CL и трапеция AKLC — равнобедренная.

б) Найдём площадь трапеции AKLC .

A_1K=frac29A_1B_1 =frac29cdot 9=2.

Из triangle AA_1K,, AK = sqrt = sqrt = 10sqrt 2.

AC=ABsqrt 2=9sqrt 2; KL =frac79AC=frac79cdot 9sqrt 2=7sqrt 2.

Так как трапеция AKLC — равнобедренная, имеем

Из triangle AKH,, KH= sqrt = sqrt = sqrt .

S_=frac2cdot KH,= 8sqrt 2cdot sqrt =48sqrt .

Ответ

Видео:Сечения многогранниковСкачать

Задание №1180

Условие

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1 B_1C_1 D_1 сторона основания равна 7 , а боковое ребро — 12 . На рёбрах A_1D_1, C_1D_1 и CB взяты точки F, К, L соответственно так, что A_1F=C_1K=CL=3.

а) Пусть P — точка пересечения плоскости FKL с ребром AB . Докажите, что FKLP — прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью FKL.

Решение

а) Найдём положение точки P . Эта точка пересечения плоскости FKL и ребра AB, лежащего в плоскости ABCD.

Плоскость ABCD параллельна плоскости A_1B_1C_1D_1, в которой лежит отрезок KF. Плоскость FKL пересекает параллельные плоскости ABCD и A_1B_1C_1D_1 по параллельным прямым, отсюда KF parallel LP. Прямоугольные треугольники KD_1F и LBP равны по катету и острому углу D_1F=LB=4 и angle D_1FK=angle BLP как острые с соответственно параллельными сторонами).

Чтобы доказать, что четырёхугольник FKLP — прямоугольник, найдём длины его сторон и диагонали.

PF= LK = sqrt = sqrt = sqrt = 9sqrt 2. Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, значит, это параллелограмм. Проведём A_1A_2 parallel LF, тогда LF= A_1A_2 = sqrt = sqrt = PK. Диагонали параллелограмма равны, следовательно, FKLP — прямоугольник.

б) Пусть Q и R — точки пересечения прямой KF и прямых B_1C_1 и A_1B_1. Проведём прямые RL и QP , они пересекут рёбра CC_1 и AA_1 в точках M и N соответственно. Тогда RC_1=KC_1=CL, поэтому можно доказать, что равны треугольники RC_1M и MCL. Прямая RL , а значит, и плоскость FKL пересекают ребро CC_1 в его середине — точке M . Аналогично плоскость FKL пересекает ребро AA_1 в его середине —точке N .

В диагональном сечении CC_1A_1A, которое является прямоугольником, отрезок MN — средняя линия. В прямоугольнике MCAN противоположные стороны равны: MN=CA=7sqrt 2.

Сечение FKMLPN состоит из двух равных трапеций MKFN и MLPN , причём

мы доказали, что LK perp KF и LK perp LP. Высота каждой из этих трапеций равна frac2=frac2.

S_<text>= 2S_= 2cdot frac2cdot frac2= (4sqrt 2+7sqrt 2)cdot frac2= 99.

Видео:#3. КАК СТРОИТЬ СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ?Скачать

Задачи на площадь сечения многогранников

В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A₁C₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B₁C₁ в точке K. Трапеция ABKN — искомое сечение.

б) Имеем A₁N= 3, так как точка N — середина ребра A₁C₁. Значит, Аналогично BK = 5.

Далее NK = 3, как средняя линия треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, искомый периметр сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L — середине AB. В основании ABCD через точку L проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с ребром СD в точке M — его середине. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM и пересекает ребро PD в его середине N.

Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.

б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP, а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD, следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KF этой трапеции. Тогда и из прямоугольного треугольника KLF находим

Окончательно получаем

Ответ:

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E = 6EA. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 12, AA₁ = 14.

а) Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 4 : 3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.

а) Проведём отрезок и в плоскости грани проведём через точку T прямую, параллельную Эта прямая пересечёт ребро в точке Точка F лежит в плоскости Треугольники и подобны, как треугольники с параллельными сторонами, следовательно,

Таким образом, Тогда и

б) Четырёхугольник — сечение параллелепипеда плоскостью Поскольку стороны FT и параллельны, но не равны. Четырёхугольник — трапеция. Продолжим боковые стороны EF и до пересечения в точке Точка T — середина поэтому отрезок FT — средняя линия треугольника Из равенства треугольников и получаем откуда то есть трапеция — равнобедренная.