задачи на площадь из егэ

Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать

Задание по планиметрии.

Этот раздел содержит геометрические задачи ЕГЭ по математике на следующие темы:

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номерами 5, 10, 15 для базового уровня и под номером 3 для профильного уровня.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Задачи на формулы площади.

Среди этих задач есть как прямые, так и обратные. Прямыми мы здесь называем задачи, в которых по данным элементам фигуры нужно найти её площадь. Обратными — в которых площадь известна и, наоборот, нужно найти какой-либо из элементов фигуры. Простейшие примеры таких задач:

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S = ab/2 = 5×8/2 = 20.

Ответ: 20

Замечание: Это самый простой вариант задачи, когда ответ сразу получается по формуле площади для заданной фигуры.

Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S = ab/2. Подставим в эту формулу известные величины: площадь S = 16 и один из катетов, пусть это будет а = 4. Получим 16 = 4b/2 или 4b/2 = 16, b = 8.

Ответ: 8

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Способ I.
Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой S = d 2 /2. Следовательно S = 1 2 /2 = 0,5.

Способ II.
Обозначим сторону квадрата символом а. Тогда его площадь S = a 2 , a диагональ d = a· √2 _ . (Это либо помним наизусть, как формулу из учебника, либо находим по теореме Пифагора: d 2 = a 2 + a 2 .)
Подставляем известные значения и находим неизвестные с помощью алгебраических преобразований: d = 1 (по условию), следовательно 1 = a· √2 _ . Отсюда a = 1/ √2 _ и S = (1/ √2 _ ) 2 = 1/2 = 0,5.

Ответ: 0,5

Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ можно посмотреть здесь.

Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

Способ I.
Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой S = d 2 /2. Подставим в эту формулу известную величину площади (S = 2), тогда 2 = d 2 /2 или d 2 /2 = 2, d 2 = 4, d = 2.

Способ II.
Обозначим сторону квадрата символом а. Тогда его площадь S = a 2 , a диагональ d = a· √2 _ .
Подставляем известные значения и находим неизвестные с помощью алгебраических преобразований: S = 2 (по условию), следовательно 2 = a 2 . Отсюда a = √2 _ и d = √2 _ · √2 _ = 2.

Ответ: 2

Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ можно посмотреть здесь.

Решая эти пары задач, вы могли заметить, что разница между ними только в порядке использования формул при алгебраических преобразованиях. (Мы, обычно, используем формулы, двигаясь от известного к неизвестному.) Дополнительных знаний геометрии здесь не требуется. Поэтому не бойтесь обратных задач так же, как и любых других с неожиданной формулировкой условия. Если вам знаком сам геометрический объект и его элементы: квадрат, диагональ. то с заданием вы справитесь.

Только необходимо убедиться, что среди понятий, перечисленных ниже, действительно нет незнакомых:
четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
треугольники: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний.
отрезки: сторона, высота, основание, диагональ, катеты, гипотенуза, средняя линия, диаметр, радиус, хорда.
характеристики: подобные фигуры, периметр, градус, радиан.
Чтобы сделать такую проверку быстро, пройдите мои тесты по планиметрии. Если вдруг найдутся доселе неизвестные вам понятия — срочно открывайте учебник геометрии, а еще лучше справочник по математике с алфавитным указателем.

А затем ещё раз проверьте себя:
Окружность и круг одно и то же или нет?
Что больше площадь кругового сектора или площадь кругового сегмента, если длины их дуг равны?

Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

Известны стороны прямоугольника, значит легко найти его площадь: S_пр = 4×9 = 36.
Площадь квадрата S_кв = a 2 , где а — его сторона. По условию S_кв = S_пр = 36. Следовательно 36 = a 2 или a 2 = 36, a = 6.

Ответ: 6

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1 : 2.

Обозначим стороны прямоугольника символами a и b. Тогда его площадь S = ab, периметр P = a + b + a + b = 18, отношение сторон a : b = 1 : 2 или a/b = 1/2. Из двух последних равенств найдем a и b. (Например, можно записать и решить их как систему уравнений.)
a/b = 1/2, значит b = 2a. Тогда P = 2a + 2b = 2a + 4a = 6a = 18, a = 3, b = 6. Площадь S = 3×6 = 18.

Ответ: 18

Задачи на площадь прямоугольника относятся к самым простым, но всё-таки иногда их трудно решить без чертежа. При наличии в Вашем браузере плагина для Flash решения следующих 2-ух задач можно посмотреть с привлечением интерактивных анимаций. Для этого перейдите на страницу Задание по планиметрии — прямоугольник. Дождитесь загрузки и пользуйтесь внутренней кнопкой для пошагового просмотра. Не забудьте вернуться и продолжить решение задач с другими фигурами.

Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

Ответ: 48

Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4 : 5, а другая сторона равна 6. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 48

Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

Площадь квадрата выражается через его диагональ формулой S = d 2 /2. Тогда S₁ = d₁ 2 /2 = 100/2 = 50 и S₂ = d₂ 2 /2 = 36/2 = 18. Разность площадей S₁ − S₂ = 50 − 18 = 32, следовательно S₃ = d₃ 2 /2 = 32 и d₃ 2 = 64, d₃ = 8.

Ответ: 8

Замечание: Анимацию для запоминания формулы площади квадрата через его диагональ можно посмотреть здесь.

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженной на синус угла между ними. S = (bc/2)·sinα = (8×12/2)·sin30° = 48·sin30°.
sin30° = 1/2, таким образом S = 48×(1/2) = 24.

Ответ: 24

Замечание: Эта задача тоже из простейших — на применение формулы из учебника.

Площадь остроугольного треугольника равна 36. Две его стороны равны 6 и 24. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженной на синус угла между ними. S = (bc/2)·sinα. Подставим в формулу известные величины: 36 = (6×24/2)·sinα.
Получим 36 = 72sinα или 72sinα = 36, sinα = 1/2, α = 30°.

Ответ: 30

Замечание: Угол по значению его синуса можно находить по таблицам, по графику, по кругу. Но предполагается, что значения таких простых углов вы так часто использовали на уроке, что уже запомнили наизусть. И обратите внимание, в условии сказано, что треугольник остроугольный. Это подсказка — угол находится в первой четверти.

Тема «решение задач на формулы площади плоских фигур» неисчерпаема. Вы должны знать несколько формул для площади треугольника, формулы площадей четырехугольников (параллелограмма, трапеции, ромба), круга и кругового сектора, правильного многоугольника. Прототипов таких задач в банке заданий, пожалуй, больше, чем в других группах. К сожалению, нереально поместить все в пределах одной страницы сайта. Постараюсь дополнять по мере занятий с учениками. Следите за обновлениями.

Видео:Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.

Эта группа задач следующего типа: дано изображение геометрической фигуры на клетчатой бумаге, требуется найти площадь этой фигуры. В связи с тем, что в этом разделе предполагается много рисунков, то большинство задач вынесено на flash-страницу сайта. Ссылка расположена ниже.

Сейчас мы обсудим главное — эту задачу может решить любой школьник, независимо от того, насколько хорошо он усвоил курс геометрии. Навыки, необходимые для решения этой задачи, вы начали приобретать еще в детском саду, когда впервые взяли в руки ножницы и бумагу. Вопрос только в том, насколько эффективно вы сможете распорядиться своим экзаменационным временем. Для доказательства этого положения, я беру одну и ту же задачу и решу её несколько раз.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотрите на рисунок, там указан масштаб. Видно, что размер одной клетки равен 1 см (это же сказано и в условии), соответственно, площадь одной клетки равна 1 см 2 . Поэтому требование дать ответ в квадратных сантиметрах равносильно требованию дать ответ в клеточках.

Первое решение рассмотрим в предположении, что вы хорошо знаете формулы и определения. Чтобы мне было легче объяснять его, я обозначу буквами A, B, C, D вершины заданного четырёхугольника. Итак:

ABCD — трапеция, т.е. четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. На рисунке параллельны стороны ВС и AD, они проходят по вертикальным линиям сетки, значит они являются основаниями трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту (обозначим её — h). Длину оснований определяем простым подсчётом клеточек на рисунке. ВС = 2, AD = 4. Как определить h? Вспомним, что высота трапеции это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Обычно, для определения этого расстояния, нужно из какой-либо вершины трапеции опустить перпендикуляр на противолежащую параллельную прямую, но здесь у нас такие перпендикуляры уже есть — это горизонтальные линии сетки. Возьмем, например, линию, на которой находятся точки А и С, на ней укладывается ровно 4 клеточки. Следовательно h = 4. Подставляем значения в формулу:

Второе решение относится к случаю, когда вы уверенно помните только самые простые формулы площади: площадь прямоугольника S = a· , где a и стороны, и площадь прямоугольного треугольника S = a· /2, где a и катеты. Суть метода заключается в том, что нам нужно разбить заданную фигуру на эти простые части по линиям сетки.

Проводим дополнительную линию AC, которая «разрезает» нашу трапецию на два прямоугольных треугольника. Первый с катетами AC = 4 и BC = 2, его площадь S 1 = 4×2/2 = 4. Второй с катетами AC = 4 и AD = 4, его площадь S 2 = 4×4/2 = 8. (Длины сторон мы также определили прямым подсчётом клеточек.)
Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ACB и DAC.
S = S 1 + S 2 = 4 + 8 = 12.

Третий способ требует тех же самых знаний, что и второй, только немножко иного взгляда на картинку. Теперь мы будем не «разрезать» нашу трапецию на части, а «вырезать» её из прямоугольника, стороны которого проходят по линиям сетки через вершины заданной трапеции.

Проводим горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения с горизонтальными. Точки пересечения обозначим символами E и F. Получили прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь 6×4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC.
S AEB = AE·EB/2 = 2·4/2 = 4 и S DFC = DF·FC/2 = 4·4/2 = 8
Следовательно, площадь трапеции равна
S = 24 − 4 − 8 = 12.

И, наконец, последний, четвертый способ нужен на случай, когда вы вообще не знаете никаких формул, но обладаете хорошим воображением. Способ сродни решению головоломки — как разрезать плоскую фигуру на части, чтобы из этих частей, используя каждую из них одинаковое число раз, сложить прямоугольник? Затем, просто посчитать количество клеточек внутри прямоугольника, и разделить на число повторов деталей заданной фигуры. Смотрите, пример.

Проводим дополнительную линию AC и «разрезаем» трапецию на две части, как в решении вторым способом. Проводим дополнительные линии и строим вершины E и F, как в решении третьим способом. Убеждаемся в том, что получившиеся зеленые и желтые треугольники попарно равны (подсчетом клеточек на соответствующих сторонах). Значит, для построения прямоугольника детали заданной фигуры использованы 2 раза, один комплект желтый, второй — зеленый. Считаем общее количество клеточек в закрашенном прямоугольнике. Получается 24. Делим на 2. 24/2 = 12.

Комментарии к выбору способа решения.

1) Из-за разнообразия фигур, которые могут встретится в задании, нельзя рекомендовать однозначно лучший.
2) Большинство задач можно решить любым из этих способов. Выберите наиболее понравившийся лично вам, и потренируйте его на разных задачах.
3) Первый способ, опирающийся на знание формул, бывает необходим, когда в задании присутствует круг или его часть. Круг нельзя разрезать на прямоугольники, и треугольники. Нужно на чертеже найти центр круга и линию сетки, которая касается окружности, определить по клеточкам радиус и подставить в формулу.
4) Второй и третий способ нужны, если многоугольник, площадь которого требуется вычислить, не стандартный: не трапеция, не ромб, не параллелограмм . т.е. если таких формул вы не учили. При этом второй способ лучше, когда у многоугольника есть стороны, лежащие на линиях сетки, а третий — когда нет.
5) Четвертый способ хорош тем, что начав его тренировать, вы быстро научитесь находить ответ раньше, чем дойдете до пересчета клеточек в прямоугольнике. (Предложение делать это — почти шутка.) Этот способ решения фактически комбинация второго и третьего.
6) И главное , что касается всех способов, следите за тем, чтобы вершины всех ваших фигур и их частей находились в узлах сетки .

Комментарии к задаче.

Текстовая часть постановки задач на эту тему практически не изменялась с момента её появления в банке заданий ЕГЭ. Она почти всегда такова: «Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см . Ответ дайте в см 2 .» От варианта к варианту могут изменяться вид фигуры, единица измерения длины, например, сантиметр на метр, вводные слова, например, в демоверсии базового уровня есть обоснование практической значимости «План местности разбит на клетки . Найдите площадь участка, изображенного на плане . »
Но давайте сравним чертежи, которыми сопровождаются эти задачи.

С одной стороны, явно прослеживалась тенденция к усложнению задания для профильного уровня и упрощению для базового, с другой стороны, эти различия были очень незначительны с точки зрения необходимых математических навыков. Если посмотреть эту задачу в Демонстрационном варианте базового уровня 2022 года, то по сравнению с предыдущими годами для обоих уровней более востребованным станет способ решения, опирающийся на знание формул площадей геометрических фигур. Но никто и ничто не мешает Вам аккуратно продолжить линии сетки за пределы заштрихованной фигуры и получить основу для выбора предпочтительного способа решения. Разница только во времени, которое будет затрачено на выполнение этого задания.
В любом случае помните — ЕГЭ по математике не проверяет ваш глазомер! Поэтому ни для каких расчётов не используйте отрезков, начало или конец которых не связаны с узлами сетки.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.

Чем отличаются задачи этого типа от предыдущих? Почти ни чем. Координатная плоскость — та же самая сетка. Только линии этой сетки пронумеровали, а затем стерли, а на фигуре написали на каких линиях были расположены её вершины. Когда? Еще в 17-ом веке. Зачем? Чтобы как-то, хотя бы условно, изображать большие и несоразмерные фигуры, которые не помещаются на рисунке в нормальном масштабе.

Из этих соображений, следуют два способа решения задач:
Первый, самый надежный, — выучить понятия и формулы из раздела «Декартовы координаты на плоскости и в пространстве».
Второй, самый простой для тех, кто разобрался с предыдущей задачей, — восстановить сетку.

Решение вторым способом более очевидное. Теоретически так можно решать любую задачу на координатную плоскость, но это может оказаться значительно медленнее, чем первым способом, и потребовать «немеряного количества» бумаги. (Иначе не надо было бы изобретать координаты.) Поэтому здесь мы рассмотрим те задачи, для которых решение восстановлением сетки достаточно быстрое и компактное, а затем еще раз вернемся к понятию координатной плоскости в следующем разделе.

Найдите площадь четырёхугольника,
вершины которого имеют
координаты (3, 2), (7, 6), (7, 8), (3, 6).

Оси координат — это линии сетки, с которых начинается нумерация. Ось Ox — нулевая горизонтальная линия, ось Oy — нулевая вертикальная линия. Запись «координаты (3, 2)» означает, что точка находится на 3-ей вертикальной линии сетки и на второй горизонтальной, аналогично «координаты (7, 6)» — на 7-ой вертикальной и 6-ой горизонтальной, и т. д. Рисуем нужное количество линий на заданном чертеже. Результат на рисунке слева. Видно, что этот рисунок очень похож на рисунок к условию предыдущей задачи. А, если не обращать внимания на оси, то абсолютно тот же (это потому, что для примера я специально выбрала задачу с той же самой трапецией). Значит решать можно любым из представленных выше четырёх способов. Например, разбиваем трапецию на два прямоугольных треугольника и вычисляем:
S 1 = 4×2/2 = 4. S 2 = 4×4/2 = 8.
S = S 1 + S 2 = 4 + 8 = 12.

Следующую задачу постарайтесь сначала решить самостоятельно, а затем проверьте своё решение.

Найдите площадь четырехугольника,
вершины которого имеют
координаты (4, 2), (8, 4), (6, 8), (2, 6).

На рисунке в условии задачи пунктиром показаны отрезки линий сетки, которые проходят через вершины четырёхугольника (здесь это 2-я, 4-я, 6-я и 8-я линии как по вертикали, так и по горизонтали). Дорисовываем весь участок сетки в окрестности заданной фигуры. Решаем задачу так, как если бы она была задана на клеточках, без координатных осей. У нашего четырёхугольника нет сторон, лежащих на линиях сетки, поэтому выберем третий метод из предыдущего раздела — метод «вырезания».
Строим внешний прямоугольник, стороны которого проходят по сетке через вершины заданного. Прямым подсчетом клеточек убеждаемся в том, что красная линия на чертеже ограничивает квадрат со стороной 6 единиц, значит его площадь равна S_кв = 36 ед. 2 , а четыре зеленых прямоугольных треугольника равны между собой и имеют катеты 2 ед. и 4 ед., площадь каждого из них равна 2×4/2 = 4.
Следовательно, искомая площадь желтого четырехугольника равна
S = 36 − 4×4 = 20.

Ответ: 20

Замечания:
1) По рисунку видно, и равенством зеленых треугольников подтверждается, что заданный четырёхугольник тоже квадрат. Но нам здесь это даже не потребовалось.
2) В качестве упражнения на развитие воображения попробуйте найти эту площадь вторым методом из предыдущего раздела — методом разрезания желтого квадрата по линиям сетки на простые части.

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.

Видео:Задача 8 ЕГЭ по математике #1Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике (профиль) часть 5

Тренажер задания 3 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Здесь приведены прототипы задания 3 — задачи на площади треугольников, параллелограмма, ромба, трапеции и прямоугольника. Это задание на планиметрию. Номер заданий соответствует номеру заданий в базе mathege.ru.

Видео:Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профильСкачать

Площадь треугольника

27617. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.

27623. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

27589. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30º. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150º. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

27591. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30º.

27620. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30º. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.

27621. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150º. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 10.

27619. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

27618. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

27624. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Видео:Новое задание базового ЕГЭ (найдите площадь великого озера)Скачать

Параллелограмм

27610. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

27611. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

27612. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

319056. Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма A’B’C’D’, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

319057. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.

Видео:✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2023. Математика. Профильный уровень. Задание 13 | Борис ТрушинСкачать

Ромб

27613. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30º.

27614. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

27615. Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.

27616. Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Видео:ЕГЭ по математике | профиль - Задание 1 (Задачи на площадь треугольника)Скачать

Прямоугольник

27605. Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

27582. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Трапеция

27631. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

27635. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

27637. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150º. Найдите площадь трапеции.

27632. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

27636. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

27633. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45º.

27634. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

27638. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

317338. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.

319058. Площадь треугольника ABC равна 12. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABDE.

27640. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

Видео:ЗАДАНИЕ 2 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ СОСТАВНОГО МНОГОГРАННИКА.Скачать

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

💡 Видео

Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать

✓ Площадь сечения | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

ВСЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ НА БАЗОВЫЙ ЕГЭ-2023 // КОНЦЕНТРАТ // МАТЕМАТИКАСкачать

КАК ЗАПОМНИТЬ ОБЪЕМЫ ВСЕХ ФИГУР? #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

✅ Площадь параллелограмма. Решаем задачу из ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать