задачи на максимальную площадь (4 видео)

Содержание

Задачи на экстремумы. Оптимизации
Задачи на экстремумы. Оптимизации
Пример задачи на максимальный объем
Пример задачи на минимальное потребление
Пример задачи на минимальное потребление материала.
Решение геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с помощью производной
Планиметрические задачи
Задачи на максимальную площадь
🔍 Видео

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Задачи на экстремумы. Оптимизации

Содержание:

Видео:Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Задачи на экстремумы. Оптимизации

В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.

Замечание 1: На интервале должны учитываться предельные значения функции на концах.

Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума — наименьшее значение.

Пример задачи на максимальный объем

Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности 192 см². Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?

Решение:

Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле . Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную . Вычислим площадь поверхности коробки. Она равна 192 см² и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.

. Тогда выразим и подставим в формулу . Зависимость объема коробки от переменной можно выразить следующим образом:

Теперь найдем область определения функции , согласно условию задачи.

Понятно, что длина не может быть отрицательной, т.е. . Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т.е.

или Значит,

Найдем максимальное значение функции на интервале Для этого используем производную первого порядка:

При и имеем, что .

Однако, . Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является .

При имеем , при имеем , функция в точке принимает максимальное значение.

Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна , 192 — 82

Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами 8см х 8см х 4см.

Построив при помощи графкалькулягора график функции , также можно увидеть, что при объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.

Пример задачи на минимальное потребление

Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.

Решение:

1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.

2) Аналитически выразим зависимость между переменными.

• Длину проволоки обозначим через . Часть проволоки от каждого столба обозначим соответственно через и , тогда .

• Величина изменяется в зависимости от точки крепления на земле. Обозначим одно из них через , тогда другое будет равно 12-. Выразим величины и через переменную .

По теореме Пифагора:

зависимость функции от переменной будет

Производная функции :

Найдем критические точки функции :

Сравнивая значения функции в точках , , (это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при (метр)

При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!

1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.

2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.

3. Выберите соответствующий параметр и выразите искомую величину функцией . Найдите экстремумы данной функции.

4. Полученные значения объясните экспериментально.

Пример задачи на минимальное потребление материала.

Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250 см³.

a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?

b) Для круглого основания используется материал, цена 1 см² которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 см² которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?

Решение:

а) По условию задачи объем равен 250 см³. Эти данные дают нам возможность найти зависимость между и .

Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении , где , функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции .

Критическая точка функции: При имеем , при .

Значит,

Подставим значение в формулу для высоты , получим .

Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами см и см.

Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными см, см.

Должны ли совпадать результаты, полученные в пунктах а) и b)? Проведите обсуждение.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Математика: полный курс решений задач в виде лекций

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Максимальная площадь прямоугольника, вписанного в гистограммуСкачать

Решение геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с помощью производной

Видео:Максимальная площадь прямоугольника (гениальный подход) #математика #геометрия #площадь #периметрСкачать

Планиметрические задачи

Задача 1.Написать уравнения касательной и нормали к графику функциив данной точке, если:

Решение. Уравнение касательной будем искать по формуле ; уравнение нормали — по формуле По условию, .

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

Теперь находим уравнение нормали:

Ответ: уравнение касательной:; уравнение нормали:

Задача 2.Написать уравнения касательной и нормали в точке

Подставим полученные решения в равенство

Найдем производную функции, заданной параметрически .

Подставляем все найденные значение в уравнение касательной:

Теперь находим уравнение нормали:

Ответ: уравнение касательной: уравнение нормали: .

Задача 3. Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

Решение. Угол между кривыми находится по формуле

Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:

Таким образом, кривые пересекаются в точках .

Далее найдем значения производных заданных функций в точках пересечения.

производный дифференцирование уравнение планиметрический

Подставляем найденные значение в формулу нахождения угла:

Ответ: в точке угол равен 0 (т.е. касательные совпадают), в точке угол равен .

Задача 4. Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей [7]?

Обозначим одну из сторон за, тогда вторая сторона:

Площадь такого прямоугольника составит:

Требуется найти максимум функции .

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз.

Определим критические точки: .

Так, — точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа — отрицательна.

Очевидно, что — точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.

Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.

Задача 5. Площадь прямоугольника составляет . Каковы должны быть его размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?[7]

Пусть стороны прямоугольника равны . Тогда:

Периметр такого прямоугольника составит:

Требуется найти минимум данной функции. Найдём производную:

Найдем точки экстремума:

Очевидно, что , поэтому нас интересует точка .Слева от нее производная отрицательна, а справа — положительна.

Так, — точка минимума.

Ответ: чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны составить 4 см.

Задача 6. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах заданного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. Найти условия, при которых площадь параллелограмма является наибольшей [2].

Пусть треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними (рис.4). Построим параллелограмм в соответствии с условиями задачи. Обозначим стороны параллелограмма Площадь параллелограмма определяется формулой

Выразим через и стороны треугольника . Из подобия треугольников и следует, что

В результате площадь записывается как функция:

Отсюда видно, что экстремум функциисуществует в следующей точке:

При переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус, то есть эта точка является точкой максимума. Другая сторона параллелограмма при этом равна

Итак, вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами имеет наибольшую площадь при условии

где стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла между сторонами треугольника.

Ответ: площадь параллелограмма является наибольшей при условии

где стороны треугольника.

Задача 7.Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти треугольник с наибольшим периметром [2].

Пусть треугольник вписан в окружность данного радиуса ,

(независимая переменная) (рис.5). Выразим периметр треугольника как функцию . По теореме синусов:

. Найдем, при каком значении функция принимает наибольшее значение на данном интервале

следовательно, точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке. Таким образом, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Ответ: среди всех равнобедренных треугольник, вписанных в данную окружность, с наибольшим периметром является равносторонний треугольник.

Задача 8.Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом.

Периметр окна равен . Определить радиус полукруга , при котором площадь окна является наибольшей (рис.6) [2].

Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна . Другую сторону обозначим через . Периметр всего окна выражается формулой

Площадь окна составляет:

Полученное выражение представляет собой функцию . Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

Определяем стационарные точки:

Поскольку вторая производная отрицательна:

то найденная точка является точкой максимума, т.е. при этом значении площадь окна будет наибольшей.

Само максимальное значение площади составляет

Ответ: радиус полукруга , при котором площадь является наибольшей.

Видео:Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Задачи на максимальную площадь

Слово «изопериметрический» происходит от слов «изос» (по-гречески «равный») и «периметр». Изопериметрическая задача (на плоскости) состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь среди всех фигур с одним и тем же периметром. Решение изопериметрической задачи является также решением и другой задачи, а именно: найти фигуру наименьшего периметра среди всех равновеликих фигур.

В самом деле, пусть среди фигур, имеющих периметр наибольшая площадь – у фигуры и эта площадь равна Рассмотрим произвольную другую фигуру той же площади. Пусть ее периметр равен Рассмотрим подобную ей фигуру с периметром Площади фигур и относятся так же, как квадраты периметров, то есть как к , поэтому площадь фигуры равна Поскольку ее периметр, по предположению, равен ее площадь меньше, чем у фигуры то есть меньше А значит, откуда Получается, что фигура имеет меньший периметр, чем любая другая равновеликая ей фигура.

Вообще, поскольку у подобных фигур площади пропорциональны квадратам периметров, у всех них одинакова величина 2 , а у фигур разной формы эта величина может отличаться. У фигур, представляющих решение изопериметрической задачи (независимо от размера), величина 2 должна быть наибольшей.
(В дальнейшем будем называть эту величину изопериметрическим частным ).

Заметим, что задача о наименьшей площади фигур с одним и тем же периметром особого смысла не имеет: например, при данном периметре можно делать все меньше и меньше одну из сторон прямоугольника (), другая же его сторона, равная (/2 – ), ограничена сверху величиной /2, а значит, площадь этой фигуры будет не больше /2. Даже если, например, = 1 000 000 км, можно сделать площадь 2 , если положить = 2∙10 –8 мм; если надо получить еще в 1000 раз меньшую площадь, надо и уменьшить в 1000 раз, и т. д. Таким образом, минимальной площади при данном периоде не существует: площадь может сколь угодно мало отличаться от нуля.

По аналогии с указанной изопериметрической задачей на плоскости можно рассмотреть и пространственную изопериметрическую задачу: какое трехмерное тело среди всех тел той же площади поверхности имеет наибольший объем. Уже древнегреческим математикам был известен ответ в изопериметрической задаче: в плоском случае искомая фигура – это круг (а в пространственном – шар). На эту мысль, наводит, во-первых, непосредственное сравнение площадей некоторых фигур равного периметра (или равной площади поверхности). Посмотрите на зависимость изопериметрического частного от формы плоских фигур.

Во-вторых, некоторые физические соображения также показывают, что ответ в изопериметрической задаче – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри не случайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности. Характерно также, что кошки, когда холодно, спят, максимально сворачиваясь в клубок: так они уменьшают площадь поверхности тела, поскольку, чем меньше поверхность, тем меньше тепла они расходуют во внешнее пространство.

В третьих, древние греки считали круг наиболее совершенной фигурой (она максимально симметрична, именно такую форму имеют небесные тела и их орбиты). Это соображение увеличивало их уверенность в том, что именно круг, помимо других своих интересных свойств, должен также быть решением изопериметрической задачи.

Но вот геометрически древние греки доказать этого не могли, хотя и пришли к ряду частных, но важных результатов на эту тему, в том числе, в решении разнообразных задач о том, у какой фигуры определенного типа с заданными условиями площадь имеет наибольшее значение. Исследования такого рода имели не только теоретическое, но и практическое значение: при разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей кусков большого периметра и маленькой площади; периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка земли по периметру.

Наверное, один из самых простых результатов на тему изопериметрических фигур – теорема о том, что из всех прямоугольников одинакового периметра наибольшую площадь имеет квадрат. В самом деле, пусть периметр всех рассматриваемых прямоугольников равен 4, а у данного прямоугольника две большие стороны равны каждая, а две меньшие, соответственно, каждая. Тогда площадь прямоугольника равна , то есть она не меньше 2 и достигает своего наибольшего значения тогда, когда прямоугольник является квадратом со стороной .

В «Началах» Евклида имеется единственная задача на максимум площади. Требуется в данный треугольник вписать параллелограмм наибольшей площади. Попробуйте экспериментальным путем найти искомый параллелограмм.

Ответ в этой задаче таков: параллелограмм имеет наибольшую площадь, когда точка делит сторону пополам. Евклид доказывает этот результат с помощью подобия треугольников. На первый взгляд кажется, что данная задача не имеет большого отношения к изопериметрическим задачам: в самом деле, периметры рассматриваемых параллелограммов не равны друг другу. Тем не менее, если «сдвинуть» вершину параллельно стороне , то площади параллелограмма и треугольников , и не изменятся (потому что не изменятся их высоты и основания). Задача при этом сводится к такой: в данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади.

Далее: если пропорционально сжать или растянуть этот прямоугольный треугольник вдоль одного из катетов так, чтобы катеты стали равны, то высоты данных прямоугольника и треугольников изменятся в одном и том же отношении, а задача примет следующий вид: в данный прямоугольный равнобедренный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади.

Это задача вполне изопериметрическая: нетрудно видеть, что все рассматриваемые прямоугольники имеют один и тот же периметр – насколько увеличивается одна сторона, настолько уменьшается другая. Но решение изопериметрической задачи для прямоугольников мы уже знаем, это квадрат, а его вершина делит гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника пополам. Значит, и в исходной задаче вершина искомого параллелограмма делит соответствующую сторону треугольника пополам.

Зенодор (II в. до н. э.) написал целый трактат «Об изопериметрических фигурах». Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении математиков Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.), в том числе следующие теоремы:

из двух треугольников с общей стороной и равными периметрами меньше площадь того, которому принадлежит наибольший из четырех углов, прилежащих к этой стороне (отсюда сразу следует, что из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника);

при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного;

из двух правильных многоугольников с равными периметрами больше площадь того, у которого больше сторон.

Таким образом, чем «ближе» многоугольник к кругу, тем, действительно, больше его изопериметрическое частное.

Нельзя не упомянуть об очень древней задаче, известной как задача Дидоны. Согласно древнему мифу, воспроизведенному в поэме Вергилия «Энеида», будущая основательница Карфагена – Дидона (вероятно, IX в. до н. э.) – бежала от преследований своего брата, тирана финикийского города Тир, на корабле с небольшим отрядом преданных ей людей. Они высадились на североафриканском побережье, принесли богатые подарки местному царю и попросили о выделении им участка; царь согласился отдать лишь «столько земли, сколько занимает воловья шкура». Тогда Дидона сделала из шкуры длинный тонкий ремень и огородила им значительную территорию на берегу моря, где и возник город Карфаген. Задачей Дидоны традиционно называется задача о том, какую форму должен иметь этот участок, чтобы занять наибольшую территорию при заданной длине ремня. Рассмотрим эту задачу для случая, когда берег прямолинеен. Пусть ремень имеет длину и опоясывает некую фигуру Ф₁. Отразим ее относительно берега. Тогда ремень и его отражение вместе являются границей (длины 2) новой фигуры Ф₂, составленной из фигуры Ф₁ и ее отражения. Если решение изопериметрической задачи – круг, то площадь Ф₂ (при данном периметре 2) максимальна, когда Ф₂ – круг. Но поскольку площадь Ф₂ ровно в 2 раза больше, чем у Ф₁, площадь Ф₁ тоже максимальна, если Ф₂ – круг, а ремень, соответственно, образует полуокружность.