задача найти площадь сечения конуса

Видео:№550. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, еслиСкачать

Площадь сечения конуса

Площадь сечения конуса. Для вас представлена очередная статья с конусами. На момент написания этой статьи на блоге решены все примеры (прототипы) заданий с конусами, которые возможны на экзамене. Процесс решения несложен (1-2 действия), при определённой практике решаются устно. Нужно знать понятие образующей, об этом информация в этой статье . Так же необходимо понимать как образуются сечения конуса.

1. Если плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.

*Если плоскость проходит через ось конуса, то сечением является равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса, а основание на которое опущена эта высота равна диаметру основания конуса.

2. Если плоскость проходит перпендикулярно оси конуса, то сечением является круг.

Особенностью данных заданий является то, что применяется формула площади треугольника, здесь она первая . Формулы периодически повторяйте. Рассмотрим задачи:

324453. Площадь основания конуса равна 16Пи, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевым сечением конуса является треугольник с основанием равным диаметру основания конуса и высотой равной высоте конуса. Обозначим диаметр как D, высоту как Н, запишем формулу площади треугольника:

Высота известна, вычислим диаметр. Используем формулу площади круга:

Значит диаметр будет равен 8. Вычисляем площадь сечения:

324454. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечением является круг. Необходимо найти площадь этого круга.

Построим осевое сечение:

Рассмотрим треугольники AKL и AOC – они подобны. Известно, что в подобных фигурах отношения соответствующих элементов равны. Мы рассмотрим отношения высот и катетов (радиусов):

OC это радиус основания, его можно найти:

Теперь можем вычислить площадь сечения:

*Это алгебраический способ вычисления без использования свойства подобных тел, касающегося их площади. Можно было рассудить так:

Два конуса (исходный и отсечённый) подобны, значит пощади их оснований являются подобными фигурами. Для площадей подобных фигур существует зависимость:

Таким образом, площадь основания полученного конуса равна:

Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.

Найдём диаметр основания и используя формулу площади треугольника вычислим площадь. По теореме Пифагора:

Вычисляем площадь сечения:

Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей — 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.

Радиус основания равен половине диаметра, то есть 20.

Вычислим высоту и далее используя формулу площади треугольника найдём искомую площадь. По теореме Пифагора:

Видео:№555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конусаСкачать

Что такое сечение конуса? Как найти площадь осевого сечения конуса

Одной из фигур, которая встречается при решении геометрических задач в пространстве, является конус. Он, в отличие от многогранников, относится к классу фигур вращения. Рассмотрим в статье, что понимают под ним в геометрии, и исследуем характеристики различных сечений конуса.

Видео:№551. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2г. Найдите площадь сечения,Скачать

Конус в геометрии

Предположим, что имеется некоторая кривая на плоскости. Это может быть парабола, окружность, эллипс и так далее. Возьмем точку, которая указанной плоскости не принадлежит, и соединим с ней все точки кривой. Образованная поверхность называется конической или просто конусом.

Вам будет интересно: Что такое конус: определение. Основание, вершина, высота конуса

Если исходная кривая является замкнутой, тогда коническую поверхность можно заполнить веществом. Полученная таким образом фигура является объемным телом. Она также называется конусом. Несколько конусов, изготовленных из бумаги, показаны ниже на рисунке.

Коническая поверхность встречается в обычной жизни. Например, этой формой обладает мороженое-рожок или дорожный полосатый конус, который призван привлечь внимание водителей и пешеходов.

Видео:№553. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм2, а площадьСкачать

Виды конусов

Вам будет интересно: Подберем рифму к слову «капля»

Как можно догадаться, рассматриваемые фигуры друг от друга отличаются типом кривой, на которой они образованы. Например, существует круглый конус или эллиптический. Данная кривая называется основанием фигуры. Однако форма основания — это не единственная особенность, позволяющая классифицировать конусы.

Второй важной их характеристикой является положение высоты относительно основания. Высотой конуса называется прямой отрезок, который опущен из вершины фигуры к плоскости основания и перпендикулярен этой плоскости. Если высота пересекает в геометрическом центре основание (например, в центре круга), то конус будет прямым, если перпендикулярный отрезок падает в любую другую точку основания или за его пределы, то фигура будет наклонной.

Далее в статье будем рассматривать только круглый прямой конус как яркий представитель рассматриваемого класса фигур.

Видео:ЗАДАНИЕ 8 из ЕГЭ_50Скачать

Геометрические названия элементов конуса

Выше было сказано, что конус имеет основание. Оно ограничено окружностью, которая называется направляющей конуса. Отрезки, соединяющие направляющую с точкой, не лежащей в плоскости основания, называются образующими. Совокупность всех точек образующих называется конической или боковой поверхностью фигуры. Для круглого прямого конуса все образующие имеют одинаковую длину.

Вам будет интересно: Абашевская культура бронзового века: локализация, археологические находки

Точка, где образующие пересекаются, называется вершиной фигуры. В отличие от многогранников, конус имеет единственную вершину и не имеет ни одной грани.

Прямая линия, проходящая через вершину фигуры и центр круга, называется осью. Ось содержит в себе высоту прямого конуса, поэтому она с плоскостью основания образует прямой угол. Эта информация важна при вычислении площади осевого сечения конуса.

Видео:Конус. 11 класс.Скачать

Круглый прямой конус — фигура вращения

Рассматриваемый конус является достаточно симметричной фигурой, которую можно получить в результате вращения треугольника. Предположим, что имеется треугольник с прямым углом. Чтобы получить конус, достаточно вращать этот треугольник вокруг одного из катетов так, как показано на рисунке ниже.

Видно, что ось вращения является осью конуса. Один из катетов будет равен высоте фигуры, а второй катет станет радиусом основания. Гипотенуза треугольника в результате вращения опишет коническую поверхность. Она будет образующей конуса.

Указанный способ получения круглого прямого конуса удобно использовать для изучения математической связи между линейными параметрами фигуры: высоты h, радиуса круглого основания r и направляющей g. Соответствующая формула следует из свойств прямоугольного треугольника. Она приведена ниже:

Поскольку мы имеем одно уравнение и три переменных, то это означает, что для однозначного задания параметров круглого конуса необходимо знать две любые величины.

Видео:№554. Образующая конуса равна l, а радиус основания равен r. Найдите площадь сечения, проходящегоСкачать

Сечения конуса плоскостью, которая не содержит вершину фигуры

Вопрос построения сечений фигуры не является тривиальным. Дело в том, что форма сечения конуса поверхностью зависит от взаимного расположения фигуры и секущей.

Предположим, что мы пересекаем конус плоскостью. Какое сечение получится в результате этой геометрической операции? Варианты формы сечения показаны на рисунке ниже.

Розовое сечение является кругом. Оно образовано в результате пересечения фигуры плоскостью, которая параллельна основанию конуса. Это сечения перпендикулярно оси фигуры. Образованная выше секущей плоскости фигура представляет собой конус, подобный исходному, но имеющий круг меньшего размера в основании.

Зеленое сечение — это эллипс. Он получается, если секущая плоскость не параллельна основанию, однако она пересекает только боковую поверхность конуса. Отсеченная выше плоскости фигура называется эллиптическим наклонным конусом.

Синее и оранжевое сечения имеют форму параболы и гиперболы, соответственно. Как видно из рисунка, они получаются, если секущая плоскость одновременно пересекает боковую поверхность и основание фигуры.

Для определения площадей сечений конуса, которые были рассмотрены, необходимо использовать формулы для соответствующей фигуры на плоскости. Например, для круга это умноженное на квадрат радиуса число Пи, а для эллипса — это произведение Пи на длину малой и большой полуосей:

Видео:Решение задач на конусСкачать

Сечения, содержащие вершину конуса

Теперь рассмотрим варианты сечений, которые возникают, если секущая плоскость будет проходить через вершину конуса. Возможны три случая:

Осевое сечение. Оно образуется, когда плоскость содержит не только вершину фигуры, но и всю ее ось. При этом плоскость будет перпендикулярна круглому основанию и разделит конус на две равные части.

Очевидно, что площади первых двух видов сечений равны нулю. Что касается площади сечения конуса для 3-го вида, то этот вопрос подробнее рассматривается в следующем пункте.

Видео:Усеченный конус. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Осевое сечение

Выше отмечалось, что осевым сечением конуса называется фигура, образованная при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось. Несложно догадаться, что это сечение будет представлять фигуру, показанную на рисунке ниже.

Это равнобедренный треугольник. Вершина осевого сечения конуса — это вершина этого треугольника, образованная пересечением одинаковых сторон. Последние равны длине образующей конуса. Основание треугольника — это диаметр основания конуса.

Вычисление площади осевого сечения конуса сводится к нахождению площади полученного треугольника. Если изначально известны радиус основания r и высота h конуса, тогда площадь S рассматриваемого сечения будет равна:

Это выражение является следствием применения стандартной формулы для площади треугольника (половина произведения высоты на основание).

Отметим, что если образующая конуса будет равна диаметру его круглого основания, то осевое сечение конуса — треугольник равносторонний.

Треугольное сечение образуется тогда, когда секущая плоскость перпендикулярна основанию конуса и проходит через его ось. Любая другая плоскость, параллельная названной, даст в сечении гиперболу. Однако если плоскость содержит вершину конуса и пересекает его основание не через диаметр, то полученное сечение тоже будет равнобедренным треугольником.

Видео:Площадь сеченияСкачать

Задача на определение линейных параметров конуса

Покажем, как пользоваться записанной для площади осевого сечения формулой для решения геометрической задачи.

Известно, что площадь осевого сечения конуса равна 100 см2. Полученный в сечение треугольник является равносторонним. Чему равны высота конуса и радиус его основания?

Поскольку треугольник равносторонний, то его высота h связана с длиной стороны a следующим соотношением:

Учитывая, что сторона треугольника в два раза больше радиуса основания конуса, и подставляя это выражение в формулу для площади сечения, получаем:

Тогда высота конуса равна:

Остается подставить значение площади из условия задачи и получить ответ:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 см;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 см.

Видео:Задание 2. Конус Найти площадь осевого сеченияСкачать

В каких областях важно знать параметры рассмотренных сечений?

Изучение различных типов сечений конуса представляет не только теоретический интерес, но также имеет практическое приложение.

Во-первых, следует отметить область аэродинамики, где с помощью конических сечений удается создавать идеальные гладкие формы твердых тел.

Во-вторых, конические сечения являются траекториями, по которым движутся космические объекты в гравитационных полях. Какой конкретно вид сечения представляет траектория движения космических тел системы, определяется соотношением их масс, абсолютных скоростей и расстояний между ними.

Видео:№563. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадьСкачать

Сечения конуса плоскостями, перпендикулярными к оси конуса, и плоскостями, проходящими через вершину конуса

Сечения конуса. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса

Видео:✓ Площадь сечения | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса

Определение. Сечением конуса называют пересечение конуса с плоскостью.

Решим следующую задачу.

Задача 1. Дан конус с вершиной в точке S , осью SO , радиусом основания r и высотой h . Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью α , перпендикулярной к оси конуса и пересекающей ось конуса в точке O₁ . Известно, что длина отрезка SO₁ равна h₁ (h₁ .

Найти площадь сечения конуса.

Решение. Сечением конуса будет круг с центром O₁ , радиус которого обозначим символом r₁ (рис. 1).

Выберем какую-нибудь образующую конуса SA и обозначим символом A₁ точку пересечения отрезка SA с плоскостью α . Отрезок SA₁ будет образующей конуса с вершиной в точке S , осью SO₁ , радиусом основания r₁ и высотой h₁ . Из подобия прямоугольных треугольников SOA₁ и SOA можно вычислить неизвестный радиус r₁ :

Ответ:

Видео:Геометрия 10 класс. Подготовка к ЕГЭ. Площадь сечения.Скачать

Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса

Задача 2. Дан конус с вершиной в точке S, осью SO , радиусом основания r и высотой h. Рассмотрим сечение этого конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и пересекающей окружность основания конуса в точках A и B .

Найти площадь сечения конуса, если известно, угол между прямой SO и плоскостью сечения SAB равен φ.

Решение. Обозначим буквой С середину отрезка AB (рис. 2).

Таким образом, прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым OC и SC , лежащим на плоскости SOC . В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая AB перпендикулярна к плоскости SOC .

Обозначим буквой D основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую SC (рис. 3).

Поскольку прямая AB перпендикулярна к плоскости SOC , то прямая AB перпендикулярна и к прямой OD . Таким образом, прямая OD перпендикулярна двум пересекающимся прямым SC (по построению) и AB , лежащим на плоскости ASB . В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости отсюда вытекает, что прямая AB перпендикулярна к плоскости ASB . Следовательно, SD – то проекция отрезка OS на плоскость ASB , то есть угол DSO равен φ .

Из прямоугольного треугольника SOC находим длину гипотенузы SC и катета OC :

Теперь найдем площадь треугольника ASB :

Ответ.

🎥 Видео

Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Задание 2. Конус. Найдите площадь сечения.Скачать

Конус. Площадь поверхности. Площадь сечения конусаСкачать

№552. Высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен 60°. НайдитеСкачать

11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать

Как найти объем вписанного конуса? 🔍 #умскул_профильнаяматематика #умскул #никитасалливанСкачать