задача герона определить площадь треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулу Герона, пользуясь которой можно найти площадь треугольника. Также разберем примеры решения задач для того, чтобы закрепить представленный материал.

Формула площади

Площадь треугольника ( S ) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра ( p ) на разности полупериметра и каждой из его сторон ( a, b, c ).

Полупериметр ( p ) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Для начала найдем полупериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения:
= .

Задание 2
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение
Пусть гипотенуза – это c , известный катет – a , а неизвестный – b .

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b :
b 2 = = = , следовательно,

Полупериметр треугольника равен:
p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:
= = .

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Формула Герона

Вы будете перенаправлены на Автор24

Предварительные сведения

Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.

Будем рассматривать треугольник $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$. Проведем в нем высоту $BH$. Введем следующие обозначения: $AB=c, BC=a, $$AC=b, AH=x, BH=h $(рис. 1).

Введем без доказательств теорему о площади треугольника.

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть

Формула Герона

Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.

Пусть нам даны три стороны треугольника $a, b и c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом

где $p$ — полупериметр данного треугольника.

Доказательство.

Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.

Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме Пифагора, получим

Очевидно, что $HC=AC-AH=b-x$

Рассмотрим треугольник $ CBH$. По теореме Пифагора, получим

Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений

Из первого равенства найдем высоту

Так как полупериметр равен $p=frac$, то есть $a+b+c=2p$, то

По теореме 1, получим

Теорема доказана.

Готовые работы на аналогичную тему

Примеры задач на использование формулы Герона

Найти площадь треугольника, если его стороны равняются $3$ см, $6$ см и $7$ см.

Решение.

Найдем вначале полупериметр этого треугольника

По теореме 2, получим

Ответ: $4sqrt$.

Найти площадь параллелепипеда, со сторонами $8$ см и $5$ см и меньшей диагональю, равной $5$ см.

Решение.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, где $AD=8 см, AB=5 см и BD=5 см$ (рис. 2).

Так как диагональ параллелограмма является его осью симметрии, то треугольники $ABD$ и $BDC$ равны между собой. Следовательно

Полупериметр треугольника $ABD$ равен

Ответ: $24$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20 05 2021