вывод формулы площади боковой поверхности конуса (2 видео)

Содержание

Площадь боковой поверхности конуса
Вывод формулы площади конуса. Пример решения задачи
Конус с круглым основанием
Развертка фигуры
Вычисление площади поверхности фигуры
Задача на вычисление площади конуса
Конус. Площадь поверхности конуса. 11-й класс
Презентация к уроку
🔥 Видео

Видео:ОТКУДА? Как найти площадь боковой поверхности конуса? Развёртка конуса | Математика с ДетекторомСкачать

Площадь боковой поверхности конуса

Теорема: Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей.

Доказательство.

Пусть имеется конус, радиус основания которого равен r, а образующая I (рисунок).

Развернем боковую поверхность конуса на плоскость, в результате получится сектор, радиус которого равен образующей I (рисунок ниже).

Найдем центральный угол ϕ этого сектора, приняв во внимание, что ему соответствует дуга окружности, равная длине окружности основания конуса, т. е. равна 2πr. Поскольку длина всей окружности, связанной с сектором, равна 2πl и этой длине соответствует полный угол, равный 360°, то

Теперь найдем площадь S сектора с радиусом I и углом ср:

Поскольку выражение πr представляет длину полуокружности основания конуса, можем утверждать, что площадь боковой поверхности конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей.

Видео:11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать

Вывод формулы площади конуса. Пример решения задачи

Изучение свойств пространственных фигур играет важную роль для решения практических задач. Наука, которая занимается фигурами в пространстве, называется стереометрией. В данной статье, с точки зрения стереометрии, рассмотрим конус и покажем, как находить площадь конуса.

Видео:62. Площадь поверхности конусаСкачать

Конус с круглым основанием

В общем случае конусом называется поверхность, построенная на некоторой плоской кривой, все точки которой соединены отрезками с одной точкой пространства. Последняя называется вершиной конуса.

Вам будет интересно: Пытка — это что такое. Значение и определение

Из приведенного определения понятно, что кривая может иметь произвольную форму, например параболическую, гиперболическую, эллиптическую и так далее. Тем не менее на практике и в задачах по геометрии встречается часто именно круглый конус. Он показан ниже на рисунке.

Здесь символом r обозначен радиус круга, находящегося в основании фигуры, h — это перпендикуляр к плоскости круга, который проведен из вершины фигуры. Он называется высотой. Величина s — это образующая конуса, или его генератриса.

Видно, что отрезки r, h и s образуют прямоугольный треугольник. Если его вращать вокруг катета h, то гипотенуза s опишет коническую поверхность, а катет r образует круглое основание фигуры. По этой причине конус считают фигурой вращения. Три названных линейных параметра связаны между собой равенством:

Отметим, что приведенное равенство справедливо только для круглого прямого конуса. Прямой фигура является только в том случае, если ее высота падает точно в центр круга основания. Если это условие не выполняется, то фигура называется наклонной. Разница между прямым и наклонным конусами показана ниже на рисунке.

Видео:Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Развертка фигуры

Изучение площади поверхности конуса удобно проводить, рассматривая его на плоскости. Такой способ представления поверхности фигур в пространстве называется их разверткой. Для конуса эту развертку можно получить следующим образом: необходимо взять фигуру, изготовленную, например, из бумаги. Затем, ножницами отрезать круглое основание по окружности. После этого вдоль генератрисы сделать разрез конической поверхности и развернуть ее на плоскость. Результатом этих несложных операций будет развертка конуса, показанная ниже на рисунке.

Как видно, поверхность конуса действительно можно представить на плоскости. Она состоит из двух следующих частей:

круг радиусом r, представляющий основание фигуры;
круговой сектор радиусом g, являющийся конической поверхностью.

Формула площади конуса предполагает нахождение площадей обеих развернутых поверхностей.

Видео:🌟 Откройте мир конусов: исследуем площадь их поверхности!Скачать

Вычисление площади поверхности фигуры

Разделим поставленную задачу на два этапа. Сначала найдем площадь основания конуса, затем площадь конической поверхности.

Первую часть задачи решить просто. Поскольку дан радиус r, то для вычисления площади основания достаточно вспомнить соответствующее выражение для площади круга. Запишем его:

Если радиус не известен, тогда сначала следует его найти, пользуясь формулой связи между ним, высотой и генератрисой.

Вторая часть задачи по нахождению площади конуса несколько сложнее. Заметим, что круговой сектор построен на радиусе g генератрисы и ограничен дугой, длина которой равна длине окружности круга. Этот факт позволяет записать пропорцию и найти угол рассматриваемого сектора. Обозначим его греческой буквой φ. Этот угол будет равен:

2 × pi => 2 × pi × g;

Зная центральный угол φ кругового сектора, можно с помощью соответствующей пропорции найти его площадь. Обозначим ее символом Sb. Она будет равна:

Sb = pi × g2 × φ / (2 × pi) = pi × r × g

То есть площадь конической поверхности соответствует произведению образующей g, радиуса основания r и числа Пи.

Зная, чему равны площади обеих рассмотренных поверхностей, можно записать конечную формулу площади конуса:

S = So + Sb = pi × r2 + pi × r × g = pi × r × (r + g)

Записанное выражение предполагает для вычисления S знание двух линейных параметров конуса. Если g или r неизвестны, то их можно найти через высоту h.

Видео:Конус. 11 класс.Скачать

Задача на вычисление площади конуса

Известно, что высота круглого прямого конуса равна его диаметру. Необходимо вычислить площадь фигуры, зная, что площадь ее основания составляет 50 см2.

Зная площадь круга, можно найти радиус фигуры. Имеем:

Теперь найдем генератрису g через h и r. Согласно условию, высота h фигуры равна двум радиусам r, тогда:

g = √5 × r = √(5 × So / pi)

Найденные формулы для g и r следует подставить в выражение для всей площади конуса. Получаем:

S = So + pi × √(So / pi) × √(5 × So / pi) = So × (1 + √5)

В полученное выражение подставляем площадь основания So и записываем ответ: S ≈ 161,8 см2.

Видео:№558. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α, еслиСкачать

Конус. Площадь поверхности конуса. 11-й класс

Класс: 11

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (685 кБ)

Тип урока: урок изучения нового материала с применением элементов проблемно-развивающего метода обучения.

Цели урока:

познавательные:
- ознакомление с новым математическим понятием;
- формирование новых ЗУН;
- формирование практических навыков решения задач.
развивающие:
- развитие самостоятельного мышления учащихся;
- развитие навыков правильной речи школьников.
воспитательные:
- воспитание навыков работы в коллективе.

Оборудование урока: магнитная доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор, модель конуса, презентация к уроку, раздаточный материал.

Задачи урока (для учащихся):

познакомиться с новым геометрическим понятием — конус;
вывести формулу для вычисления площади поверхности конуса;
научиться применять полученные знания при решении практических задач.

Ход урока

I этап. Организационный.

Сдача тетрадей с домашней проверочной работой по пройденной теме.

Учащимся предлагается узнать тему предстоящего урока, разгадав ребус (слайд 1):

Объявление учащимся темы и задач урока (слайд 2).

II этап. Объяснение нового материала.

1) Лекция учителя.

На доске – таблица с изображением конуса. Новый материал объясняется в сопровождении программного материала «Стереометрия». На экране появляется трёхмерное изображение конуса. Учитель даёт определение конуса, рассказывает о его элементах.(слайд 3). Говорится о том, что конус – это тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника относительно катета. (слайды 4, 5). Появляется изображение развёртки боковой поверхности конуса. (слайд 6)

2) Практическая работа.

Актуализация опорных знаний: повторить формулы для вычисления площади круга, площади сектора, длины окружности, длины дуги окружности. (слайды 7–10)

Класс делится на группы. Каждая группа получает вырезанную из бумаги развёртку боковой поверхности конуса (сектор круга с присвоенным номером). Учащиеся выполняют необходимые измерения и вычисляют площадь полученного сектора. Инструкции по выполнению работы, вопросы – постановки проблем – появляются на экране (слайды 11–14). Результаты вычислений представитель каждой группы записывает в заготовленную на доске таблицу. Участники каждой группы склеивают модель конуса из имеющейся у них развёртки. (слайд 15)

3) Постановка и решение проблемы.

Как вычислить площадь боковой поверхности конуса, если известны только радиус основания и длина образующей конуса? (слайд 16)

Каждая группа производит необходимые измерения и пытается вывести формулу вычисления искомой площади с помощью имеющихся данных. При выполнении этой работы школьники должны заметить, что длина окружности основания конуса равна длине дуги сектора – развёртки боковой поверхности этого конуса. (слайды 17–21) Используя необходимые формулы, выводится искомая формула. Рассуждения учащихся должны выглядеть примерно таким образом:

Радиус сектора – развёртки равен l, градусная мера дуги – φ. Площадь сектора вычисляется по формуле длина дуги, ограничивающей этот сектор, равна Радиус основания конуса R. Длина окружности, лежащей в основании конуса, равна С = 2πR. Заметим, что Так как площадь боковой поверхности конуса равна площади развёртки его боковой поверхности, то

Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S_БПК = πRl.

После вычисления площади боковой поверхности модели конуса по выведенной самостоятельно формуле представитель каждой группы записывает результат вычислений в таблицу на доске в соответствии с номерами моделей. Результаты вычислений в каждой строке должны быть равны. По этому признаку учитель определяет правильность выводов каждой группы. Таблица результатов должна выглядеть таким образом: