выучить формулы площадей 8 класс (7 видео)

Содержание

Как найти площадь фигуры
Обозначение площади
Треугольник
1. Если известна сторона и высота.
2. Если известны две стороны и синус угла.
3. Если есть радиус описанной окружности.
4. Если есть радиус вписанной окружности.
Прямоугольник
Квадрат
Трапеция
Параллелограмм и ромб
Все формулы по геометрии. Площади фигур
Как эффективно и надолго выучить формулы площадей
Урок 1 (имеется ввиду первый из уроков, на котором применяется данная форма работы)
Урок 2 (и последующие уроки)
Приложение
💡 Видео

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Как найти площадь фигуры

О чем эта статья:

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Обозначение площади

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Если параметры фигуры переданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем решить ни одну задачу. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Круг — это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью, удаленных от центра на равном радиусу расстоянии. Радиусом принято называть отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

S = &pi × d 2 : 4;, где d — это диаметр.

S = L 2 : (4 × π), где L — это длина окружности.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных тремя отрезками. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами. Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходными данным, давайте их рассмотрим.

1. Если известна сторона и высота.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

2. Если известны две стороны и синус угла.

S = 0,5 × a × b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

3. Если есть радиус описанной окружности.

S = (a × b × с) : (4 × R), где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

4. Если есть радиус вписанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

S = a × b, где a, b — длина и ширина прямоугольника.

S = a × √(d 2 — а 2 ), где а — известная сторона, d — диагональ.

Диагональ — это отрезок, который соединяет вершины противоположных углов. Она есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

S = 0,5 × d 2 × ???(?), где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

Видео:ВСЯ ТЕОРИЯ по ГЕОМЕТРИИ ЗА 8 КЛАСС с примерамиСкачать

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, но при условии, что все его стороны равны. Найти его площадь легко:

S = а 2 , где a — сторона квадрата.

S = d 2 : 2, где d — диагональ.

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и две не параллельны.

S = 0,5 × (a + b) × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны под прямым углом.

Видео:Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Расскажем про общие формулы расчета площади этих фигур.

S = a × h, где a — сторона, h — высота.

S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.

Для ромба: S = 0,5 × (d₁ × d₂), где d₁, d₂ — две диагонали. Для параллелограмма: S = 0,5 × (d₁ × d₂) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Читайте также о задачах на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

Видео:Площади фигурСкачать

Как эффективно и надолго выучить формулы площадей

Разделы: Математика

Класс: 9

В ходе подготовки к экзамену, а именно при решении задач на применение формул площадей нам необходимо было выучить и, что главное, «не забыть» много формул площадей фигур. Не просто их знать, а знать конкретные формулы. Быстро уметь найти в памяти нужную и воспользоваться ею.

Постановка проблемы

Мышление и восприятие информации современного школьника зачастую клиповое – то есть, сегодня изучаем, применяем, помним, знаем. Написали контрольную работу, сдали зачет, получили отметку, забыли.

На изучение темы «Площади» в курсе геометрии 9 класса по учебнику «Геометрия 7-9» Погорелова А.В. отводится 15 часов. За эти уроки учащиеся должны научиться решать задачи с применением формул площадей различных фигур. Тема эта в курсе геометрии последняя в 9 классе, накануне подготовки к экзаменам, и, как бы учитель ни стремился дать необходимые знания, учащиеся все равно нацелены в первую очередь на успешную сдачу экзамена за 9 класс.

Применение при изучении темы площади в 9 классе

В справочных материалах к экзамену в 9 классе в разделе геометрия предлагаются 4 формулы площадей фигур – параллелограмма, треугольника, трапеции и окружности. А в школьном курсе их намного больше и учащиеся, особенно те, кто нацелен на высокий экзаменационный балл и хорошие результаты при изучении темы осваивают намного больше формул и учатся их применять.
Я предлагаю свой опыт, как легко эффективно и долгосрочно выучить большое количество формул.

При изучении темы «Площади» практически каждый урок мы пополняем свой сундучок с формулами.

Какими знаниями дети обладают на начало изучения темы? Они знают формулу площади квадрата через сторону (S=a 2 ), прямоугольника (S=ab), прямоугольного треугольника (S=1/2ab, где a, b — катеты), круга (S = πR 2 ).

К известным формулам постепенно добавляются формулы, которые и составляют содержимое сундучка. А далее идет индивидуальная и парная работа на каждом уроке.

Урок 1 (имеется ввиду первый из уроков, на котором применяется данная форма работы)

На каждой парте пара учащихся располагает следующим набором формул (внедрение данного вида работ я начала до изучения формулы площади круга и его частей):

Формулы размещены на отдельных карточках и перемешаны. Левая часть формулы, которая указывает площадь какой фигуры вычисляется, отсутствует. А далее идет опрос.

На первом уроке, когда учащиеся впервые увидели этот набор я их попросила (это был первый урок после весенних каникул), разложить формулы на две группы: 1. Знаю (помню) и 2. Не знаю, (не помню). При этом они обсуждали между собой и делились друг с другом знаниями, если кто-то из них какую-то формулу забыл. В результате в каждом классе, нашлось 2-3 пары учащихся, у которых образовалась одна группа – знаю. Но это не очень меня огорчило (всегда хочется, чтобы результат был максимально положительный), потому, как в группе «не знаю (не помню)» у учащихся оказалось небольшое количество формул.

Далее, мы не раскрываем, что это за формулы (которых мы не знаем), а начинаем ее «угадывать». Например, дети не знали формулу площади трапеции через среднюю линию (mh). А те, кто ее опознал просто объяснили, что «угадали», потому, что буквой m обозначают чаще всего медианы или средние линии. «Это не могла быть сторона (a,b,c), или высота (h)».

Потом мы остановились на формуле площади равностороннего треугольника

И стали анализировать, что это может быть за фигура? В ходе рассуждений мы пришли к тому, что в этой формуле присутствует значение синуса 60°, а значит эту формулу можно вывести из формулы треугольника через две стороны и угол между ними. (Ученик у доски, кратко приводит вычисления и выводит формулу).

Урок 2 (и последующие уроки)

Ученики выполняют задания следующего характера:

Выберите формулы, с помощью которых вычисляются площади четырехугольников через диагонали. И расположите их в таком порядке: площадь квадрата, прямоугольника, а на последнем месте – формула площади выпуклого четырехугольника.

Должен был получиться следующий ряд:

Надо отметить, что учащиеся практически все выбрали эти четыре формулы и правильно разместили первую формулу, а далее пошла путаница. Особенно с порядком размещения трех последних формул.

Поэтому мы подводя итог этого опроса анализируем:

Формула площади выпуклого четырехугольника, которым являются все названные фигуры, в том числе трапеция и параллелограмм (рисунок1). Диагонали различны, поэтому d1 и d2, не перпендикулярны, а sinφ ≠ 1.

Перпендикулярны диагонали у ромба, и не равны между собой, поэтому (дети поднимают формулу, по которой вычисляется площадь ромба). (рисунок 2)

И после этого учащиеся довольно легко характеризуют и описывают формулы площадей квадрата, у которого диагонали равны и перпендикулярны, и прямоугольника.

Возможно использовать следующие виды вопросов:

Выберите формулы площадей треугольников и расположите их в определенном порядке (порядок каждый раз можно менять).
Выберите формулы площадей фигур через радиусы окружностей, назовите все элементы.
Выберите формулы площадей параллелограмма (в этом задании «теряют» формулы ромба, квадрата и прямоугольника).
Расположите цепочку формул фигур, которые связаны между собой (одну можно вывести через другую) – это вопрос для сильный учеников.

Время, которое занимает такой опрос – 5-7 минут. Учащиеся работают активно и самостоятельно. Даже те, кто плохо знает эти формулы к концу темы практически все формулы знают, и большинство из них применяют при решении задач.

Данный вид работ применим и при изучении других тем, которые насыщены различными формулами. Например, в тригонометрии, производные, объемы фигур.

Надеюсь, мой опыт был полезен.

Приложение

При подготовке учащихся к экзаменам в 9 классе, при изучении нового материала я и мои ученики столкнулись с трудностями в запоминании большого массива информации.

Не секрет, что современный ученик информационно перегружен. Он потребляет очень большой поток нового, который практически не задерживается в его памяти. И, когда возникает необходимость длительного запоминания большого объема информации, то это требует огромных усилий и большой траты времени.

А память подростка напоминает глянцевый журнал. Перевернув страницу, вы уже вряд ли скажете, что было на предыдущей. Потому, как картинка страницы нового дня вытесняет из памяти то, что было вчера.

Я начала изучать литературу, интересоваться данной проблемой восприятия современным школьником окружающего мира и столкнулась с особенностями «клипового мышления».

Клиповое мышление. Что это такое?

Понятие «клиповое мышление» или «клиповое сознание» появилось в 1990-х годах и сейчас встречается довольно часто. Оно обозначает особенность восприятия информации современными тинэйджерами. Как правило, под этим определением понимается привычка воспринимать мир посредством короткого, яркого посыла, воплощенного в форме либо видеоклипа, либо теленовости.

По аналогии, при клиповом мышлении – окружающий мир превращается в мозаику разрозненных, мало связанных между собой фактов.

МИНУСЫ «клипового мышления»

Снижает способность к анализу информации. Люди, обладающие клиповым мышлением, часто оказываются неспособны анализировать даже самую важную информацию – выделять главные детали и ключевые моменты, а также принимать решения на основе проведенного анализа. В результате человек учится не осмысливать, а только потреблять информацию.
Снижает способность к концентрации внимания. Особенности клипового мышления делают людей неспособными сосредоточиться на одной теме – они с трудом могут удерживать внимание, перескакивают с одного вопроса на другой, не могут вникнуть в суть.
Снижает эффективность обучения и усвоения знаний. Современные школьники и студенты, которые являются основными обладателями клипового мышления, плохо воспринимают и запоминают учебный материал, не умеют правильно излагать свои мысли, им тяжело писать сочинения и читать сложные и объемные литературные произведения. Коэффициент усвоения знаний современных детей и подростков падает.
Усиливает подверженность чужому влиянию и манипуляциям. Обладатели клипового мышления часто попадают под чужое влияние. В своих действиях они чаще всего руководствуются эмоциями, а не здравым смыслом, поэтому ими легче манипулировать. Телевизионные рекламы построены таким образом, чтобы человек, покупающий товар, руководствовался сиюминутными эмоциональными порывами. Люди с клиповым мышлением часто совершают ненужные покупки или действия, о которых потом жалеют.
Снижает чувство сопереживания. Люди, ежедневно поглощающие большие объемы информации, среди которой преобладают сцены жестокости и насилия, постепенно утрачивают способность сопереживать чужому горю, становятся равнодушными, теряют чувство ответственности, их перестают трогать трагедии окружающих.
Приводит к упрощению задач и решений. Клиповое мышление приводит к тому, что люди оказываются неспособными решать сложные задачи, как в процессе обучения, так и в повседневной жизни.

ПЛЮСЫ «клипового мышления»

Развивает быстроту реакции. Люди, обладающие клиповым мышлением, умеют быстро реагировать на внешние стимулы и изменения и оперативно подстраиваться под них.
Развивает способность решать несколько задач одновременно. Такое мышление формирует у людей многозадачность – способность делать несколько дел сразу (например, работать, слушать музыку, общаться в Интернете, принимать пищу). Человек учится быстро переключать внимание с одного объекта на другой.
Защищает мозг от перегрузки информацией. Многие психологи считают, что это своеобразный механизм адаптации к развитию информационных технологий, которые прочно вошли в жизнь современного человека и стали ее неотъемлемой частью. Человеческий мозг вынужден принимать и перерабатывать огромные объемы информации, что приводит к перегрузкам. Поэтому он подстраивается реагировать на поступающую извне информацию именно таким образом.
Порождает желание охватить как можно больше информации. Клиповое мышления заставляет человека выискивать и поглощать все новую и новую информацию, что весьма полезно для интеллектуального развития.

«Сlip» в переводе с английского обозначает «стрижка; быстрота (движения); вырезка (из газеты); отрывок из фильма, нарезка».