вычислить площадь прямоугольника по координатам (8 видео)

Содержание

Как высчитать площадь по точкам (Map) в пространстве?
Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин на плоскости
Площади многоугольников на координатной сетке
📸 Видео

Видео:Как найти площадь треугольника, зная координаты его вершины.Скачать

Как высчитать площадь по точкам (Map) в пространстве?

Имеются вершины по диагонали.
Вот пример:
x(A , B) и y(A , B)
1) — 179.306462 , 63.034977
2) — 179.370413 , 63.067053
Что бы из них высчитать и получить прямоугольник, я делаю следующее: Рисую в пространстве по координатам:
от x(A , B) до x(A) y(B) до y(A , B) до y(A) x(B) и соединяю в x(A , B)
Получается прямоугольник как нужно.
Но вот задача, если таких прямоугольников много, как мне узнать какой из них по площади больше?

Я хотел вот так и думаю это правильно для данного:

2) 179.306462, 63.067053 3) 179.370413, 63.067053

1) 179.306462, 63.034977 4) 179.370413, 63.034977

Вычесть расстояние 63.067053 — 63.034977 и умножить на разницу 179.370413 — 179.306462
Это и будет число, которое чем больше, тем соответственно приоритет у прямоугольника выше, но в координатах есть еще точки с минусом и тут я попал в ступор. Вот пример такого прямоугольника с минусами:

-169.115964,65.758185, -169.106136,65.758185,
Тут уже не получится вычесть как в первом. Как универсально вычислять приоритет площади прямоугольников, зная только две вершины в пространстве на карте.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин на плоскости

Вычисление площади выпуклого многоугольника по координатам вершин. Выпуклый многоугольник строится по точкам с использованием алгоритма Джарвиса

Калькулятор ниже был написан для решения частной задачи расчета площади выпуклого четырехугольника по координатам его вершин. Он только обобщает эту задачу до задачи расчета площади любого выпуклого многоугольника вообще. Собственно, на сайте уже был подобный калькулятор Площадь многоугольника, но там требовалось вводить длины сторон и диагоналей, а это несколько труднее, чем вводить только координаты вершин.

Принцип работы остается таким же — многоугольник разбивается на непересекающиеся треугольники, подсчитывается площадь всех треугольников (это легко сделать зная длины всех трех сторон — Расчет площади треугольника по формуле Герона), затем площади суммируются. Основная проблема была в том, чтобы сделать его устойчивым к ситуации, когда точки вводят не по порядку. Предположим, сначала вводят первые четыре точки получая фигуру на рисунке ниже

При добавлении следующей точки, например, так, как на следующем рисунке

должен уже получиться многоугольник ADCBE, а не ABCDE, разбитый на треугольники ADC, ACB и ABE, соответственно.

Чтобы получить правильный многоугольник, фактически требуется получить оболочку введенных точек. Для этого калькулятор использует алгоритм Джарвиса (или алгоритм обхода Джарвиса, или алгоритм заворачивания подарка), который определяет последовательность элементов множества, образующих выпуклую оболочку для этого множества. Метод можно представить как обтягивание верёвкой множества вбитых в доску гвоздей.

Алгоритм работает за время , где n — общее число точек на плоскости, h — число точек в выпуклой оболочке. Для выпуклого многоугольник соответственно будет . Не самый оптимальный алгоритм, зато очень простой, и для этого калькулятора вполне производительный.

Как пользоваться калькулятором: начинаете вводить координаты точек выпуклого многоугольника. Начиная с трех точек алгоритм Джарвиса будет стоить обтягивающий контур, затем контур будет разбиваться треугольники и подсчитываться общая площадь. Для справки также будут выводиться площади всех треугольников.

Видео:Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать

Площади многоугольников на координатной сетке

Многоугольники на координатной сетке — это самые простые задачи B5. Существует сразу несколько методов решения таких задачи, в том числе универсальный, описанный ниже. Для начала определимся с терминологией:

— фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Большинство многоугольников, встречающихся в ЕГЭ, являются выпуклыми, т.е. не имеют внутренних углов размером больше 180°, а все вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Кроме того, ломаная, ограничивающая многоугольник, не имеет самопересечений. Все это значительно упрощает задачу.

Для решения всех задач этого типа достаточно выполнить четыре простых шага:

Описать вокруг многоугольника прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат (линиям сетки). При этом желательно, чтобы на каждой стороне прямоугольника присутствовала хотя бы одна вершина исходной фигуры;
Разбить внутреннее пространство прямоугольника, не занятое исходной фигурой, на квадраты и треугольники. Лучше, если все линии разбиения будут параллельны осям координат;
Найти площадь каждого элемента разбиения. Сложив эти площади, получим площадь всего разбиения;
Наконец, из площади прямоугольника вычесть площадь разбиения — это и будет площадью исходной фигуры.

Несмотря на большое количество элементов разбиения, вычисление его площади — достаточно тривиальная задача.

Проиллюстрируем каждый шаг решения:

Последним шагом найдем площадь исходной фигуры: площадь описанного прямоугольника. Осталось вычислить площадь большого прямоугольника и элементов разбиения. Эти несложные расчеты предлагается выполнить читателю в качестве упражнения.