вычисли площадь прямоугольника в клетках

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Вычисли площадь прямоугольника, не выполняя измерений ?

Математика | 1 — 4 классы

Вычисли площадь прямоугольника, не выполняя измерений .

1 см ширина — 1 клетки сторона 4 клетки и площадь 8 см.

Совместно с Uh19 нашли картинку.

Этот прямоугольник имеет 4 клетки по одной стороне и 8 по другой.

Его площадь равна 4 * 8 = 32 клетки = 32 кв.

См, потому что каждая клетка равна 1 кв.

См. И для этого не надо измерять линейкой, достаточно посчитать клетки.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Вычисли площадь фигур, если сторона клетки равна 5 мм прямоугольник?

Вычисли площадь фигур, если сторона клетки равна 5 мм прямоугольник.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

3 класс?

Прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см.

Измерь в см длины сторон прямоугольника и вычисли его периметр.

Начерти в тетради квадрат с таким же периметром.

Вычисли ого площадь в клетках и сравни с площадью данного прямоугольника.

Видео:Площадь фигурыСкачать

Найди площадь прямоугольника ?

Найди площадь прямоугольника .

Если одна сторона клетки 1 — см.

Ширина — 3 квадрата а длина — 8 квадратов.

Видео:Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Найди площадь этого прямоугольника если сторона клетки 1 сантиметр?

Найди площадь этого прямоугольника если сторона клетки 1 сантиметр.

Видео:Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Выполнить измерения и вычислить площадь и периметр прямоугольника?

Выполнить измерения и вычислить площадь и периметр прямоугольника.

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Найди площадь этого прямоугольника если сторона клетки 1 см?

Найди площадь этого прямоугольника если сторона клетки 1 см.

Видео:Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Как найти площадь прямоугольника если сторона одной клетки равна 1см?

Как найти площадь прямоугольника если сторона одной клетки равна 1см.

Видео:Математика 4 класс (Урок№14 - Измерение площади фигуры с помощью палетки.)Скачать

Прямоугольник длиной 10см шириной 5см ?

Прямоугольник длиной 10см шириной 5см .

Площадь его равна 50см в квадрате.

Одна клетка равна 1см.

Начертить прямоугольник с такой же площадью, но с другими длиной и шириной.

Видео:Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Начерти прямоугольник ABCD длина которого равна 8см а ширина на 4 см меньше?

Начерти прямоугольник ABCD длина которого равна 8см а ширина на 4 см меньше.

Вычисли его периметр.

Вычисли площадь прямоугольника в клетках.

Видео:Измерение площади фигур с помощью палетки. Математика Моро и другиеСкачать

На клеточном поле со стороной клетки 1 см изображен прямоугольник?

На клеточном поле со стороной клетки 1 см изображен прямоугольник.

Найди площадь этого прямоугольника.

Вопрос Вычисли площадь прямоугольника, не выполняя измерений ?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 1 — 4 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

120 : х = 20 * 2 120 : х = 40 х = 120 : 40 х = 3 Ответ : 3.

Видео:Математика 3 класс (Урок№22 - Площадь прямоугольника.)Скачать

Клетка и вычисление площади

Россия, г. Иркутск, МБОУ города Иркутска СОШ №11

с углублённым изучением отдельных предметов

СОДЕРЖАНИЕ

Теоретическая часть Историческая справка…………………………………………………стр.3 Формула Пика………………………………………………………….стр.3 Узлы на отрезке………………………………………………………..стр.7 Практическая часть Решение задач………………………………………………………….стр.9 Игры на клетчатой бумаге…………………………………………. стр.12 Заключение……………………………………………………………….стр.14 Список литературы………………………………………………………стр.15 Приложения……………………………………………………………стр.16

Участвуя в Международном конкурсе — игре «Кенгуру», сталкиваешься с задачами, в которых нужно вычислить площадь фигуры. Проблемы, возникающие при решении таких задач, вызваны как сложностью, так и тем, что в школе им уделяется мало времени. А порой их решение носит творческий характер.

Выполняя задания для подготовки к математическому конкурсу, мне встретилась задача, для решения которой потребовалось много времени. Вот условие этой задачи:

Введите на клетчатой бумаге систему координат. Отметьте точки А(-2;7), В(1;-2), С(-4;-7), Д(2;-5), Е(3;-8), F(5;-4), G(14;-1), Н(8;2), К(11;8), L(6;3) и соедините их последовательно отрезками АВ, ВС, СД, ДЕ, ЕF, FG, GH, НК, KL, LA. Найдите площадь полученной фигуры.

Учитель математики мне предложила один из выпусков серии «Библиотечка клуба «Кенгуру». В нем рассказывается о формуле Пика, которая позволяет находить площади любых многоугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги.

Мой проект посвящен клетчатой плоскости, то есть бесконечному листку бумаги, расчерченному на квадратики. Казалось бы, что увлекательного можно найти на обыкновенном клетчатом листочке? Не судите поспешно!

Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Предмет исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Цель исследования: вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

Изучить литературу по данной теме; Рассмотреть различные способы вычислений площадей многоугольников; Показать практическое применение этих способов; Выяснить преимущества и недостатки каждого способа; Систематизировать и углубить накопленные мной знания; Повысить качество знаний и умений.

Многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении

Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

Австрийский математик Георг Александер Пик родился 10 августа 1859 году в Вене. Его отец, будучи руководителем частного института, предпочел до 11 лет обучать мальчика на дому, а потом отдал его сразу в четвертый класс гимназии, окончив которую в 1875 году, поступил в Венский университет.

После защиты диссертации его утверждают на должность ассистента одного из ведущих физиков того времени, профессора Эрнста Маха, являющегося одновременно ректором Карлова университета в Праге — старейшего учебного заведения во всех славянских странах. Постоянно, за исключением поездки в Лейпциг для обучения под руководством Феликса Клейна в 1884-1885 годах, Пик живет и работает в Праге.

В 1900-1901 годах был деканом философского факультета Карлова университета, и в 1911 году Пик оказался во главе комиссии, которая приняла на кафедру математической физика Альберта Эйнштейна. Они становятся близкими друзьями, совершая продолжительные пешие прогулки и беседуя, вместе музицируют.

Среди всего многообразия достижений австрийского математика выделяется формула для вычисления площадей многоугольников с вершинами в узлах клетки. Она стала широко известна только в 1969 году,

после того, как Гуго Штейнгауз включил ее в свою знаменитую книгу «Математический калейдоскоп».

После выхода в 1927 году на пенсию Пик вернулся в свой родной город Вену. Однако после аншлюса (присоединение) 12 марта 1938 года Австрии с Германией ему снова пришлось перебраться в Прагу. В сентябре 1938 года фашистская Германия вторглась на территорию Чехословакии. был брошен в концентрационный лагерь в Терзинштадте, где и умер две недели спустя.

1.2 ФОРМУЛА ПИКА

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют на нем сетку, а вершины клеток — узлы этой сетки.

Найдем площадь многоугольника с вершинами в узлах (рис.1). Искать ее можно по-разному.

1 способ: с помощью палетки.

способ: попробовать разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площади и сложить. Однако, это очень хлопотно! способ: вычислю площадь заштрихованной фигуры (рис.2), которая «дополняет» многоугольник до прямоугольника АВСД, и вычту эту площадь из площади АВСД. Заштрихованная фигура (в отличие от исходного многоугольника) легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, так что ее площадь вычисляется без усилий. Она равна:

1·2+0,5·1·2+0,5·1·1+1·3+0,5·1·4+0,5·1·2+0,5·1·4+0,5·1·3=13 кв. ед.

Следовательно, площадь исходного многоугольника равна 5·6-13=17кв. ед.

Хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади мне пришлось изрядно потрудиться. Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая площадь такого многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника.

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью. Обозначим его площадь через S; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через В; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через Г.

Тогда справедлива формула S=В+Г:2-1, которую открыл и доказал австрийский математик в 1899 году (1859-1943)

Доказательство проведу в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Единичный квадрат. В самом деле, для него S=1, В=0, Г=4, и формула верна.

2.Прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначу через а и b длины сторон прямоугольника.

Тогда нахожу:S=ab , В = (а-1)(b-1), Г=2(а+b). Непосредственной подстановкой убеждаюсь, что формула Пика верна. S= (a-1)(b-1)+a+b-1 = ab

3.Любой треугольник, расположенный на клетчатой бумаге, внутри которого нет узлов, а на его границе узлами являются только вершины треугольника, имеет площадь 0,5 кв. ед. Такие треугольники называются примитивными. Следовательно, справедливо следующее утверждение:

Все примитивные треугольники равновелики и их площади равны половине площади единичного квадрата.

Множество примитивных треугольников разнообразно.

4.Прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для доказательства замечу, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначу через c число целочисленных точек, лежащих на диагонали. Формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения c.

5.Произвольный треугольник. Замечу, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.

Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам

6.Произвольный многоугольник. Для доказательства разобью на треугольники с вершинами в целочисленных точках. Для одного треугольника формулу Пика я уже доказала. Дальше, можно доказать, что при добавлении к произвольному многоугольнику любого треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда следует, что она верна для любого многоугольника.

У меня возник вопрос: а всякий ли многоугольник с вершинами в узлах можно разрезать на такие треугольники?

Если все углы многоугольника меньше 180°, т. е. многоугольник выпуклый, то его можно разрезать на треугольники, например, проведя диагонали, соединяющие одну из его вершин со всеми остальными.

Следовательно, формула Пика верна для всех выпуклых многоугольников.

Опять вопрос: а выполняется ли формула Пика для невыпуклых многоугольников?

Доказательство этого факта оказалось слишком сложным. Я решила на конкретных примерах проверить формулу Пика для таких многоугольников.

S=0+32:2-1=15 кв. ед S=18+17:2-1=25,5 кв. ед S=0+20:2-1=9 кв. ед

S =0+19:2-1=8,5 кв. ед

1.3 УЗЛЫ НА ОТРЕЗКЕ

Неудобство формулы Пика состоит в том, что уж очень четким должен быть чертеж и очень внимательно нужно его рассматривать, чтобы определить, лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на ее границу. Как точно сосчитать число узлов на границе? Поскольку граница состоит из отрезков, то меня заинтересовал вопрос о количестве узлов сетки, лежащих на произвольном отрезке с концами в узлах. Пусть А и В — узлы сетки. Обозначу через С1 первый узел, встретившийся после А на отрезке АВ (значит, между точками А и С1 больше узлов нет). Построю прямоугольный треугольник АС1Д1 с гипотенузой АС1 и катетами, лежащими на линиях сетки (рис.10).

Если С1≠В, то смещу этот треугольник вдоль отрезка АВ на расстояние АС1. Получу равный ему треугольник С1С2Д2. Следовательно, С2- узел, и между С1 и С2нет узлов. Ясно, что если эту процедуру продолжить, то когда-нибудь в качестве очередной точки Ск+1 можно получить точку В – узел сетки. Рассматривая большой прямоугольный треугольник АRВ с гипотенузой АВ, прихожу к выводу:

АR=(k+1)АД1, ВR=(k+1)C1Д1, АВ=(k+1) АС1 (*)

Сколько же узлов лежит между точками А и В (считаем, что А и В не лежат на одной линии сетки). Построю прямоугольный треугольник АКВ с вершинами в узлах сетки и с гипотенузой АВ (рис.11). Пусть АК =р, BR=q. Очевидно, что p и q — целые положительные числа.

Теорема. Если p и q — взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки. Если же наибольший общий делитель p и q равен n, где n>1(НОД (p, q)= n>1), то на отрезке АВ между точками А и В расположено ровно (n-1) узлов сетки.

1) Пусть числа p и q взаимно просты. Если между А и В были k узлов (k≥ 1), то, взяв ближайший узел к А узел С1, получу по формулам (*): p=( k+1)АД1, q=(k+1)C1Д1, т. е. p и q имеют общий делитель ( k+1), больший 1. Но ведь они взаимно просты.

2) Пусть НОД(p, q)= n>1. Поделю отрезок АR и ВR на n равных частей, опять прихожу к рис.10, С1,С2,…,Сk — какие-то узлы сетки и k=n-1. Таким образом в этом случае между точками А и В есть хотя бы n-1 узел. Следовательно, если самый большой общий делитель чисел p и q равен n, то между А и В ровно n-1 узел. Зная, это, можно не мучаясь сомнениями с уверенностью сказать, через сколько узлов проходит произвольный отрезок с концами в узлах сетки.

Сколько клеток рассекает на две части диагональ прямоугольника m x n, где m и n взаимно простые числа?

Замечу, что диагональ такого прямоугольника не проходит через узлы. Буду считать, что диагональ идет из левого нижнего угла прямоугольника. Самой первой она рассекает левую нижнюю угловую клетку (клетку №1), потом она попадает в клетку №2 (рис.12), и так далее.

Пусть диагональ уже пересекла k клеток. Так как она ни разу не проходит через узел, то всегда можно однозначно указать, какую клетку она рассечет после клетки с номером k.

Итак, я получила «цепочку», идущую из левого нижнего угла в правый верхний. Мне необходимо понять, чему равно число клеток в этой цепочке. Дам каждой клетке адрес (t;s), если она расположена в горизонтальном ряду с номером t, и вертикальном ряду с номером s. Левый нижний угол получает адрес (1;1) а правый верхний — (m;n). Замечаю, что при переходе от клетки с номером k в нашей цепочке к клетке с номером k+1 сумма чисел t и s в адресе возрастает точно на 1. Значит, чтобы перейти от клетки с адресом (1;1) к клетке с адресом (m;n), надо сделать ровно m+n-2 шагов, пройдя, таким образом, m+n-1 клеток.

Пусть m и n-произвольные натуральные числа. Сколько клеток рассекает диагональ прямоугольника m x n?

Пусть d — НОД (m;n). Очевидно, что вдоль диагонали исходного прямоугольника образуется d маленьких прямоугольников md х nd. Стороны этих маленьких прямоугольников уже взаимно просты, поэтому их диагонали рассекают по md+nd -1 клеток каждая. Значит, диагональ исходного прямоугольника рассечет (md+nd -1)d=m+n-d клеток.

В прямоугольнике m x n диагональ рассекает m + n — НОД(ш;п) клеток.(**)

Например, если m и n взаимно просты — то m+n-1 клеток.

2.1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Введите на клетчатой бумаге систему координат. Отметьте точки А(-2;7), В(1;-2), С(-4;-7), Д(2;-5), Е(3;-8), F(5;-4), G(14;-1), Н(8;2), К(11;8), L(6;3) и соедините их последовательно отрезками АВ, ВС, СД, ДЕ, ЕF, FG, GH, НК, KL, LA. Найдите площадь полученной фигуры.

Используя формулы для вычисления площади прямоугольника и площади треугольника, вычислю площади фигур 1-16.

Видео:Как найти площадь и периметр прямоугольника?Скачать

Математика. 4 класс

Конспект урока

Математика, 4 класс

Урок №14. Измерение площади фигуры с помощью палетки

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Площадь геометрической фигуры.

Вычисление площади фигур произвольной формы, используя палетку.

Глоссарий по теме:

Площадь — свойство фигур занимать место на плоскости.

Длина — свойство предмета “быть протяжённым в пространстве”

Палетка — прозрачная пластинка, разделенная на единицы площади.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Математика: 4 класс: учебник в 2 ч. Ч.1/ М.И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, С.И.Волкова, С.В.Степанова – М. Просвещение, 2016. – с. 36-38
2. Всероссийские проверочные работе. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс в 2 ч. Ч 1/ под.ред. Н.А. Сопруновой – М.; Просвещение, 2016. – с. 50 -68

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вычислите площадь прямоугольника, если известно, что его длина равна 8см, а ширина 5см.

Вы уже знаете, чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину. S= 8 ∙ 5 = 40 см 2

А теперь попробуйте вычислить площадь данной фигуры:

-?

Сегодня мы узнаем, что для нахождения площади фигур можно использовать палетку. Палетка – это прозрачная плёнка, которая может быть разбита на квадратные дециметры, квадратные сантиметры, квадратные миллиметры. Простейшая палетка — лист кальки, разделенный на квадратные сантиметры. Палетку используют для измерения площади фигур, ограниченных кривой линией.

Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно:

1) На данную фигуру наложить палетку. Не сдвигать!

2)Сосчитать, сколько целых клеток- квадратных единиц — содержится в фигуре.

Целых 34 клетки.

3) Сосчитать, сколько нецелых квадратных единиц содержится в фигуре.

Неполных 8 клеток.

4) Количество нецелых квадратных единиц разделить на 2, примерно столько целых квадратных единиц они образуют.

5) Сложить числа, полученные в пунктах 2 и 4.

6) В ответе записать, что площадь фигуры приблизительно равна найденной сумме.

S = 34 + (8 : 2) = 38 см 2

Ответ: S = 38 см 2

Задания тренировочного модуля:

1. Определите, какая фигура имеет большую площадь, а какая — меньшую, и решите ребус соответствия.

Правильный ответ: Прямоугольник – большую, круг – меньшую.

Сторона клетки фигуры на рисунке равна 1 см. Найдите её площадь и периметр.

🌟 Видео

урок 158 Площадь комбинированных фигур. Математика 4 классСкачать

Площадь прямоугольникаСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Как различать периметр и площадь?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Что важнее площадь или периметр?Скачать