вычисление площадей и объемов тел

Видео:11 класс, 33 урок, Вычисление объемов тел с помощью определённого интегралаСкачать

УРОК «Вычисление площади поверхностей и объемов тел»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Тема: Вычисление площади поверхностей и объемов тел.

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках;

совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов, объемов и площади поверхностей многогранников и тел вращения.

Понятие тела вращения.

Параллелепипед. Площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.

Призма. Площадь полной и боковой поверхностей, объем призмы.

Пирамида. Площадь полной и боковой поверхностей, объем пирамиды.

Цилиндр. Площадь полной и боковой поверхностей, объем цилиндра.

Конус. Площадь полной и боковой поверхностей, объем конуса.

Шар. Площадь полной и боковой поверхностей, объем шара.

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Видео:Вычисление объемов тел вращения (применение определенного интеграла)Скачать

Задача 1. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45°. Объем призмы равен 108 см 3 . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Видео:Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

Решение:

Видео:Математика | Объём в жизни и в математикеСкачать

В основании лежит равнобедренный треугольникс

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Видео:Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.Скачать

Видео:Урок 6 (осн). Вычисление и измерение объемаСкачать

Видео:Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интегралСкачать

Ответ: см 2 .

Видео:Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать

Задача 2. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Высота пирамиды опущена в точку пересечения его диагоналей. Меньшие боковые ребра пирамиды равны 5 см. Найдите объем пирамиды.

Видео:Урок 5 (осн). Вычисление и измерение площади фигурСкачать

Решение:

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Видео:Интегралы №13 Объем тела вращенияСкачать

.

Видео:Применение определенного интеграла при решении геометрических и физических задач. 11 класс.Скачать

Ответ: 32см 3 .

Видео:Урок 28 (осн). Вычисление массы и объема тела по плотностиСкачать

Задача 3. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8√2 см. Найдите объем цилиндра.

Видео:Видеоурок "Объем тела вращения"Скачать

Решение:

Видео:Расчёт массы и объёма тела по его плотности | Физика 7 класс #16 | ИнфоурокСкачать

Задача 4. Высота конуса равна 8 см, объем 24π см 3 . Найдите площадь полной поверхности конуса.

Видео:Объем через двойной интегралСкачать

Решение:

Видео:Математика 4 Оценка площади Приближенное вычисление площадейСкачать

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Ответ: см 2 .

Видео:Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей и объемов тел вращения.Скачать

Задача 5. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 4 π см 2 . Найдите объем шара.

Решение:

Ответ: см 3 .

Выполните следующие задания:

Вариант №1

Стороны основания прямого параллелепипеда 6см и 4см, угол между ними . Диагональ большей боковой грани 10см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда.

Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 8см и 15см и углом между ними . Высота призмы 11см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы.

Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол при стороне основания равен , а радиус окружности, описанной около основания, равен 2см.

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12см и составляет с боковым ребром угол .

Основание прямой призмы – ромб со стороной 13см и одной из диагоналей равной 24см. Найдите объём призмы, если диагональ боковой грани 14см.

Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в. Высота цилиндра равна 5см, радиус цилиндра — см. Найдите площадь сечения.

Вариант №2

В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 12см и углом . Меньшая диагональ параллелепипеда 13см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда.

Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 8см и 3см и углом между ними . Высота призмы 15см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы.

Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если её апофема 4см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен .

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12см и образует с высотой угол .

Основание прямой призмы АВСDА ₁ В ₁ С ₁ D ₁ – параллелограмм АВСD. АВ = 12см, АD = 15см, ВАD = . Найдите объём призмы, если диагональ DС ₁ боковой грани равна 13см.

Развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8см, а угол между диагоналями — . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в . Радиус цилиндра равен 4см. Найдите площадь сечения.

Краткое описание документа:

Цель занятия: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках;

совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов, объемов и площади поверхностей многогранников и тел вращения.

Контрольные вопросы.

• Понятие многогранника.
• Понятие тела вращения.
• Параллелепипед. Площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.
• Призма. Площадь полной и боковой поверхностей, объем призмы.
• Пирамида. Площадь полной и боковой поверхностей, объем пирамиды.
• Цилиндр. Площадь полной и боковой поверхностей, объем цилиндра.
• Конус. Площадь полной и боковой поверхностей, объем конуса.
• Шар. Площадь полной и боковой поверхностей, объем шара.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 991 человек из 78 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 672 человека из 74 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 307 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 545 361 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 25.11.2018
• 196
• 1

• 09.11.2018
• 1619
• 46

• 06.11.2018
• 948
• 9

• 31.10.2018
• 1809
• 16

• 30.10.2018
• 485
• 5

• 18.10.2018
• 256
• 0

• 17.10.2018
• 289
• 7

• 23.09.2018
• 5200
• 469

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.12.2018 4732
• DOCX 116.8 кбайт
• 47 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Kалинина Вера Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 5
• Всего просмотров: 29183
• Всего материалов: 16

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Минтруд рекомендовал перевести на удаленку максимальное число сотрудников

Время чтения: 1 минута

Общество «Знание» в 2022 году планирует запустить серию хакатонов и школу лекторов

Время чтения: 2 минуты

Петербургская учительница уволилась после чтения на уроке Введенского и Хармса

Время чтения: 3 минуты

В Госдуме предложили ввести пост уполномоченного по правам учителей

Время чтения: 2 минуты

Новые курсы: школьные службы примирения, детская журналистика и другие

Время чтения: 15 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Все формулы объемов геометрических тел

1. Расчет объема куба

a — сторона куба

Формула объема куба, (V):

2. Найти по формуле, объем прямоугольного параллелепипеда

a , b , c — стороны параллелепипеда

Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.

Формула объема параллелепипеда, (V):

3. Формула для вычисления объема шара, сферы

R — радиус шара

По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):

4. Как вычислить объем цилиндра ?

h — высота цилиндра

r — радиус основания

По формуле найти объема цилиндра, есди известны — его радиус основания и высота, (V):

5. Как найти объем конуса ?

R — радиус основания

H — высота конуса

Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):

7. Формула объема усеченного конуса

r — радиус верхнего основания

R — радиус нижнего основания

h — высота конуса

Формула объема усеченного конуса, если известны — радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ):

8. Объем правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр — пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а — ребро тетраэдра

Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):

9. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):

10. Объем правильной треугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

a — сторона основания

h — высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны — высота и сторона основания (V):

11. Найти объем правильной пирамиды

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

h — высота пирамиды

a — сторона основания пирамиды

n — количество сторон многоугольника в основании

Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):

Калькулятор вычисления объема и площади геометрических фигур

Весь осязаемый мир представляет собой объемные геометрические фигуры и их сочетания. Определение объемов и площадей поверхностей тел может понадобиться не только при решении школьных задач, но также в быту или профессиональной деятельности. Простые объемные тела разделяются на две категории.

Тела вращения

Первая категория — это тела вращения. Такие объемные фигуры образуются путем вращения плоской фигуры вокруг одной из сторон или путем движения образующей кривой вдоль направляющей. Наш каталог предлагает калькуляторы, при помощи которых можно рассчитать параметры следующих тел вращения.

Конус

Конус — фигура, которая создается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Также конус формируется путем движения образующего луча вдоль направляющей окружности, при этом начало луча остается неподвижным. Для определения площади поверхности конуса используется простая формула:

где R — радиус основания, l — образующая конуса.

Для подсчета объема конической фигуры используется следующее соотношение:

где h — высота конуса.

Конусы широко встречаются в быту, производстве или науке. Например, коническую форму имеют вафельные рожки для мороженного, абажуры для светильников, пожарные ведра или воронки. В природе конус также распространен: горы, вулканы, сосновые шишки или шляпки грибов имеют форму данного тела.

Цилиндр

Цилиндр — тело вращения, которое образуется путем вращения прямоугольника вокруг одной из сторон. Также цилиндр формируется путем движения образующей прямой по направляющей кривой, которая в случае цилиндра может быть окружностью, эллипсом, параболой или гиперболой. Такие «экзотические» цилиндры носят соответствующие названия эллиптических, параболических и гиперболических фигур, однако в реальной жизни наибольшее распространение получил прямой круговой цилиндр. Для определения площади поверхности такого цилиндра используется формула:

S = 2 pi × R × (R + h),

где R — радиус основания, h — высота цилиндра.

Для вычисления объема цилиндра геометры применяют следующее соотношение:

Цилиндр легко встретить в реальной жизни: это и цистерны, и поршни двигателей, и колонны, и трубы газопроводов. Цилиндры широко используются в производстве, поэтому многим инженерам приходится вычислять площади поверхностей или объемы цилиндрических объектов.

Шар — тело вращения, созданное путем вращения круга около своей оси. Сфера — это поверхность, сформированная путем вращения окружности или полуокружности вокруг своей оси. Таким образом, шар — это пространство, ограниченное сферой. Площадь сферы вычисляется по формуле:

где R — радиус сферы.

Для подсчета объема шара используется следующее выражение:

Шар — идеальная фигура, поэтому в природе она встречается довольно часто. К примеру, сферическую форму принимают капли дождя, снежные комья, планеты, звезды, а также ягоды или кроны деревьев. В человеческой повседневности форму шара имеют спортивные мячи, пушечные ядра, подшипники или бусины.

Многогранники

Вторя категория — многогранники. Многогранник или полиэдр — это объемное тело, каждая грань которого является многоугольником. Существует огромное множество многогранников: к ним относятся призмы, пирамиды, параллелепипеды, а также платоновы тела — полиэдры, гранями которых являются правильные многоугольники. В нашем каталоге вы найдете инструменты для определения площадей поверхностей и объемов следующих многогранников.

Призма

Призма — это полиэдр, который состоит из двух n-угольных оснований, параллельных друг другу и n боковых граней, формирующих боковую поверхность призмы. Грань призмы — это всегда параллелограмм. Простыми словами, если в основании фигуры лежит квадрат, то призма считается четырехугольной, но при этом шестигранной: четыре грани составляют боковую поверхность, а две — поверхность оснований. Если в основании лежит пентагон — то призма пятиугольная и семигранная, а если додекагон — то фигура 12-угольная и 14-гранная. Если в основании призмы положить полигон, количество сторон которого стремится к бесконечности, то основание превратится в круг, а призма — в цилиндр. Для определения площади боковой поверхности призматической фигуры используется выражение:

где a — сторона параллелограмма, n — количество граней, h — его высота.

Площадь поверхности основания призмы зависит от многоугольника и в общем виде для правильных полигонов рассчитывается как:

So = n/4 × a 2 × ctg(pi/n),

где n — количество сторон фигуры, a — длина стороны.

Полная же площадь поверхности определяется как:

Объем призмы вычисляется по следующей формуле:

Призма — наиболее распространенный в человеческой повседневности полиэдр. Форму призмы имеет огромное число предметов вокруг вас: это системный блок компьютера, сабвуфер, стол, шкаф, комната и здание. Если выйти на улицу, то вы увидите царство призм. Именно поэтому инструмент для определения объемов и площадей поверхности призматических фигур всегда актуален.

Пирамида

Пирамида — это полиэдр, который составлен из n-угольного основания и n боковых граней, формирующих боковую поверхность пирамидальной фигуры. Грань пирамиды — это всегда треугольник. Вид полиэдра определяется в зависимости от того, какой полигон выступает в роли фундамента пирамиды. Следовательно, пирамиды бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные или n-угольные. Площадь боковой порвехности пирамиды рассчитывается согласно выражению:

где h — высота пирамиды, P — периметр полигона, лежащего в основании.

Площадь фундамента рассчитывается по общей формуле для любого правильного полигона:

So = n/4 × a 2 × ctg(pi/n),

где a — длина стороны, n — количество сторон.

Полная площадь поверхности пирамиды определяется как:

Для определения объема пирамиды используется формула:

где h — высота фигуры.

Пирамида — довольно распространенная фигура и широко используется в архитектуре. Всем известно о величественных пирамидах в Египте или колоссальных сооружениях в Южной Америке. Современные архитекторы также активно используют пирамиды при проектировании торговых комплексов, музеев или выставочных галерей. Кроме того, пирамидальные фигуры часто встречаются в производстве и машиностроении.

Параллелепипед

Параллелепипед — это гексаэдр с попарно параллельными гранями. Если ребра такого шестигранника равны, то параллелепипед превращается в куб. Параллелепипед — это частный случай прямой четырехугольной призмы, поэтому формулы для расчета площади и объема фигуры выводятся из соотношений для призмы с n = 4. Таким образом, для расчета площади поверхности гексаэдра используется формула:

S = 4 (a × h) + 2 (a × b),

где a, b — стороны основания параллелепипеда, h — высота фигуры.

Объем полиэдра определяется как:

Параллелепипед, так же как и призма, постоянно встречается в реальности. Форму такого гексаэдра имеет множество вещей вокруг нас: шлакоблоки, бетонные плиты, грузовые контейнеры или картонные коробки. Формулы для расчета атрибутов параллелепипеда, несомненно, пригодятся вам не только для решения школьных задач, но и в бытовых вопросах.

Примеры использования

Наш калькулятор позволяет рассчитать объем или площадь поверхности любого из заданных геометрических тел. Рассмотрим пару примеров.

Заливка бетона

К примеру, вы решили построить летний коттедж, а для каждого дома необходим фундамент. Вы выбрали плитный фундамент — монолитную плиту, которую заливают под всей площадью будущего жилища. Вам требуется узнать, сколько бетона понадобится для обустройства такого фундамента. Плитное основание представляет собой обычный параллелепипед, следовательно, вам понадобится определить объем шестигранника. Пусть вы хотите построить дом с размерами 6 на 9 метров, а толщина фундамента согласно техническим требованиям должна составлять 15 см. Приведем все параметры в одни единицы измерения и воспользуемся калькулятором для расчета объема параллелепипеда.

Таким образом, нам потребуется заказать 8,1 кубометров бетонной смеси.

Пошив мячей

Допустим, вы открыли производство по производству волейбольных мячей, и вам требуется узнать, сколько материала уходит на пошив одного мяча. Согласно данным из Википедии, стандартный волейбольный мяч имеет длину окружности l = 67 см, следовательно, радиус такого мячика составит 10,6 см. Зная радиус, вы без проблем можете определить, сколько синтетической кожи понадобится для создания одного изделия

Это означает, что для обшивки одного мяча вам понадобится 0,141 квадратных метров кожи.

Заключение

Объемные фигуры постоянно вращаются вокруг нас, поэтому задача определения площадей поверхностей и объемов многогранников остается актуальной задачей. Используйте наш каталог онлайн-калькуляторов и выполняйте необходимые расчеты для решения бытовых или производственных задач.