Видео:Вычисление площадей на клетчатой бумагеСкачать
Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике
Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.
Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.
Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.
Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.
В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам
1. На клетчатой бумаге с размером клетки 
изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда
3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на
Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:
Осталось умножить найденное значение синуса на
4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:
, где и — диагонали.
Получим: 
5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции
Нахождение площадей многоугольников сложной формы
А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.
6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.
Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .
7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.
Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .
Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.
Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1
где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.
Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.
Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:
Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.
Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.
Выбирайте — какой способ вам больше нравится.
8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 
Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.
Площадь каждого из больших треугольников равна
Площадь каждого из маленьких треугольников равна
Тогда площадь четырехугольника
9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки
На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь вырезанного квадрата равна 4.
Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.
Площадь круга, длина окружности, площадь части круга
Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.
Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.
10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .
На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.
11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.
На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.
Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:
12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.
Задачи на координатной плоскости
13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).
Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда
14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты
На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.
Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать
Формула Пика
Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.
Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.
В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.
ФОРМУЛА ПИКА
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:
М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)
N – количество узлов внутри треугольника
*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.
Найдём площадь треугольника:
M = 15 (обозначены красным)
N = 34 (обозначены синим)
Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:
M = 18 (обозначены красным)
N = 20 (обозначены синим)
Найдём площадь трапеции:
M = 24 (обозначены красным)
N = 25 (обозначены синим)
Найдём площадь многоугольника:
M = 14 (обозначены красным)
N = 43 (обозначены синим)
Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно это делать и таким образом.
А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.
Теперь взгляните на следующие фигуры:
Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, н айдём площадь фигуры:
M = 11 (обозначены красным)
N = 5 (обозначены синим)
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.
Найдём площадь фигуры:
Опишем около неё прямоугольник:
Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:
В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!
Видео:Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумагеСкачать
Исследовательская работа «Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.doc
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге»
Автор: Девятериков Илья Сергеевич,
Научный руководитель: Тончихина Анна Степановна,
2013-2014 учебный год
О
главление
«Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случая
делать его немного занимательным»
Впервые с проблемой вычисления площади фигур я столкнулся при решении задачи, суть которой сводилась к тому, что требовалось разделить квадрат на пять частей так, чтобы площадь пяти фигур имела общую вершину, одинаковую площадь и равную длину по периметру. Решение требовало наглядный чертёж. Так как решение выполнялось в тетради, то меня заинтересовало: можно ли рассчитать площадь, сосчитав клетки внутри фигуры. Как, оказалось, существует формула, которая позволяет сосчитать площадь, но только не по клеткам, а по их узлам – формула Пика. Впоследствии мне захотелось узнать, есть ли другие способы для вычисления площади на клетчатой бумаге.
Я выдвинул гипотезу: если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то ее площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми.
Цель работы: исследование способов вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге.
Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:
Изучить литературу по исследуемой теме.
Отобрать интересную и понятную информацию для исследования.
Найти различные методы и приёмы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге.
Проанализировать и систематизировать полученную информацию.
Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала.
Объект исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.
Предмет исследования: способы вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге.
Методы и исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, анализ и классификация информации.
Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии, в частности название «геометрия» (т.е. «землемерие») связывают именно с измерением площадей. Многие ученые решали проблему вычисления площади фигуры. В историю с понятием площади вошли имена Евклида, Архимеда, Пифагора, Герона Александрийского, Рене Декарта, Пьера Ферма, Георга Пика и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.
Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Например, каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна двадцати квадратным метрам. Меня интересует площадь многоугольника – величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Об этом свойстве площади говорил ещё Евклид.
Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольного n -угольника нет. Многоугольник на клетчатой бумаге является одним из видов произвольного n -угольника.
Я приступил к изучению вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге, и оказалось, задачи достаточно разнообразны и занимательны. Они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.
В процессе исследования я научился находить площади многоугольников на клетчатой бумаге 4 различными способами:
первый способ – разбиение многоугольника на прямоугольные треугольники и (или) прямоугольники с вершинами в узлах сетки;
второй способ – состоит в том, что от площади основного прямоугольника вычитаются площади прямоугольных треугольников и(или) прямоугольников;
третий способ – вычисление площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги по формуле Пика;
четвёртый способ – подсчет площади фигуры, введя систему координат.
П
ервый способ — разбиение
Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.
Разделим четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника (рис.1).
айдём площадь первого треугольника – S 1=½*4*2=4
айдём площадь второго треугольника – S 2=½*1*2=1
Найдём площадь третьего треугольника – S 3=½*3*2=3
Найдём площадь четвертого треугольника – S 4=½*3*3=4,5
Найдём площадь четырёхугольника – S = S 1+ S 2+ S 3+ S 4=4+1+3+4,5=12,5
В
торой способ – дополнение до прямоугольника
Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника, а затем вычитание лишних частей.
.Достроим до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника. Получили квадрат со стороной 5 (рис.2).
2.Найдём площадь квадрата S кв=5 2 =25
3.Найдём площадь первого треугольника – S 1=½*4*2=4
4.Найдём площадь второго треугольника – S 2=½*1*2=1
5.Найдём площадь третьего треугольника – S 3=½*3*2=3
6.Найдём площадь четвертого треугольника – S 4=½*3*3=4,5
7. Найдём площадь четырёхугольника –
Т
ретий способ — формула Пика
Пусть ABCD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис.3).
бозначим через a количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через b – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из а узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из b узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна
S 
= a + ( b – 4): 2 + 4 · 1/4 = a + b /2 — 1.
Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!
то соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick ) в 1899 г.
Рас с читаем площадь нашего четырёхугольника по формуле Пика (рис.4):
количество узлов, лежащих внутри — а =10,
количество узлов на границе — b =7,
Четвёртый способ — нахождение площади по координатам вершин
В 
основе данного способа лежит метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Рене Декартом (1596-1650) и Пьером Ферма (1601-1665), позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык. В основе этого метода лежит понятие – система координат. Мы будем рассматривать вычисление площади треугольника по координатам его вершин в прямоугольной системе координат:
— 
(AB+EF)/2*AE =
Хотя формула и выведена для треугольника, нетрудно показать, что она пригодна для вычисления площади любого n — угольника. Чтобы рассчитать площадь многоугольника данным способом необходимо действовать по следующему алгоритму:
1.Используя наш четырехугольник ABCD (рис.6), как пример, запишем координаты по осям X и Y каждой вершины многоугольника в направлении чтения против часовой стрелки, продублировав координаты первой вершины внизу списка
4 
4 
7
7
6
6
2
2
2.Умножим значение координаты “X” каждой вершины на значение “Y” следующей вершины (таблица №1). Сложим полученные произведения : 4*4+7*6+6*4+2*1= 84
3.Умножим значение координаты “Y” каждой вершины на значение “X” следующей вершины (таблица №2). Сложим полученные произведения:
1*7 + 4*6 + 6*2 + 4*4 = 59
4. Вычитаем сумму, полученную в шаге 3 из результата, полученного в шаге 2: (84) — (59) = 25
5. Разделим эту разницу на 2, чтобы получить площадь четырехугольника: S =25/2 = 12,5 .
Все рассмотренные способы нахождения площади данной фигуры привели нас к одному и тому же результату.
Вычисление площади невыпуклого многоугольника
П
ервый способ не подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.
Дополним фигуру до прямоугольника
со сторонами 7 и 11. (рис.7)
Найдём площадь прямоугольника – S пр=7*11=77
3.Найдём площадь первого треугольника – S 1=½*4*4=8
.Найдём площадь второго треугольника – S 2=½*3*11=16,5
5.Найдём площадь третьего треугольника – S 3=½*3*1=1,5
6.Найдём площадь прямоугольника – S 4=3*6=18
7.Найдём площадь первого треугольника – S 5=½*4*6=12
8.Найдём площадь искомого четырёхугольника –
количество узлов, лежащих внутри — а =18, количество узлов на границе — b =8 (рис.8),
S = a + b /2-1, S =18+8/2-1=21
S =½(( x ₁ y ₂ + x ₂ y ₃ + x ₃ y 4 + x 4 y 1 )-( x ₂ y ₁ + x ₃ y ₂ + x 4 y ₃ + x 1 y 4 ))
И опять мы получили один и тот же результат.
Сравнительный анализ способов нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге
Дополнение до прямоугольника
По координатам вершин
Простота подсчёта площади фигур, которые разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.
Простота подсчёта площади при небольшом количестве фигур, площадь которых необходимо отнять
Вычисление площади многоугольников с необычной формой.
Небольшое количество вершин, и фигура не разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.
Небольшое количество вершин, и фигура с большим количеством узлов и наличие спорных узлов.
Сложность подсчёта площади многоугольников необычной формы.
Большое количество фигур, площадь которых необходимо отнять
Фигуры с большим количеством узлов.
Подсчёт площади фигур с большим количеством вершин.
Невозможность подсчёта площади фигур, которые не разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.
Узлы, лежащие близко к стороне многоугольника.
В ходе данной работы я расширил свои знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедился в многообразии способов вычисления площади многоугольника.
Кроме рассмотренных мною в данной работе 4 способов существуют и другие.
Исследуемый мною вопрос достаточно интересен, полезен, но очень объёмен.
Задачи на клетчатой бумаге встречаются в заданиях ЕГЭ и ОГЭ, поэтому следует хорошо знать ни один способ вычисления площади многоугольника.
Цели и задачи, поставленные в начале работы, были выполнены. Хочу отметить, что любой из рассмотренных мною способов применим для решения задач.
Считаю, с данной работой следует познакомить одноклассников, так как это поможет им при подготовке к экзаменам.
Атанасян Л. С. Геометрия 7-9, учебник. – М.Просвещение,2009
Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.
🌟 Видео
Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать
Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать
Площадь фигурыСкачать
Как найти площадь фигуры?Скачать
Вычисление площадей на клетчатой бумагеСкачать
Легкий балл по геометрии на ОГЭ. Площади фигур на клеточке.Скачать
Площади фигуры на клетчатой бумаге ОГЭ #математика #огэматематика #огэ #семенСкачать
Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать
Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать
ОГЭ 2019 Задание 19. Геометрия на клетчатой бумаге. Площади.Скачать
ОГЭ. Площади фигур на клетчатой бумаге.Скачать
ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ — ГРИГОРИЙ МЕРЗОНСкачать
Вычисление площади треугольника.задача на клетчатой бумагеСкачать
Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать
Геометрия на клетчатой бумаге | Задание 18 ОГЭ | Математика ОГЭ | Площади фигур | МегаШколаСкачать
Интегралы №12 Вычисление площадейСкачать
