все следствия площади треугольника

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть

1) Проведем через вершину прямую, параллельную а через вершину — прямую, параллельную Получим параллелограмм

2) (по трем сторонам). Поэтому

откуда

3) Так как то

В общем виде формулу площади треугольника можно записать так:

где — сторона треугольника, — высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство:

Рассмотрим и у которых Проведем высоты и (рис. 238).

2) (по острому углу), поэтому

3) Имеем:

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна

Решение:

Пусть — равносторонний со стороной Тогда В равностороннем треугольнике где — медиана. Но (§ 18, задача 4), поэтому

Следовательно,

Ответ.

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как (т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого см -гипотенуза, и см — катеты, — высота. Найдем

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: или

Тогда то есть откуда

Таким образом, имеем: (см).

Ответ. см.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

где — сторона треугольника, — проведенная к ней высота.

Пусть — высота треугольника (рис. 148). Докажем, что

Проведем через вершины прямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения Таким образом, мы «достроили» треугольник до параллелограмма в котором отрезок также является высотой, проведенной к стороне

По формуле площади параллелограмма Треугольники равны по трем сторонам (у них сторона общая, как противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника составляет половину площади параллелограмма что и требовалось доказать.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

где — катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

где — диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами (рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной вычисляется по формуле

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть — медиана треугольника (рис. 150).

Проведем высоту треугольника Этот отрезок является одновременно высотой треугольника проведенной к стороне и высотой треугольника проведенной к стороне Учитывая равенство отрезков имеем:

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

• Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
• Окружность и круг
• Описанные и вписанные окружности
• Плоские и пространственные фигуры
• Взаимное расположения прямых на плоскости
• Треугольник
• Решение треугольников
• Треугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции.

8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Видео:Площади треугольникаСкачать

Формула для площади треугольника и следствия из неё

На данном уроке мы докажем формулу для площади треугольника и решим несколько задач на её применение.

Будем называть сторону – основанием, тогда – высота, опущенная к этой стороне (см. Рис. 1).

Рис. 1. Высота и основание

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Теорема о свойстве медианы треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

В формульном виде: .

Доказательство:

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Достроим треугольник до параллелограмма – см. Рис. 2.

(по трём сторонам: – общая, , – как противоположные стороны параллелограмма).

Из равенства треугольников следует равенство их площадей: . Получаем: . Воспользовавшись формулой для площади параллелограмма: .

Сформулируем несколько следствий из данной теоремы.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (см. Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к следствию 1

.

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к следствию 2

.

Теорема 2

Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 5).

Доказательство:

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

Пусть – треугольник, – медиана, – высота. Для треугольников – также является высотой. Запишем формулу для площади каждого из этих треугольников: , . Так как ( – медиана), то: . Значит, эти треугольники являются равновеликими.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Формула для площади ромба

Теорема 3

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей (см. Рис. 6).

В виде формулы: .

Доказательство:

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

(по 3 сторонам: – общая, – свойства ромба). Из равенства треугольников следует равенство их площадей. Значит: . Но формулу для площади треугольника мы уже знаем: (т. к. , поэтому – высота треугольника ). Получаем следующее равенство: ( – свойство диагоналей ромба).

Видео:11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

Свойство треугольников с равными углами

Теорема 4

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

В виде формулы: .

Доказательство:

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Совместим треугольники так, чтобы вершина совпала с вершиной , сторона лежала на прямой , а сторона лежала на прямой .

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим отношение площадей треугольников и . Эти треугольники имеют общую высоту, проведённую из вершины , поэтому, по следствию 2 из теоремы 1, их площади относятся как основания, то есть: .

Из аналогичных соображений: . Перемножив эти два равенства, получим: .

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Задачи на площадь треугольника и следствия из неё

Теперь решим несколько задач, используя доказанные формулы и свойства.

Задача 1

Площадь прямоугольного треугольника равна . Найдите катеты этого треугольника, если известно, что один из них составляет другого.

Решение

Пусть один из катетов равен , а второй – . Тогда площадь треугольника можно вычислить по формуле: . Но, по условию: . Подставив это выражение, получаем: . Откуда: .

Ответ: .

Задача 2

В треугольнике точка лежит на стороне , точка лежит на стороне . Кроме того: , , . Чему равна площадь треугольника (Рис. 9)?

Решение:

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Воспользуемся теоремой 4 для треугольников и ( – общий угол этих треугольников). Из этой теоремы следует, что: . Значит: .

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия площадей треугольника и ромба, вывели из них некоторые следствия. На следующем уроке мы научимся вычислять площадь трапеции.

Видео:Все формулы площади треугольникаСкачать

Площадь треугольника. Полезные теоремы, следствия и задачи

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Площадь треугольника
Полезные теоремы, следствия и задачи.
1
Бойко Вера Петровна
. учитель математики
ГБОУ СОШ № 2075

Вспомните ответы на вопросы
1) Сформулируй понятие площади геометрической фигуры.

2) Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур.

3) Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма?
2

Площадь геометрической фигуры
Площадью геометрической фигуры
называется величина,
характеризующая размер данной фигуры.
3

Основные свойства площадей геометрических фигур
— Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь.

— Эта площадь – единственная.

— Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом.

— Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице.

— Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.
4

Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна
произведению двух его соседних сторон.
5
а
в
S = а · в

Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна
произведению его стороны на высоту,
опущенную на эту сторону

Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна
произведению двух его соседних сторон
на синус угла между ними.
7
а
в
А
В
С
Д
S= а · в · sin А

Площадь треугольника
Теорема
Площадь треугольника равна
половине произведения его стороны
на высоту, опущенную на эту сторону.

Следствия из теоремы
Попробуй доказать самостоятельно следующие следствия из теоремы:
10

Следствие 1
Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов.
11
А
В
С
S= ½ ВС · АС

Следствие 2
Площадь тупоугольного треугольника
равна произведению любой из его сторон
на высоту, опущенную на прямую,
содержащую эту сторону.
12
А
В
С
Д

Следствие 3
Площадь треугольника равна
половине произведения двух любых его сторон
на синус угла между ними.
13
А
В
С
S= ½ АВ · АС · sin А

Следствие 4
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
14
где а – сторона треугольника

Сначала реши легкие задачки
1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см,
а высота, опущенная на это основание, равна 20 см.

2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.

3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны
9 см и 12 см.

Поясняющие чертежи
к этим легким задачкам
16
20

Теперь реши задачки потруднее
1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника.

2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов
равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника

Теперь реши самые трудные задачи
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен . Найдите площадь треугольника.

2. Высота равностороннего треугольника равна h. Вычислите его площадь.

3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.
18

Ответы к легким задачкам
1. 160 см2
2. 9 см 2
3. 54 см 2

Ответы к более трудным задачкам
1. 60 см 2
2.
3. 24 см 2
20

Ответы к самым трудным задачкам

Это интересно!
Определение площадей геометрических фигур — одна из древнейших практических задач.
Правильный подход к их решению был найден не сразу.
Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.
22

Например, мы уже знаем, как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм:
23

-Отметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны.
-Проведем через эту точку прямую, параллельную одной из сторон этого треугольника.
-Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию.
-Переставим меньший треугольник к трапеции так, чтобы получился параллелограмм.
24

Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма.
26

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!
27

И в заключении…
Надеюсь, что эта информация поможет вам хорошо разобраться в этой теме, а значит получить на контрольной работе только «5»!

Благодарю за внимание !
28

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 97 человек из 45 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 350 человек из 64 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 216 человек из 51 региона

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 523 391 материал в базе

Другие материалы

• 01.01.2021
• 2702
• 1

• 01.01.2021
• 3700
• 12

• 01.01.2021
• 2742
• 0

• 01.01.2021
• 2882
• 0

• 01.01.2021
• 2940
• 1

• 01.01.2021
• 3537
• 1

• 01.01.2021
• 3232
• 0

• 01.01.2021
• 2960
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.11.2020 124
• PPTX 2.8 мбайт
• 2 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Максимова Мария Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 22140
• Всего материалов: 212

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Площадь треугольника, следствиеСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Генпрокуратура проводит масштабную проверку в российских школах

Время чтения: 1 минута

Онлайн-тренинг о способах взаимодействия с разными категориями учащихся

Время чтения: 2 минуты

Все школы Ненецкого АО перевели на удаленку

Время чтения: 1 минута

Ставропольских школьников с 1 по 8 класс перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 2 минуты

Петербургских школьников с 7 по 11 классы перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📺 Видео

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

53. Площадь треугольникаСкачать

Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.Скачать

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | ИнфоурокСкачать

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Площадь треугольникаСкачать

Площадь треугольника (решение задач 1)Скачать

Площадь треугольника | Геометрия 7-9 класс #52 | ИнфоурокСкачать