все формулы площади основания пирамиды

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

Видео:Пирамида. 11 класс.Скачать

Площадь основания пирамиды

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник — равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды — это площадь этой плоской фигуры.

Видео:Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

• треугольная,
• четырехугольная,
• шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание — равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание — квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник — находим его площадь:

, где — сторона треугольника.

Основание треугольной пирамиды

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где — сторона квадрата.

Основание четырехугольной пирамиды

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

Основание шестиугольной пирамиды

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды — это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье «Площадь треугольника».

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Видео:10 класс, 32 урок, ПирамидаСкачать

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: . Нам дана сторона , тогда

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м 2 . Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: . Подставим в нее значение стороны . Получим: м 2 .

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: .

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами — нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой — высотой. Определяем площадь по формуле:

.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Пирамиды

Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A₁A₂ . A_n , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .

Определение 1. Пирамидой ( n — угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 1) .

Точку S называют вершиной пирамиды.

Точки A₁ , A₂ , . , A_n , S часто называют просто вершинами пирамиды.

Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.

Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.

Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

Доказательство. Заметим, что у n — угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n — угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.

то теорема Эйлера доказана.

Видео:Правильная пирамида. Видеоурок 13. Геометрия 10 классСкачать

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Замечание 2. Если центр основания A₁A₂ . A_n правильной пирамиды SA₁A₂ . A_n обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .

Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой .

На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SA_nA_n-1 и отрезок SC – апофема грани SA₂A₁ .

Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.

Свойства правильной пирамиды:

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

У любой правильной пирамиды все апофемы равны.

Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

Видео:🙂 Площадь поверхности правильной пирамидыСкачать

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS . Обозначим буквой D середину ребра AC . Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC , то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS , что и требовалось доказать.

Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC . Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

,

.

По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

Ответ.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

Введем следующие обозначения

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды :

,

Пирамида	Рисунок	Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Произвольная пирамида
Правильная n – угольная пирамида
Правильный тетраэдр

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

,

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

🎥 Видео

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамидыСкачать

11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.Скачать

Задачи на пирамиду. Основные формулы - bezbotvyСкачать

Объём пирамидыСкачать

Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

ВСЕ О ПИРАМИДАХ! ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия #пирамида #профильныйегэСкачать

Формулы пирамиды для ЕГЭ #геометрия #стереометрия #пирамида #егэ2023 #егэСкачать