все формулы площадей поверхностей многогранников (2 видео)

Содержание

Многогранники
Многогранники
Объемы различных многогранников:
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
Теорема Пифагора
Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.
Многогранники — виды, свойства и формулы
Основные понятия
Параметры фигуры
Правильные многогранники
Призма и ее особенности
Характеристики параллелепипеда
Пирамида и ее величины
📹 Видео

Видео:Задача 8 ЕГЭ по математике #1Скачать

Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

Призма $V=S_·h$
Пирамида $V=/S_·h$
Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

Первый способ.

Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
Найти объем параллелепипеда.
Найти объем лишней части фигуры.
Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:

2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:

Его длина равна $9-4=5$

3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Второй способ

Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
Найти объем каждого параллелепипеда.
Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$/$	$/$	$/$
$cosα$	$/$	$/$	$/$
$tgα$	$/$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$/$

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Иногда в задаче надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.

Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать

Многогранники — виды, свойства и формулы

Видео:Математика | Объём в жизни и в математикеСкачать

Основные понятия

Определение многогранника включает в себя такое понятие, как геометрическое тело, созданное из плоских многоугольников. Их число конечное. От формы каждого из них напрямую зависят свойства итоговой фигуры. Их делят на 2 типа:

Выпуклые. Располагаются над плоскостью, которую можно провести через любой многоугольник, являющийся частью геометрического тела. В них все диагонали лежат внутри. Также тут все плоские углы в сумме дают 360 градусов.
Невыпуклые. Полностью или частично располагается над и под плоскостью, проведенной через выбранный многоугольник. Здесь некоторые диагонали могут располагаться снаружи.

Поскольку многогранники рассматриваются в трехмерном евклидовом пространстве, они относятся к стереометрии. А их многоугольники лежат в двумерной плоскости, что относится к планиметрии. Поэтому основные свойства и понятия формируются, включая в себя обе эти науки.

Видео:Площадь поверхности многогранникаСкачать

Параметры фигуры

Независимо от вида, классификации и типа , каждый многогранник имеет определенные параметры. Все они являются одинаковыми для разных фигур. К ним относятся:

Грани. Это многоугольники, которые формируют основную фигуру;
Ребра . Это стороны плоских геометрических тел, каждая из которых является смежной между двумя многоугольниками. В противном случае многогранник не существует, т. к. не имеет замкнутую форму;
Вершины. Характеристика определяется числом граней. Чем их больше, тем, соответственно, больше вершин;
Диагонали. Секущие линии, конечными точками которых являются 2 вершины, каждая из них относится к разным граням;
Высоты. Это перпендикуляры, проведенные от одного основания к другому (в случае с призмой — от основания к вершине).

В случае с многогранниками часто используется такое понятие, как развертка . Ее обозначение включает в себя совокупность многоугольников, а также указание сторон и вершин. Чаще всего применяется в случае, когда необходимо составить модель из бумаги или иного подручного материала. Каждый элемент может быть отдельным, равно как следовать один за другим.

Для многогранников применяется теорема Эйлера. В ней участвует количество вершин (V), ребер ® и граней (G). Формула следующая : V — R + G = 2. Указанное равенство не рассматривается ни с какими другими геометрическими телами , даже если они лежат в трехмерном евклидовом пространстве.

Видео:Миникурс по геометрии. Куб, призма, цилиндр и конусСкачать

Правильные многогранники

Правильные многогранники — фигуры, грани которых представляют собой многоугольники с равными углами и сторонами. Также они называются Платоновыми телами. Всего существует 5 соответствующих тел, подробные характеристики которых представлены в таблице.

Название	Определение	Характеристики	Особенности
Тетраэдр	Геометрические тела, включающие в себя 4 грани (далее — Г ), все они являются правильными треугольниками	Есть 4 Г , 4 вершины (далее В), 6 ребер	Является разновидностью треугольной пирамиды с одинаковыми равными сторонами, центр симметрии отсутствует
Гексаэдр	Фигура, состоящая из 6 Г , каждая из которых является квадратом. Дословно с греческого переводится как «шестигранник»	Есть 6 Г , 8 В и 12 ребер	Является кубом с центром симметрии
Октаэдр	Многогранник с 8 Г , каждая из которых — правильный треугольник	Есть 8 Г , 6 В и 12 ребер	Является двумя правильными пирамидами, соединенных между собой через 4-угольное основание. Есть центр симметрии
Додекаэдр	Фигура с 12 Г , каждая из которых является правильным пятиугольником	Есть 12 Г , 20 В и 30 ребер	Имеет центр симметрии, 15 осей и плоскостей
Икосаэдр	Фигура с 12 Г , являющимися правильными треугольниками	Есть 20 Г , 12 В и 30 ребер	Есть центр симметрии, 15 осей и плоскостей

Правильные многогранники изучались древними греками. Однако первые модели в орнаменте и по отдельности появились намного раньше. Например, археологами были найдены вырезанные каменные шары в Шотландии, которые датируются поздним неолитом (соответственно, за 1000 лет до жизни и деятельности Платона).

Видео:Площадь поверхности многогранникаСкачать

Призма и ее особенности

Призма — один из видов многогранников, включающий в себя многоугольники, расположенные в разных плоскостях. Но соединить их можно посредством параллельного переноса. У фигуры имеется основание и боковые ребра . Характерные особенности геометрического тела:

Основания полностью идентичны друг другу, несмотря на то, что лежат в разных плоскостях;
Основания параллельны друг другу;
Боковые ребра равны и параллельны;
Поверхность фигуры определяется суммой оснований и боковых граней (которых может быть неограниченное количество);
Высота призмы определяется проведением перпендикулярной прямой из любого основания к другому;
Площадь поверхности: S=Sбоковая + 2Sоснований;
Объем призмы: V=S*h, где S — площадь основания, а h — высоты фигуры;
Если основанием призмы является N -угольник, фигура считается N -угольной.

Геометрическое тело называют прямым, если каждое ребро лежит перпендикулярно основанию. Также они становятся высотами. Когда грани идентичны, многоугольник считается правильным, и его диагональное сечение образует параллелограмм.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Характеристики параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник, основанием и гранями которого является параллелограмм. Фигура характеризуется как неправильная. Основные характеристики:

Все грани, расположенные напротив , являются равными и параллельными;
Если отсутствуют общие вершины, они называются противолежащими;
Диагональ соединяет 2 вершины фигуры, расположенные в разных гранях;
Все диагонали параллелепипеда имеют одно пересечение, точка которого делит их на 2 равные части;
Пересечение диагоналей представляет собой центр симметрии.

Когда все грани параллелограмма являются прямоугольными, фигура характеризуется, как прямоугольная. Длина каждого ребра считается линейным размером. У такой фигуры есть три измерения. При этом справедлива формула d² = a² + b² + c². При расчетах руководствуются и другими. Для объема : V = abc, для площади многогранника: S=2·(ab+ bc +ac).

Видео:Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Пирамида и ее величины

Пирамида представляет собой многогранник и многоугольник. Особенности фигуры:

Боковая поверхность равна сумме площадей граней;
Высота — перпендикуляр от основания к вершине;
Когда N — количество углов основания, пирамида называется N -угольной;
Формула объема многогранника: V = 1/3·S·h;
Формула площади всей поверхности: Sп = Sбоковых граней + Sоснования;
Все сечения, включая диагональные, являются треугольниками.

Если пирамиду разделяет плоскость, параллельная нижней, она делит ее на две части. Причем верхняя пропорционально равна главной фигуре. Когда основанием является квадрат, геометрическое тело называется правильным. Гранями ее считаются равнобедренные треугольники.

Существует также такое понятие, как усеченная пирамида. Она получается только из правильной фигуры, если провести плоскость на противоположную от основания сторону, и убрать верхнюю часть. У данного тела отсутствует вершина, поскольку фактически она является квадратом , а не единичной точкой. Это не единственное отличие. К примеру, формулы, справедливые для классического формата, в данном случае неприемлемы.