Источник задания: Задание 8. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды
Задание 8. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?
Площадь поверхности изменяется по квадратическому закону от изменения линейных размеров фигуры, в данном случае пирамиды. То есть при увеличении всех ребер в 2 раза, площадь увеличивается в 4 раза.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все её рёбра увеличить в 2 раза?
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,061
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Профильный ЕГЭ по математике. Задание №5. Стереометрия
Задание 5 Профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии. Это задачи на вычисление объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.
Ничего сложного здесь нет. Все эти задачи доступны даже десятикласснику. И даже гуманитарию.
Как решать задания по стереометрии из первой части Профильного ЕГЭ?
Проверим себя – умеем ли мы рисовать чертежи?
Запоминаем один из главных лайфхаков решения задач по стереометрии:
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в k раз, то его площадь увеличится в раз, а объем в раз.
И решаем задачи. У нас все получится!
1. Во сколько раз увеличатся площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?
Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.
2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, все линейные размеры которого в 3 раза меньше, чем у большого. Поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Она равна 2.
3. Объем пирамиды равен 10. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.
Меньшая пирамида подобна большой, коэффициент подобия Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Поэтому объем меньшей пирамиды в 8 раз меньше объема исходной пирамиды. Он равен
4. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.
Площадь основания пирамиды ЕАВС в 2 раза меньше, чем у пирамиды ABCDS. Высота пирамиды ЕАВС равна половине высоты пирамиды ABCDS. Значит, объем пирамиды ЕАВС в 4 раза меньше объема пирамиды ABCDS. Он равен
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка E – середина ребра AB, боковое ребро SC равно 4, длина отрезка SE равна Найти объем пирамиды SABCD .
Найдем сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора, для треугольника SAE получаем, что Соответственно, сторона основания пирамиды равна Если обозначить центр основания за H, то высоту пирамиды найдем по теореме Пифагора для треугольника SHE – она равна 2.
Применяя формулу для объема пирамиды , получаем ответ: 16.
Многие задания №8 Профильного ЕГЭ по математике можно считать подготовительными – для того, чтобы научиться решать задачу 14 из второй части ЕГЭ.
Для решения некоторых из них стоит выучить основные определения и теоремы стереометрии. В общем, то, что входит в программу по стереометрии.
6. Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами 45°. Найдите объем пирамиды.
Пусть точка О – проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Прямоугольные треугольники АОS, ВОS, СОS равны (по общему катету ОS и острому углу). Значит, АО = ВО = СО. Точка О, равноудаленная от вершин основания, – это центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Тогда АО = ВО = СО = OS = R, где R – радиус этой окружности.
Радиус описанной окружности найдем по формуле
Площадь найдем по формуле Герона:
Заметим, что если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина проецируется в центр основания.
7. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми и Ответ дайте в градусах.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Поскольку и параллельны, найдем угол между и . Он равен 45 градусов, так как грань – квадрат.