в чем смысл интеграла площадей (2 видео)

Содержание

Применение определенного интеграла к вычислению площадей
Применение определенного интеграла к вычислению площадей
Геометрический смысл определенного интеграла
Криволинейная трапеция
Геометрический смысл определенного интеграла
Итоги
1.8. Как вычислить площадь с помощью определённого интеграла?
📺 Видео

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Применение определенного интеграла к вычислению площадей

Геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной трапеции дает возможность применить его к вычислению любых площадей. Однако определенный интеграл в интервале далеко не всегда дает значение площади как физической величины, измеряемой в квадратных единицах. Необходимо учесть, что геометрический смысл построен на формальном приписывании знаков: части функции над осью (и площадь под ними) принимаются со знаком «плюс», а части функции под осью (и площадь над ними) берутся со знаком «минус». Очевидно, что если поставить задачу о вычислении собственно площадей, то обязательно следует учесть строгую положительность понятия площади как физической величины. Чтобы полностью разобраться с разницей между геометрическим смыслом интеграла и площадью, рассмотрим пример: вычислить интеграл и площадь, которую ограничивает подынтегральная функция.

Нарисуем эскиз расчетной области и проведем вычисления по пунктам:

1. Вычислим интеграл: .

2. По геометрическому смыслу интеграл является алгебраической суммой площадей нижнего и верхнего треугольников, т.е.

Как и следовало ожидать, результаты совпали. Подсчитаем площадь.

квадратных единиц.

Здесь знак модуля обеспечивает безусловную положительность результатов и соответствие физическому смыслу. Таким образом, общая формула для вычисления площади с применением определенного интеграла будет иметь вид

где — число подинтервалов, на которые разбивается площадь под кривой ; — абсциссы начала и конца подинтервала.

Определение площади следует производить в два этапа. На первом решается уравнение и находится число подинтервалов. На втором этапе применяется формула площади. Рекомендуется выполнить эскиз расчетной области. В трудных случаях можно использовать графическое разложение сложной фигуры на сумму более простых.

Остальные темы находится на этой странице и там же можно заказать любые работы по высшей математике:

Обратите внимание на эти страниц, возможно они вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Видео:Зачем нужен ИНТЕГРАЛ. Объяснение смыслаСкачать

Геометрический смысл определенного интеграла

Вычисление площади является основным в теории площадей. Возникает вопрос о ее нахождении, когда фигура имеет неправильную форму или необходимо прибегнуть к ее вычислению через интеграл.

Данная статья рассказывает о вычислении площади криволинейной трапеции по геометрическому смыслу. Это позволяет выявлять связь между интегралом и площадью криволинейной трапеции. Если дана функция f ( x ) , причем непрерывная на интервале [ a ; b ] , знак перед выражением не меняется.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Криволинейная трапеция

Фигура, обозначенная как G , ограничена линиями вида y = f ( x ) , y = 0 , x = a и x = b , называется криволинейной трапецией. Она принимает обозначение S ( G ) .

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Для вычисления криволинейно трапеции необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на количество n частей x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n с точками, определенными на a = x 0 x 1 x 2 . . . x n — 1 x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i — x i — 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n — 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей Р и объемлющей Q многоугольными фигурами для G . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Отсюда имеем, что P ⊂ G ⊂ Q , причем при увеличении количества точек разбиения n , получим неравенство вида S — s ε , где ε является малым положительным числом, s и S являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка [ a ; b ] . Иначе это запишется как lim λ → 0 S — s = 0 . Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f ( x ) d x .

Из последнего равенства получим, что определенный интеграл вида ∫ a b f ( x ) d x является площадью криволинейной трапеции для заданной непрерывной функции вида y = f ( x ) . Это и есть геометрический смысл определенного интеграла.

При вычислении ∫ a b f ( x ) d x получим площадь искомой фигуры, которая ограничивается линиями y = f ( x ) , y = 0 , x = a и x = b .

Замечание: Когда функция y = f ( x ) является неположительной из отрезка [ a ; b ] , тогда получаем, что площадь криволинейной трапеции вычисляется, исходя из формулы S ( G ) = — ∫ a b f ( x ) d x .

Вычислить площадь фигуры, которая ограничена заданными линиями вида y = 2 · e x 3 , y = 0 , x = — 2 , x = 3 .

Для того, чтобы решить, необходимо для начал построить фигуру на плоскости, где имеется прямая y = 0 , совпадающая с О х , с прямыми вида x = — 2 и x = 3 , параллельными оси о у , где кривая y = 2 · e x 3 строится при помощи геометрических преобразований графика функции y = e x . Построим график.

Отсюда видно, что необходимо найти площадь криволинейной трапеции. Вспоминая геометрический смысл интеграла, получаем, что искомая площадь и будет выражена определенным интегралом, который необходимо разрешить. Значит, необходимо применить формулу S ( G ) = ∫ — 2 3 2 · e x 3 d x . Такой неопределенный интеграл вычисляется, исходя из формулы Ньютона-Лейбница

S ( G ) = ∫ — 2 3 2 · e x 3 d x = 6 · e x 3 — 2 3 = 6 · e 3 3 — 6 · e — 2 3 = 6 · e — e — 2 3

Ответ: S ( G ) = 6 · e — e — 2 3

Замечание: Для нахождения площади криволинейной трапеции не всегда можно построить фигуру. Тогда решение выполняется следующим образом. При известной функции f ( x ) неотрицательной или неположительной на отрезке [ a ; b ] , применяется формула вида S G = ∫ a b f ( x ) d x или S G = — ∫ a b f ( x ) d x .

Произвести вычисление площади, ограниченной линиями вида y = 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) , y = 0 , x = — 2 , x = 4 .

Для построения этой фигуры получим, что у = 0 совпадает с О х , а х = — 2 и х = 4 являются параллельными О у . График функции y = 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) = 1 3 ( x + 1 ) 2 — 3 — это парабола с координатами точки ( — 1 ; 3 ) , являющейся ее вершиной с направленными вверх ветвями. Чтобы найти точки пересечения параболы с О х , необходимо вычислить:

1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) = 0 ⇔ x 2 + 2 x — 8 = 0 D = 2 2 — 4 · 1 · ( — 8 ) = 36 x 1 = — 2 + 36 2 = 2 , x 2 = — 2 — 36 2 = — 4

Значит, парабола пересекает ох в точках ( 4 ; 0 ) и ( 2 ; 0 ) . Отсюда получим, что фигура, обозначенная как G , получит вид, изображенный на рисунке ниже.

Данная фигура не является криволинейной трапецией, потому как функция вида y = 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) изменяет знак на промежутке [ — 2 ; 4 ] . Фигура G может быть представлена в виде объединений двух криволинейных трапеций G = G 1 ∪ G 2 , исходя из свойства аддитивности площади, имеем, что S ( G ) = S ( G 1 ) + S ( G 2 ) . Рассмотрим график, приведенный ниже.

Отрезок [ — 2 ; 4 ] считается неотрицательной областью параболы, тогда отсюда получаем, что площадь будет иметь вид S G 2 = ∫ 2 4 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x . Отрезок [ — 2 ; 2 ] неположительный для функции вида y = 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) , значит, исходя из геометрического смысла определенного интеграла, получим, что S ( G 1 ) = — ∫ — 2 2 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x . Необходимо произвести вычисления по формуле Ньютона-Лейбница. Тогда определенный интеграл примет вид:

S ( G ) = S ( G 1 ) + S ( G 2 ) = — ∫ — 2 2 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x + ∫ 2 4 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x = = — 1 3 x 3 3 + x 2 — 8 x — 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 — 8 x 2 4 = = — 1 3 2 3 3 + 2 2 — 8 · 2 — — 2 3 3 + ( — 2 ) 2 — 8 · ( — 2 ) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 — 8 · 4 — 2 3 3 + 2 2 — 8 · 2 = = — 1 3 8 3 — 12 + 8 3 — 20 + 1 3 64 3 — 16 — 8 3 + 12 = 124 9

Стоит отметить, что нахождение площади не верно по принципу S ( G ) = ∫ — 2 4 1 3 ( x 2 + 2 x — 8 ) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 — 8 x — 2 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 — 8 · 4 — — 2 3 3 + — 2 2 — 8 · — 2 = 1 3 64 3 — 16 + 8 3 — 20 = — 4

Так как полученное число является отрицательным и представляет собой разность S ( G 2 ) — S ( G 1 ) .

Ответ: S ( G ) = S ( G 1 ) + S ( G 2 ) = 124 9

Если фигуры ограничены линиями вида y = c , y = d , x = 0 и x = g ( y ) , а функция равна x = g ( y ) , причем непрерывна и имеет неменяющийся знак на промежутке [ c ; d ] , то их называют криволинейными тарпециями. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Видео:Определенные интегралы и площадь фигурыСкачать

Геометрический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла ∫ c d g ( y ) d y заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида x = g ( y ) , расположенной на интервале [ c ; d ] .

Справедливо считать, что S ( G ) = — ∫ c d g ( y ) d y имеет место быть для непрерывной и неположительной функции x = g ( x ) , расположенном на отрезке [ c ; d ] .

Произвести вычисление фигуры, которая ограничена осью ординат и линиями x = 4 ln y y + 3 , y = 1 , y = 4 .

Построение графика x = 4 ln y y + 3 не является простым. Поэтому необходимо решить без чертежа. Вспомним, что функция определена для всех положительных значений y . Рассмотрим значения функции, имеющиеся на отрезке [ 1 ; 4 ] . По свойствам элементарных функций знаем, что логарифмическая функция возрастает на всей области определения. Тогда не отрезке [ 1 ; 4 ] является неотрицательной. Значит имеем, что ln y ≥ 0 . Имеющееся выражение ln y y , определенное на том же отрезке, неотрицательно. Можно сделать вывод, что функция x = 4 ln y y + 3 является положительной на интервале, равном [ 1 ; 4 ] . Получаем, что фигура на этом интервале является положительной. Тогда ее площадь должна вычисляться по формуле S ( G ) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y .

Необходимо произвести вычисление неопределенного интеграла. Для этого необходимо найти первообразную функции x = 4 ln y y + 3 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Получаем, что

∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d ( ln y ) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + C = 2 ln 2 y + 3 y + C ⇒ S ( G ) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 · 4 — ( 2 ln 2 1 + 3 · 1 ) = 8 ln 2 2 + 9

Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Ответ: S ( G ) = 8 ln 2 2 + 9

Видео:Определённый интеграл. ПлощадьСкачать

Итоги

В данной статье мы выявили геометрический смысл определенного интеграла и изучили связь с площадью криволинейной трапеции. Отсюда следует, что мы имеем возможность вычислять площадь сложных фигур при помощи вычисления интеграла для криволинейной трапеции. В разделе нахождения площадей и фигур, которые ограниченными линиями y = f ( x ) , x = g ( y ) , данные примеры рассмотрены подробно.

Видео:вычисление площадей фигур с помощью интеграловСкачать

1.8. Как вычислить площадь с помощью определённого интеграла?

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая определяет ось , прямые параллельны оси и парабола симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке график функции расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ: – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке над осью расположен график прямой ;
2) на отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
– нижний предел интегрирования, – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин