усеченный конус объем площадь поверхности

Содержание:

Конус – объемное тело, получаемое посредством вращения треугольника с углом 90° вокруг катета – его высоты. Расстояние от вершины до любой точки круга в основании тела называется образующей. Рассмотрим, как проводится расчет прямого и усеченного конусов: по каким формулам определяют их площади, объемы.

Понятие

Второй вариант образования рассматриваемого геометрического тела: прямоугольный треугольник вращается вокруг катета по или против часовой стрелки. Катет, ставший осью, будет высотой конуса, лежащий в основании – диаметром нижней поверхности, гипотенуза – образующей.

Длина образующих одинакова, их совокупность называется боковой поверхностью. Квадрат длины образующей равняется сумме квадратов высоты и радиуса основания (из теоремы Пифагора): l 2 = h 2 + r 2 . Отсюда

Разновидности конусов

Площадь

Площадь прямого конуса определяется по формуле:

• основания – S_осн = πr 2 ; r – радиус;
• боковой поверхности – S_бп = πrl; l – длина;
• полная – S = S_осн + S_бп = πr 2 + πrl = πr (r + l).

• диаметр равен 12 см;
• длина образующей – 10 см.

Радиус – это половина диаметра: 12/2 = 6 см.

Подставим значения в выражение: S = πr (r + l).

Получим: S = π * 6 *(6 + 10) = 96 π ≈ 301,584 см2.

Как вычислить площадь усеченного конуса

Формула площади полной поверхности усеченного конуса:

S₁ и S₂ – площади поверхностей усеченного конуса.

Подставляем значения и упрощаем:

S = π(r 2 + (r + R)l + R 2 .

Зная радиусы – 6 и 10 см, расстояние от вершины к лежащей на круге точке – 12 см найдём площадь граней.

S = π * (6 2 + (6 + 10) * 12 + 10 2 ) = 328π ≈ 1030,4 см 3 .

Объем усечённого конуса

Объем – пространство, занимаемое геометрическим телом. Численное значение указывает на количество кубиков с гранью единица, помещающихся в конусе. Объем тела вычисляется как треть произведения площади основания на его высоту.

Основание – круг, его поверхность рассчитывается по формуле: S_осн = πr 2 . После подстановки получим:

.

Пример: вычислить объем тела: r = 6 см, h = 9 см. Ставим значения в формулу, пошагово упрощаем выражение.

Если известен диаметр, разделите его на два: .

Вычислим объем усеченного конуса. Для понимания, от полного объема исходного тела нужно отнять значение отрезанного параллельной нижней грани плоскостью.

Формула объема усеченного конуса:

Высота

Существует несколько способов как найти высоту усеченного конуса. Какой подойдёт, зависит от исходных данных.

Когда даны радиусы оснований и объем, достаточно провести вычисления:

Для прямого при известном радиусе или диаметре оснований с образующей можно воспользоваться теоремой Пифагора:

5. Усечённый конус

Теория:

R 2 — радиус меньшего основания;

R 1 — радиус большего основания;

(H) — высота

S бок . = π ⋅ l ⋅ ( R 1 + R 2 ) , где R 1 и R 2 − радиусы оснований, (l) — образующая.

S полн . = S бок . + S 1 + S 2 , где S 1 , S 2 — площади оснований усечённого конуса.

Объем усечённого конуса

Объем усечённого конуса, формулы и калькулятор для вычисления объема усеченного конуса и площади его поверхностей.

Объем усечённого конуса, формулы и калькулятор

Примечание: для вычисления площади боковой поверхности необходимо указать длину образующего отрезка L. Для вычисления объема усечённого конуса данная величина не требуется.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса

Общая площадь поверхностей усечённого конуса